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2017年中考真题----三角函数综合应用 专题复习


历届《三角函数综合题》中考真题训练
1.(2017?贵阳) 贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官兵利用云梯成 功救出在 C 处的求救者后,发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又有一名求救者,消防官兵立刻升高 云梯将其救出, 已知点 A 与居民楼的水平距离是 15 米, 且在 A 点测得第一次施救时云梯与水平线 的夹角∠CAD=60° ,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 的度数(结果精确到 1° ) .

2.(2017?营口)如图,一艘船以每小时 30 海里的速度向北偏东 75° 方向航行,在点 A 处测得码头 C 在船的东北方向,航行 40 分钟后到达 B 处,这时码头 C 恰好在船的正北方向,在船不改变航向 的情况下,求出船在航行过程中与码头 C 的最近距离. (结果精确到 0.1 海里,参考数据 ≈1.41, ≈1.73)

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3.(2017?黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌 ABCD(如图所示) ,已 知标语牌的高 AB=5m,在地面的点 E 处,测得标语牌点 A 的仰角为 30° ,在地面的点 F 处,测得 标语牌点 A 的仰角为 75° ,且点 E,F,B,C 在同一直线上,求点 E 与点 F 之间的距离. (计算结 果精确到 0.1 米,参考数据: ≈1.41, ≈1.73)

4. (2017?随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源,风电机组主要由塔杆和叶片组 成(如图 1) ,图 2 是从图 1 引出的平面图.假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55° ,沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处, 在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置, 此时测得叶片的顶 端 D(D、C、H 在同一直线上)的仰角是 45° .已知叶片的长度为 35 米(塔杆与叶片连接处的长 度忽略不计) ,山高 BG 为 10 米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔杆 CH 的高. (参考数据:tan55°≈1.4, tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)

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5.(2017?桂林)“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴 趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中 AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE, 请根据图中数据,求出线段 BE 和 CD 的长. (sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留 小数点后一位)

6(2018?青羊区模拟)如图,小明今年国庆节到青城山游玩,乘坐缆车,当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时,它经过了 200m,缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°,当缆车继续由点 B 到达点 D 时,它又走过了 200m,缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面夹角∠β=42°,求缆车从点 A 到 点 D 垂直上升的距离. (结果保留整数) (参考数据: sin16°≈0.27, cos16°≈0.77 , sin42°≈0.66 , cos42°≈0.74)

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7. (2017?呼和浩特)如图,地面上小山的两侧有 A,B 两地,为了测量 A,B 两地的距离,让一 热气球从小山西侧 A 地出发沿与 AB 成 30° 角的方向,以每分钟 40m 的速度直线飞行,10 分钟后 到达 C 处,此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70° 角,请你用测得的数据求 A,B 两地的距离 AB 长. (结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)

8. ( 2017?张家界)位于张家界核心景区的贺龙铜像,是我国近百年来最大的铜像.铜像由像体 AD 和底座 CD 两部分组成.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=70.5° ,在 Rt△DBC 中,∠DBC=45° , 且 CD=2.3 米, 求像体 AD 的高度 (最后结果精确到 0.1 米, 参考数据: sin70.5°≈0.943, cos70.5°≈0.334, tan70.5°≈2.824)

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9. (2017?长春)如图,某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31° ,AB 的长为 12 米,求大厅 两层之间的距离 BC 的长. (结果精确到 0.1 米) (参考数据: sin31° =0.515, cos31° =0.857, tan31° =0.60)

10(2016?常德)南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行 常态化巡航,在 A 处测得北偏东 30° 方向上,距离为 20 海里的 B 处有一艘不明身份的船只正在向 正东方向航行,便迅速沿北偏东 75° 的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在 C 处成功拦截不明 船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)? (参考数据:cos75° =0.2588,sin75° =0.9659,tan75° =3.732, =1.732, =1.414)

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11.(2014?黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量 学校的旗杆,小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45° ,小军站在点 D 测得旗杆顶端 E 点的 仰角为 30° ,已知小明和小军相距(BD)6 米,小明的身高(AB)1.5 米,小军的身高(CD)1.75 米,求旗杆的高 EF 的长. (结果精确到 0.1,参考数据: ≈1.41, ≈1.73)

12.(2012?黔东南州)如图,一艘货轮在 A 处发现其北偏东 45° 方向有一海盗船,立即向位于正东 方向 B 处的海警舰发出求救信号,并向海警舰靠拢,海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援,此 时距货轮 200 海里,并测得海盗船位于海警舰北偏西 60° 方向的 C 处. (1)求海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离. (2)若货轮以 45 海里/时的速度在 A 处沿正东方向海警舰靠拢,海盗以 50 海里/时的速度由 C 处 沿正南方向对货轮进行拦截,问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮?(结果保 留根号)

