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高中数学第1部分1-3-1第一课时函数的单调性课件新人教A版必修_图文


理解 教材 新知 第 一 章 1.3 1.3.1 第 一 课 时

知识点一 知识点二

把握 热点 考向

考点一 考点二 考点三

应用创新演练

观察下列函数图象:

问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变化? 提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大. 乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大.

问题2:甲、乙图中,若x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大

小关系是什么?
提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2). 问题3:丙图中,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量x 属于哪个区间?

提示:[0,+∞).

1.增函数与减函数的定义 条件 增 结论 定义

设函数f(x)的定义域 都有 f(x1)< f(x)在区间D上 函 为I,对于定义域I内 f(x2) 是 增函数 数 某个区间D上的 任意 减 f(x1)> 两个自变量的值x1, 都有 f(x)在区间D上 函 f(x2) x2,当x1<x2时 是 减函数 数

2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数, 那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 , 区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 .

观察下列函数图象:

问题1:该函数f(x)的定义域是什么?
提示:[-3,5]. 问题2:该函数f(x)的最高点和最低点的纵坐标分别 是多少? 提示:2,-1.5.

问题3:函数y=f(x)的值域是什么?
提示:f(x)∈[-1.5,2].

函数的最大值与最小值 条件 结论

设函数y=
f(x)的定义 域为I,如 果存在实 数M满足

(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M

M是函数y=
f(x)的最大值

(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M
(2)存在x0∈I,使 f(x0)=M

M是函数y= f(x)的最小值

1.函数单调性定义中x1,x2的三个特征

(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,
不能以特殊值代替; (2)有大小,必须确定两个值x1,x2的大小关系,一 般令x1<x2; (3)同属一个单调区间.

2.求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时,通常要先确定函数的

单调性,同时要注意函数的定义域.

4 [例 1] 证明函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数. [思路点拨] 根据增函数的定义证明.

[精解详析] 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 4?x2-x1? =(x1-x2)+ x1x2 x1x2-4 =(x1-x2) . x1x2

∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 ∴函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数.

[一点通]

证明或判断函数单调性的方法主要是

定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法),利 用定义法证明或判断函数单调性的步骤是

1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( A.y=|x| 1 C.y=x B.y=3-x D.y=-x2+4

)

解析:B在R上为减函数.C在(-∞,0)上和(0,+∞)上 为减函数.D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为 减函数.

答案:A

x+2 2.利用单调性的定义,证明函数 y= 在(-1,+∞) x+1 上是减函数.

证明: 设 x1, x2 是区间(-1, +∞)上任意两个实数且 x1<x2, x1+2 x2+2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 x2-x1 = . ?x1+1??x2+1? ∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0.

x2-x1 ∴ >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). x+ 2 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+ 1

[例 2]

画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函

数的单调区间. [思路点拨] → 求单调区间 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象

[精解详析]

2 ? ?-x +2x+1, y=? 2 ? ?-x -2x+1,

x≥0, x<0,



2 ? ?-?x-1? +2, y=? 2 ? ?-?x+1? +2,

x≥0, x<0.

函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1], 单调减区间为[-1,0],[1,+∞).

[一点通]
1.确定函数单调区间的方法 (1)作出函数的图象,利用图形的直观性能快速判断 函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确. (2)常见函数的单调区间: ①y=ax+b,a>0时,单调递增区间为(-∞,+∞); a<0时,单调递减区间为(-∞,+∞).

a ②y=x, a>0 时, 单调减区间为(-∞, 0)和(0, +∞); a<0 时,单调增区间为(-∞,0)和(0,+∞). ③y=a(x-m)2+n,a>0 时,单调减区间为(-∞, m],单调增区间为[m,+∞);a<0 时,单调增区间为(- ∞,m],单调减区间为[m,+∞).

2.确定函数的单调区间应注意的问题
函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过

程中不要忽略了函数的定义域.

3.已知函数y=f(x)的图象,如图所示.

试写出函数y=f(x)的单调区间.

解:观察图象可知,函数y=f(x)的图象在区间[-2,1] 和[4,6]上均是上升的,在区间[1,4]上是下降的,所以 函数y=f(x)的单调递增区间是[-2,1],[4,6],单调递 减区间是[1,4].

4.求下列函数的单调区间. 5 (1)y=x; (2)y=x2-2x-3; (3)y=3|x|.

解:(1)函数的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞). (2)函数 y=x2-2x-3 的对称轴方程是 x=1,并且图像开口向 上,所以其单调减区间是(-∞,1],单调增区间是[1,+∞).
? ?3x, x≥0, (3)f(x)=3|x|=? ? ?-3x, x<0.

由一次函数的单调性可得:f(x)的单调减区间是(-∞,0),单 调增区间是[0,+∞).

5.作出函数

? ?-x-3, f(x)=? 2 ? ??x-2? +3,

x≤1, 的图象,并 x>1

指出函数的单调区间.

? ?-x-3, 解:f(x)=? 2 ? ??x-2? +3,

x≤1, 的图象如图所示. x>1

由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];
单调递增区间为[2,+∞).

[例3]

(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减

函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范围. [思路点拨] 不等式f(1-a)<f(2a-1)为抽象不等

式,不能直接解.考虑到函数的单调性,可将函数值
的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为 具体不等式来求解.

[精解详析] 解得 0<a<1.

? ?-1<1-a<1, 由题意可知? ? ?-1<2a-1<1.

?

(2 分) (4 分)

①?

又 f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1), 2 ∴1-a>2a-1,即 a< . 3 ②? (8 分)

2 由①②可知,0<a<3,? 2 即所求 a 的取值范围是(0,3).?

(11 分)

(12 分)

[一点通]

解决此类与抽象函数有关的变量的取值

范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从 而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增 函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1<x2;若 函数y=f(x)在区间D上是减函数,则对任意x1,x2∈D, 且f(x1)<f(x2),有x1>x2.需要注意的是,不要忘记函数的

定义域.

6.若 y=(2k-1)x+b 是 R 上的减函数,则有 ( 1 A.k>2 1 C.k<2 1 B.k>-2 1 D.k<-2

)

解析:若 y=(2k-1)x+b 是 R 上的减函数,则必有 1 2k-1<0,∴k<2.

答案:C

3 7.函数 y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,则 f(4)与 3 f(a -a+1)的大小关系为 f(4)______f(a2-a+1).
2

12 3 3 解析:a -a+1=(a-2) +4≥4>0.
2

∵y=f(x)在[0,+∞)上是减函数, 3 ∴f(a -a+1)≤f(4).
2

答案:≥

8.已知函数f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减

函数,求实数a的取值范围.
解:∵f(x)=x2-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2, ∴f(x)的减区间是(-∞,1-a]. 又∵已知f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴1-a≥4,即a≤-3. ∴所求实数a的取值范围是(-∞,-3].

1.函数的单调性是函数在定义域的某个子集 上的性质.这个子集可以是整个定义域,也可以

是定义域的真子集.

2.若函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A、B 上都是 增(减)函数,一般不能简单认为 f(x)在 A∪B 上是增(减)函 1 数.如 f(x)=x在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是 减函数,但不能说它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减 函数.事实上,取 x1=-1<1=x2,有 f(-1)=-1<1=f(1), 不符合减函数的定义.

3.若x1>x2,f(x1)>f(x2),则函数y=f(x)是单调增函 数;若x1>x2,f(x1)<f(x2),则函数y=f(x)是单调

减函数,即若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0),则函
数y=f(x)是增(减)函数.



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