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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)-理科数学


数学试题(理工农医类)(福建卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(2013 福建,理 1)已知复数 z 的共轭复数=1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 C.第三象限 答案:D B.第二象限 D.第四象限

解析:由=1+2i,得 z=1-2i,故复数 z 对应的点(1,-2)在第四象限. 2.(2013 福建,理 2)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A a=3 不是 A?B 的必要条件.故选 A. 3.(2013 福建,理 3)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于(
2 A. 5 2 4 4 B. 5

).

解析:若 a=3,则 A={1,3}?B,故 a=3 是 A?B 的充分条件;而若 A?B,则 a 不一定为 3,当 a=2 时,也有 A?B.故

).
4 5 D. 5

答案:C
|± 2| 1+4 2 5 2 4 2 5 . 5

2 5 C. 5 1 2

解析:双曲线 -y2=1 的顶点为(± 2,0),渐近线方程为 y=± x,即 x-2y=0 和 x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离 d= = = 4.(2013 福建,理 4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共 有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( ).

A.588 答案:B

B.480

C.450

D.120

解析:由频率分布直方图知 40~60 分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于 60 分的学生人数为 600×(1-0.2)=480. 5.(2013 福建,理 5)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 B.13 C.12 D.10 答案:B 解析:a=0 时,方程变为 2x+b=0,则 b 为-1,0,1,2 都有解;a≠0 时,若方程 ax2+2x+b=0 有实数解,则 Δ=22-4ab≥0, 即 ab≤1.当 a=-1 时,b 可取-1,0,1,2.当 a=1 时,b 可取-1,0,1.当 a=2 时,b 可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个 数为 4+4+3+2=13. 6.(2013 福建,理 6)阅读如图所示的程序框图,若输入的 k=10,则该算法的功能是( ). ).

1

A.计算数列{2n-1}的前 10 项和 B.计算数列{2n-1}的前 9 项和 C.计算数列{2n-1}的前 10 项和 D.计算数列{2n-1}的前 9 项和 答案:A 解析:当 k=10 时,执行程序框图如下: S=0,i=1; S=1,i=2; S=1+2,i=3; S=1+2+22,i=4; … … S=1+2+22+…+28,i=10; S=1+2+22+…+29,i=11. 7.(2013 福建,理 7)在四边形 ABCD 中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 答案:C
ABCD=2 | || |=5.

).

解析:∵ · =1×(-4)+2×2=0,∴ ⊥ .又| |= 1 + 22 = 5,| |= (?4)2 + 22 = 16 + 4=2 5,S 四边形
1

8.(2013 福建,理 8)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 答案:D

).

解析:选项 A,由极大值的定义知错误;对于选项 B,函数 f(x)与 f(-x)的图象关于 y 轴对称,-x0 应是 f(-x)的极大 值点,故不正确;对于 C 选项,函数 f(x)与-f(x)图象关于 x 轴对称,x0 应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项 D,函数 f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确. 9.(2013 福建,理 9)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·m(na
* …· 1)+2· am(n-1)+m(m,n∈N ),则以下结论一定正确的是( A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m

).

C.数列{cn}为等比数列,公比为qm m D.数列{cn}为等比数列,公比为qm 答案:C 解析:∵{an}是等比数列,
amn+m =qmn+m-m(n-1)-m=qm, am(n?1)+m 2 c amn+1 · mn+2 · amn+m a …· ∴ n+1 = =(qm)m=qm . cn am(n?1)+1 · m(n?1)+2 · am(n?1)+m a …·

2



10.(2013 福建,理 10)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈ S};(2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构” 的是( ). A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8 或 0<x≤10}

2

C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q 答案:D 解析:由题意(1)可知,S 为函数 y=f(x)的定义域,T 为函数 y=f(x)的值域. 由(2)可知,函数 y=f(x)在定义域内单调递增,对于 A,可构造函数 y=x-1,x∈N*,y∈N,满足条件; ?8, x = ?1, 对于 B,构造函数 y= 5 满足条件; (x + 1), ?1 < ≤ 3,
2

对于 C,构造函数 y=tan

x? 2 2

,x∈(0,1),满足条件;

对于 D,无法构造函数其定义域为 Z,值域为 Q 且递增的函数,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题
2 答案: 3

共 100 分) .