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参考答案及分析
1. (2017?贵阳) 解:延长 AD 交 BC 所在直线于点 E. 由题意,得 BC=17 米,AE=15 米,∠CAE=60° ,∠AEB=90° , 在 Rt△ACE 中,tan∠CAE= ∴CE=AE?tan60°=15 米. = , ,

在 Rt△ABE 中,tan∠BAE=

∴∠BAE≈71°. 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD 约为 71° . 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,首先构造直角三角形,再运用三角函数的定义解题,构造出直 角三角形是解题的关键. 2.(2017?营口) 【分析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D,由题意可知:船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE,根据∠DAB=30° ,AB=20,从而可求出 BD、AD 的长度,进而可求出 CE 的长度. 【解答】解:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D, 由题意可知:船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE, AB=30× =20,

∵∠NAC=45° ,∠NAB=75° , ∴∠DAB=30° , ∴BD= AB=10, 由勾股定理可知:AD=10 ∵BC∥AN, ∴∠BCD=45° , ∴CD=BD=10, ∴AC=10 +10 ∵∠DAB=30° , ∴CE= AC=5 +5≈13.7

答:船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 13.7 海里 【点评】本题考查解三角形的应用,解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾股定理,本题属于中等题 型. 3.(2017?黄冈) 【分析】如图作 FH⊥AE 于 H.由题意可知∠HAF=∠HFA=45° ,推出 AH=HF,设 AH=HF=x,则 EF=2x, EH= x,在 Rt△AEB 中,由∠E=30° ,AB=5 米,推出 AE=2AB=10 米,可得 x+ x=10,解方程即可. 【解答】 解:如图作 FH⊥AE 于 H.由题意可知∠HAF=∠HFA=45° , ∴AH=HF,设 AH=HF=x,则 EF=2x,EH= x, 在 Rt△AEB 中,∵∠E=30° ,AB=5 米, ∴AE=2AB=10 米, ∴x+ x=10, ∴x=5 ﹣5,
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∴EF=2x=10 ﹣10≈7.3 米, 答:E 与点 F 之间的距离为 7.3 米. 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一 次方程等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建方程解决问题. 4. (2017?随州) 【分析】 作 BE⊥DH, 知 GH=BE、 BG=EH=10, 设 AH=x, 则 BE=GH=43+x, 由 CH=AHtan∠CAH=tan55°?x 知 CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10,根据 BE=DE 可得关于 x 的方程,解之可得. 【解答】解:如图,作 BE⊥DH 于点 E, 则 GH=BE、BG=EH=10, 设 AH=x,则 BE=GH=GA+AH=43+x, 在 Rt△ACH 中,CH=AHtan∠CAH=tan55°?x, ∴CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10, ∵∠DBE=45° , ∴BE=DE=CE+DC,即 43+x=tan55°?x﹣10+35, 解得:x≈45, ∴CH=tan55°?x=1.4×45=63, 答:塔杆 CH 的高为 63 米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形. 5.(2017?桂林) 【分析】在 Rt△BED 中可先求得 BE 的长,过 C 作 CF⊥AE 于点 F,则可求得 AF 的长,从而可求得 EF 的长,即可求得 CD 的长. 【解答】解: ∵BN∥ED, ∴∠NBD=∠BDE=37° , ∵AE⊥DE, ∴∠E=90° , ∴BE=DE?tan∠BDE≈18.75(cm) , 如图,过 C 作 AE 的垂线,垂足为 F, ∵∠FCA=∠CAM=45° , ∴AF=FC=25cm, ∵CD∥AE, ∴四边形 CDEF 为矩形, ∴CD=EF, ∵AE=AB+EB=35.75(cm) , ∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8(cm) , 答:线段 BE 的长约等于 18.8cm,线段 CD 的长约等于 10.8cm. 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用,利用条件构造直角三角形是解题的关键,注意角度的应用. 6.(2018?青羊区模拟) 【分析】本题要求的实际是 BC 和 DF 的长度,已知了 AB、BD 都是 200 米,可在 Rt△ABC 和 Rt△BFD 中用 α、β 的正切函数求出 BC、DF 的长. 【解答】解:Rt△ABC 中,斜边 AB=200 米,∠α=16°,BC=AB?sinα=200×sin16°≈54(m) , Rt△BDF 中,斜边 BD=200 米,∠β=42°,DF=BD?sinβ=200×sin42°≈132,

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因此缆车垂直上升的距离应该是 BC+DF=186(米) . 答:缆车垂直上升了 186 米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,结合图形理解题意是解决问题的关键.

