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江西省宜春市奉新县第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 文

奉新一中 2016 届高三上学期第二次月考数学试卷(文)
一:选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1.已知集合 A ? {x x ? 1 } , B ? {0,1,2,4} ,则 (C R A) ? B =( A. {0,1} B. {0} C. {2,4} D. ? ) )

2. 已知函数 f(x)=|x-1|,则下列函数中与 f(x)相同的函数是( 2 |x -1| ? 2 ? ,x≠-1, |x -1| A.g(x)= B.g(x)=? |x+1| |x+1| ? ?2,x=-1 ? x - 1 , x > 0 , ? C.g(x)=? D.g(x)=x-1 ? ?1-x,x≤0

3.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是( A.-2 B.0 C.1 ) D.2

?

?

? ?

? ?

)

4.已知 p 、 q 是两个命题,若“ ?( p ? q ) ”是真命题,则( A.p、q 都是假命题 C.p 是假命题且 q 是真命题 B. p、q 都是真命题

D.p 是真命题且 q 是假命题 ) D.a<c<b

?3? ?4? 5.设 a=? ?0.5,b=? ?0.4,c=log3(log34),则( ?4? ?3? 4
A.c<b<a B.a<b<c
x

C.c<a<b

6.如右图给出了函数 y= a ,y= log a x ,y= log( a+1) x , y= (a- 1) x2 的图象,则与函数 y= a ,y= loga x , y= log( a+1) x ,y= (a- 1) x 依次对应的图象是( A.①②③④ C.②③①④ B.①③②④ D.①④③②
2
x

)

7.若函数 f(x)= log2 x +x-k(k∈N)在区间(2,3)上只有一个零点,则 k=( A.0 B.2 C.4 D.6

)

8.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 设 M 是 ?ABC 边 BC 上的任意一点, N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则

? ? ? ?(

)

1

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D .1 )

10. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a9 ? a11 ? 30 ,则 S13 =( A.65 B.70 C.130 D.260

11. 已知 P, Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且

P 点的纵坐标为
A.

4 5 , Q 点的横坐标为 ,则 cos?POQ ? ( 5 13
B.

) D. ?

33 65

34 65

C. ?

34 65

33 65

12.定义在 (0, 则(

?
2
)

) 上的函数 f ( x) , f '( x) 是它的导函数,且恒有 f '( x) ? f ( x) ? tan x 成立。

A. 3 f ( ) ? f ( ) C. 6 f ( ) ? 2 f ( )

?

?

?

6

3

B.

?

3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) 6

?

6

4

D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

4

3

二:填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上). 13.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= 14.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, B ? 30? ,则 ?ABC 的面积等于________. 15.若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 ?x(1-x),0≤x≤1, ? ?29? ?41? f(x)=? 则 f? ?+f? ?= . ?4? ?6? ?sinπ x,1<x≤2, ?
2 16.设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x ? (8 sin ? ) x ? cos2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 ? 的取值范围

________. 三:解答题(本大题共 5 小题, 12+12+12+12+12=60 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. )

? ? 17.已知向量 m=(sinx,1),n=? 3Acosx, cos2x?(A>0),函数 f(x)=m·n 的最大值 2 ? ? 为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 ? 5π ? 原来的 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 求 g(x)在?0, ?上的值域. 24 ? 2 ?
A

2

18. 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正数, b1 ? 1 ,且

b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比 q ?
(1)求 an 与 bn ; (2)求

S2 b2

1 1 1 . ? ??? S1 S 2 Sn

19. 某同学用五点法画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ? 时,列表并填入了部分数据,如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图像

?x ? ?

0

x
A sin(?x ? ? )
0

? 2 ?
3
5

?

3? 2 5? 6
-5

2?

0

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 的图像向左平移 点最近的对称中心.

? 个单位后对应的函数为 g ( x) ,求 g ( x) 的图像离原 6

20.已知命题 p:函数 f(x)=x +2ax+1 在 R 上有零点. ?1 3? 2 命题 q:x +3(a+1)x+2≤0 在区间? , ?内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题, ?2 2? 求实数 a 的取值范围.

2

3

21.已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3x ,函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处的切 线平行于 x 轴 (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极值; (3) 设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图像交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ( x1 ? x2 ) , 证 明

1 1 ?k? . x2 x1

四:选做题(10 分.在第 22 题,第 23 题中选做一题,若两题均答,只给第 22 题分数。解 答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 22.已知曲线 C1 的参数方程是 (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正

半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =﹣4cosθ . (1)求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)A、B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上,当|AB|最大时,求△OAB 的面积(O 为坐标原点) . 23.设函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣a|(a∈R) . (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (2)当 a<﹣ ,若存在 x≤﹣ 使得 f(x)+x≤3 成立,求 a 的取值范围.

4

奉新一中 2016 届高三上学期第二次月考数学参考答案(文) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。) ABDAC BCBCC DA

二:填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)

13. 2 2

14.

3 3 or 2 4

15.

