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解析几何学案(十四)直线与双曲线的位置关系


营口开发区第一高中高二数学学案(十四)直线与双曲线的位置关系 2015 年 11 月

1.直线与双曲线的位置关系的判定

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 2 a b (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 m2 ? a 2b 2 ? 0 b 若 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? 且 m=0,直线与双曲线渐近线重合,直线与双曲线没有交点; a b 2 2 2 若 b ? a k ? 0 即 k ? ? 且 m ? 0 ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a b 2 2 2 若b ? a k ? 0即k ? ? , a 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a 2 k 2 )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离,无交点;
设直线 l : y ? kx ? m ,双曲线 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2

2

2.直线与双曲线相交的弦长公式 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 ? y ? kx ? n
( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦长公式为:则 | AB |? 1 ? k

若联立消去 x 得 y 的一元二次方程: ay2 ? by ? c ? 0(a ? 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 | AB |? 1 ? 焦点弦长:

1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 k

| PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于焦点 F 的准 d

线的距离, e 是离心率) 。 【例 3】求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?
2

y2 ? 1 截得的弦长; 4

x2 2 【例 1】设双曲线 C : 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B . a
(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 PA =

5 PB ,求 a 的值. 12

3.中点弦问题:(点差法) 【例 4】求过点 A(3, ―1)且被 A 点平分的双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在的直线方程。 4

【例 2】直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 k 为何值时,A、B 在双曲
2 2

线的同一支上?当 k 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上?

1

营口开发区第一高中高二数学学案(十四)直线与双曲线的位置关系 2015 年 11 月

典例分析 1. 判断下列直线与双曲线的位置关系 (1) 2 x ? y ? 10 ? 0与

5. (1)如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点,求 k 的值。 (2) x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 3
2 2

x2 y 2 ? ?1 20 5

(2)如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 右支有两个公共点 求 k 的取值范围。

2. (1)过定点 P(0,-1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有( (2)过定点 P(1,1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有( (3)过点 P 1, 2 的直线与双曲线 x ?
2

)条。 )条。

?

?

y2 ? 1 有且只有一个公共点,这样的直线共有 3
D.4 条

6.若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 为原点),求 k 的取值范围。

A.1 条

B.2 条

C.3 条

??? ? ??? ? x2 ? y 2 =1 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB>2 (其中 O 3

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 60°的直线交该双曲线于 A, 3. 经过双曲线 B 两点, 求 ?F1 AB 3
的周长。 ( F1 为双曲线的左焦点)

4.(1)以 P(1,8)为中点作双曲线为 y ? 4 x =4 的一条弦 AB,求直线 AB 的方程。
2 2

7.已知双曲线 C: x ? y ? 1 及直线 l : y ? kx ? 1
2 2

(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围: (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且Δ AOB 的面积为 2 ,求实数 k 值。

(2)过定点 A(1,1)作直线 l 与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 交于 P,Q 两点,若点 A 是线段 PQ 的中点, 2

这样的直线 l 存在吗?

2

营口开发区第一高中高二数学学案(十四)直线与双曲线的位置关系 2015 年 11 月

1.直线与双曲线的位置关系的判定

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 2 a b (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 m2 ? a 2b 2 ? 0 b 若 b 2 ? a 2 k 2 ? 0 即 k ? ? 且,直线与双曲线渐近线重合,直线与双曲线没有交点; a b 2 2 2 若 b ? a k ? 0 即 k ? ? 且,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a b 2 2 2 若b ? a k ? 0即k ? ? , a 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a 2 k 2 )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离,无交点;
设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,双曲线 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 【例 1】过点 P( 7,5) 与双曲线 的方程。 解析:若直线的斜率不存在时,则 x ? 7 ,此时仅有一个交点 ( 7,0) ,满足条件; 若直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 7) 则 y ? kx ? 5 ? k 7 ,

2

2

当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 。
2

由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点。

2 >0 ,所以 a ? ? 3 或 a ? 3 。 a ?3 故当 ? 6 ? a ? ? 3 或 3 ? a ? 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3 ? a ? 3 时,A、B
若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x2 ?
2

两点在双曲线的两支上。 点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的 直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。 2.直线与双曲线相交的弦长公式 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 ? y ? kx ? n
( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
2

2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦长公式为:则 | AB |? 1 ? k

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们 7 25

若联立消去 x 得 y 的一元二次方程: ay ? by ? c ? 0(a ? 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 | AB |? 1 ? 焦点弦长:

1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 k2

| PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于焦点 F 的准 d

x 2 (kx ? 5 ? k 7)2 ? ? 1 , ∴ 25x2 ? 7(kx ? 5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 , 7 25 2 (25 ? 7k ) x2 ? 7 ? 2kx(5 ? k 7) ? (5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 ? 0 ,
5 7 时,方程无解,不满足条件; 7 5 7 当k ? ? 时, 2 ? 5 7 x ?10 ? 75 方程有一解,满足条件; 7 25 2 当k ? 时,令 ? ? [14k (5 ? k 7)]2 ? 4(25 ? 7k 2 )[(5 ? k 7)2 ?165] ? 0 ,化简得: k 无 7
当k ? 解,所以不满足条件; 所以满足条件的直线有两条 x ? 7 和 y ? ?
2 2

线的距离, e 是离心率) 。 【例 3】求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?
2

y2 ? 1 截得的弦长; 4

? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? 2 2 ? y ? x ?1 2 解析:由 ? 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*)
2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有

得,

5 7 x ? 10 。 7

d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2
3.中点弦问题: 【例 4】求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

【例 2】直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲 线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解析:把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0
2 2

2

2

y2 ? 1 截得的弦中点轨迹方程。 4

3

营口开发区第一高中高二数学学案(十四)直线与双曲线的位置关系 2015 年 11 月

解:设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P ( x, y ) ,则

? ?4 x ? y ? 4 ? 2 2 ? ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,
2 1 2 1

5. (1)如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点,求 k 的值。 (2)如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 右支有两个公共点 求 k 的取值范围。

y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? x ? x y1 ? y2 , 1 2 ∴

y 4x ? 即 x y ?1 ,

即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分)
2 2

6.若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 为原点),求 k 的取值范围。

典例分析 1. 判断下列直线与双曲线的位置关系

??? ? ??? ? x2 ? y 2 =1 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB>2 (其中 O 3

x2 y 2 (1) 2 x ? y ? 10 ? 0与 ? ?1 20 5

(2) x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 3
2 2

2. (1)过定点 P(0,-1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有( (2)过定点 P(1,1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有( (3)过点 P 1, 2 的直线与双曲线 x ?
2

)条。 7.已知双曲线 C: x ? y ? 1 及直线 l : y ? kx ? 1
2 2

)条。

(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围: (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且Δ AOB 的面积为 2 ,求实数 k 值。

?

?

y ? 1 有且只有一个公共点,这样的直线共有 3
D.4 条

2

A.1 条 3. 经过双曲线

B.2 条

C.3 条

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 60°的直线交该双曲线于 A, B 两点, 求 ?F1 AB 3

的周长。 ( F1 为双曲线的左焦点)

4.(1)以 P(1,8)为中点作双曲线为 y ? 4 x =4 的一条弦 AB,求直线 AB 的方程。
2 2

y2 ? 1 交于 P,Q 两点,若点 A 是线段 PQ 的中点, (2)过定点 A(1,1)作直线 l 与双曲线 x ? 2
2

这样的直线 l 存在吗?

4


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