7. (2017?呼和浩特) 【分析】 过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M, 通过解直角△ACM 得到 AM 的长度, 通过解直角△BCM 得到 BM 的长度,则 AB=AM﹣BM. 【解答】解:过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 延长线于点 M, 由题意得:AC=40× 10=400(米) . 在直角△ACM 中,∵∠A=30° , ∴CM= AC=200 米,AM= 在直角△BCM 中,∵tan20° = AC=200 , 米.

∴BM=200tan20° , ∴AB=AM﹣BM=200 ﹣200tan20° =200( ﹣tan20° ) , 因此 A,B 两地的距离 AB 长为 200( ﹣tan20° )米. 【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识,解题的关键是添加辅助线,构造直角三角形, 记住三角函数的定义,以及特殊三角形的边角关系,属于中考常考题型. 8. (2017?张家界) 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 BC 的长,再利用 tan70.5° =
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求出答案.

【解答】解:∵在 Rt△DBC 中,∠DBC=45° ,且 CD=2.3 米, ∴BC=2.3m, ∵在 Rt△ABC 中,∠ABC=70.5° , ∴tan70.5° = = ≈2.824,

解得:AD≈4.2, 答:像体 AD 的高度约为 4.2m. 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握锐角三角函数关系是解题关键. 9. (2017?长春) 【分析】过 B 作地平面的垂线段 BC,垂足为 C,构造直角三角形,利用正弦函数的定义,即可求出 BC 的长. 【解答】解:过 B 作地平面的垂线段 BC,垂足为 C. 在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90° , ∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2(米) . 即大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,把坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角.在解决坡 度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平 宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题. 10.(2016?常德) 【分析】过 B 作 BD⊥AC,在直角三角形 ABD 中,利用勾股定理求出 BD 与 AD 的长,在直角三角形 BCD 中,求出 CD 的长,由 AD+DC 求出 AC 的长即可. 【解答】解:过 B 作 BD⊥AC, ∵∠BAC=75° ﹣30° =45° , ∴在 Rt△ABD 中,∠BAD=∠ABD=45° ,∠ADB=90° ,
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由勾股定理得:BD=AD=

× 20=10

(海里) ,

在 Rt△BCD 中,∠C=15° ,∠CBD=75° , ∴tan∠CBD= ,即 CD=10 × 3.732=52.77048,

则 AC=AD+DC=10 +10 ×3.732=66.91048≈67 (海里) , 即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 67 海里. 【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键. 11.(2014?黔东南州) 【分析】过点 A 作 AM⊥EF 于 M,过点 C 作 CN⊥EF 于 N,则 MN=0.25m.由小明站在 B 点测得旗杆顶 端 E 点的仰角为 45° ,可得△AEM 是等腰直角三角形,继而得出得出 AM=ME,设 AM=ME=xm,则 CN= (x+6)m,EN=(x﹣0.25)m.在 Rt△CEN 中,由 tan∠ECN= 值,继而可求得旗杆的高 EF. 【解答】解:过点 A 作 AM⊥EF 于 M,过点 C 作 CN⊥EF 于 N, ∴MN=0.25m, ∵∠EAM=45° , ∴AM=ME, 设 AM=ME=xm, 则 CN=(x+6)m,EN=(x﹣0.25)m, ∵∠ECN=30° , ∴tan∠ECN= = = , = ,代入 CN、EN 解方程求出 x 的

解得:x≈8.8, 则 EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3(m) . 答:旗杆的高 EF 为 10.3m. 【点评】本题考查了解直角三角形的问题.该题是一个比较常规的解直角三角形问题,建立模型比较简单, 但求解过程中涉及到根式和小数,算起来麻烦一些. 12.(2012?黔东南州) 【分析】 (1)由条件可知△ABC 为斜三角形,所以作 AC 上的高,转化为两个直角 三角形求解. (2)求得海盗船到达 D 处的时间,用 BD 的长度除以求得的时间即可得到结论. 【解答】解: (1)作 CD⊥AB 于点 D, 在直角三角形 ADC 中, ∵ ∠CAD=45° , ∴ AD=CD. 在直角三角形 CDB 中, ∵ ∠CBD=30° ,
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=tan30° ,

∴ BD= CD. ∵ AD+BD=CD+ CD=200, ∴ CD=100( ﹣1) ; (2)∵ 海盗以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截, ∴ 海盗到达 D 处用的时间为 100( ﹣1)÷ 50=2( ﹣1) , ∴ 警舰的速度应为[200﹣100( ﹣1)]÷ 2( ﹣1)=50 海里/时. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来求解.
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