5 16

16. [0,

?
6

]?[

5? ,? ] 6

三:解答题(本大题共 5 小题, 12+12+12+12+12=60 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. ) 17.解:(1)f(x)=m·n π? A 1 ? 3 ? ? = 3Asinxcosx+ cos2x=A? sin2x+ cos2x?=Asin?2x+ ?. 6? 2 ? 2 ?2 ? 因为 A>0,由题意知,A=6. ??..5 分 π? ? (2)由(1)f(x)=6sin?2x+ ?. 6? ? π? π ? ? π? π? ? 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin?2?x+ ?+ ?=6sin?2x+ ?的 12 3? 6 12 ? ? ? ? ? 图象; π? 1 ? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y=6sin?4x+ ?的图象. 3? 2 ? π? ? 因此,g(x)=6sin?4x+ ?. 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 3? ? π ?π 7π ? ? 5π ? 因为 x∈?0, ?, 所以 4x+ ∈? , ?. 24 ? 6 ? 3 ?3 ? ? 5π ? 故 g(x)在?0, ?上的值域为[-3,6].???.12 分 24 ? ? .18. 解:(1) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正数,

b1 ? 1 ,且 b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比 q ?

S2 b2

S2 ? ?q ? b2 b2 ? b2 q ? 12, b2 ? b1q ? q, q ? q 2 ? 12, ? ?b ? S ? 12 解得 2 ? 2
{bn } 各项均为正数,∴q=3, bn ? 3n?1
(2) . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 由 b2 ? 3, 得 S 2 ? 9, a2 ? 6, d ? a2 ? a1 ? 3 ,∴ an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n

Sn ? 3n ?

3n(n ? 1) 3n(n ? 1) ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) Sn 3n(n ? 1) 3 n n ? 1) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) S1 S2 Sn 3 2 2 3 n n ?1

. . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

2 1 2n ? (1 ? )? 3 n ? 1 3(n ? 1)
5

19.解: (1)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? 数据补全如下表:

?
6
2?

?x ? ?

0

x
A sin(?x ? ? )

? 12
0

? 2 ? 3
5

?
7? 12
0

3? 2 5? 6
-5

13? 12
0 . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

函数表达式为 f ( x) ? 5 sin( 2 x ? (2)函数 f ( x) 图像向左平移

?
6

)

? 个单位后对应的函数是 6

g ( x) ? 5 sin( 2 x ? x?

?
6

) , 其对称中心的横坐标满足 2 x ?

?
6

? k? , k ? Z

k? ? ? ? ,所以离原点最近的对称中心是 ( ? ,0) . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2 12 12
2

20.解:p 真时,Δ =4a -4≥0? a≥1 或 a≤-1. 则 p 假时,-1<a<1.。 。 。 。 。 。 。 。3 分 2 q 真时,令 g(x)=x +3(a+1)x+2, ?1? g? ?≤0, ?2? 5 5 则 得 a≤- . 则 q 假时,a>- . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 2 2 3? ? g? ?≤0, ?2? 而 p 且 q 为假,即 p 与 q 一真一假或同假. 5 当 p 真 q 假时,- <a≤-1 或 a≥1;当 p 假 q 真时,无解; 2 当 p 假 q 假时,-1<a<1. 。 。 。 。 。 。 。10 分 5 综上得 a>- . 。 。 。 。 。 。12 分 2

? ? ? ? ?

21..解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? 3 x ,则 g '( x) ?
2

1 ? 2ax ? 3 x
. . . . .2 分

g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0
(2)由(1)得 g '( x) ?

,a ?1

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x
1 或 x ?1 2

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增, 在 ( ,1) 单调递减; 在 (1, ??) 上单调递增. 故函数 g ( x) . . . . . . . . . . . .6 分

1 2 的极小值为 g (1) ? ?2

1 2

(3)证法一:依题意得 k ? 要证

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1
6

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 令

x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

x2 1 ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ? t ( t ? 1) t x1
1 t

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①

令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t

∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即 【证法二:依题意得 k ?

1 t

1 t

1 1 ?k? . x2 x1

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k 1 1 1 . . . . . . . . .12 分 ? x1 ? ? x2 , 即 ?k? k x2 x1
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? 四:选做题(10 分.在第 22 题,第 23 题中选做一题,若两题均答,只给第 22 题分数。解 答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 22.解答:
2 2 2

解: (1)由

,得
2

,两式平方作和得:x +(y﹣2)
2 2

2

=4,即 x +y ﹣4y=0; 由 ρ =﹣4cosθ ,得 ρ =﹣4ρ cosθ ,即 x +y =﹣4x. 两式作差得:x+y=0,代入 C1 得交点为(0,0) , (﹣2,2) . 其极坐标为(0,0) , ( (2)如图, ) ; 。 。 。 。 。 。5 分

7

由平面几何知识可知,A,C1,C2,B 依次排列且共线时|AB|最大. 此时|AB|= ,O 到 AB 的距离为 . ∴△OAB 的面积为 S= 23.解答: 解: (1)令|2x+1|=0,得 . 。 。 。 。 。10 分 ;令|x﹣2|=0,得 x=2.

①当 x≥2 时,原不等式化为 2x+1+x﹣2<4,即 x< ,得 x∈?; ②当 ③当 x≤ 时,原不等式化为 2x+1+2﹣x<4,即 x<1,得 时,原不等式化为﹣2x﹣1+2﹣x<4,即 x>﹣1,得﹣1<x≤ ; .

综合①、②、③,得原不等式的解集为{x|﹣1<x<1}. 。 。 。 。 。5 分 (2)令 g(x)=f(x)+x,当 x≤ 时,g(x)=|x﹣a|﹣x﹣1,

由 a<﹣ ,得 g(x)=



由于存在 x≤

,使 f(x)+x≤3 成立,即 g(x)≤3 在(﹣∞,

]内有解,

只需 min≤3 即可. 作出 g(x)的大致图象,易知,min=g(a)=﹣a﹣1, ∴﹣a﹣1≤3,得 a≥﹣4. ??? 10 分

8



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