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.(2013 福建,理 11)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”发生的概率为
1 3 1?3 1
1

解析:由 3a-1>0 得 a> ,由几何概型知 P=

= .

2 3

12.(2013 福建,理 12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视 图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是 . 答案:12π 解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径 2r= 22 + 22 + 22 = 12,所以 r= 3, 故该球的表面积为 S 球=4πr2=4π× 3=12π.

13.(2013 福建,理 13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= 长为 答案: 3 .
2

2 2 ,AB=3 3

2,AD=3,则 BD 的

解析:∵AD⊥AC,∴∠DAC= .
2 2 ,∴sin 3 2 2 ∴cos∠BAD= . 3

∵sin∠BAC=

∠BAD +

2

=

2 2 , 3 2 2 =3. 3

由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=(3 2)2+32-2× 2× 3 3× ∴BD= 3. 14.(2013 福建,理 14)椭圆 Γ: 2 + 答案: 3-1 解析:由直线 y= 3(x+c)知其倾斜角为 60° , 由题意知∠MF1F2=60° ,则∠MF2F1=30° 1MF2=90° ,∠F . 故|MF1|=c,|MF2|= 3c. 又|MF1|+|MF2|=2a,∴( 3+1)c=2a, 即 e=
2 3+1 x2 a y2 b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 .

Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于

= 3-1.
1 . 1?x

15.(2013 福建,理 15)当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1+x+x2+…+xn+…= 两边同时积分得:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0

1dx+

0

xdx+

0

x2dx+…+

0

xndx+…=

0

1 dx, 1?x

3

从而得到如下等式: 1× + ×
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

+ ×
1 2 2

1 3

1 3 1 1 n+1 +…+ × +…=ln 2 n+1 2
2 + n ×

2. .

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:
0 1 n × + n ×

1 答案: n+1
0 解析:由n

3 n+1 2

1 3

1 3 1 +…+ n 2 n+1 n

×

1 n+1 = 2

?1

+

1 2 n n x+n x2+…+n xn=(1+x)n,
1 2

0 两边同时积分得:n

0

1 1dx+n

0

1 2

2 xdx+n 2

1

=

0

1 2

0

x2dx+…+nn

0

1 2

xndx

(1+x)ndx,
1 + n

1 0 2 n

1 2

1 2 2

2 + n
1

1 3

1 3 1 1 n+1 +…+ n 2 n+1 n 2 1 n+1

=

1 (1 + x)n+1 n+1

|2 = 0

1+

1 n+1 2

?

1 n+1

=

1 n+1

3 n+1 2

?1 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(2013 福建,理 16)(本小题满分 13 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案 甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一 次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期 望较大? 解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 因为 P(X=5)= × =
2 3 2 5 4 ,所以 15 11 15 2 3 2 5 2 3 2 5

P(A)=1-P(X=5)= ,
11 15

即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方 案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 由已知可得,X1~B 2, 所以 从而
2 E(X1)=2× 3 4 2 4 = ,E(X2)=2× = , 3 5 5 8 12 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= . 3 5 2 3

,X2~B 2,

2 5

,

因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件, 因为 P(X=0)= 1 ?
2 3 2 3 2 5

× 1?

所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)= , 即这 2 人的累计得分 的分布列如下: X1 P 0 1 9 0 9 25 2 4 9 3 12 25 4 4 9 6 4 25

11 15 11 X≤3 的概率为 . 15

2 5

= ,P(X=2)= × 1 ?

1 5

2 3

2 5

= ,P(X=3)= 1 ?

2 5

2 3

× =

2 5

2 , 15

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得分为 X2,则 X1,X2

X2 P

4

所以 E(X1)=0× +2× +4× = ,E(X2)=0× +3× +6× = 因为 E(X1)>E(X2),

1 9

4 9

4 9

8 3

9 25

12 25

4 25

12 . 5

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 17.(2013 福建,理 17)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- . (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln 因而 f(1)=1,f'(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2)由 f'(x)=1- =
a x x?a ,x>0 知: x a x 2 x,f'(x)=1- (x>0), x

①当 a≤0 时,f'(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f'(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f'(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.

18.(2013 福建,理 18)(本小题满分 13 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(10,0),点 C 的 坐标为(0,10).分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,…,A9 和 B1,B2,…,B9.连结 OBi,过 Ai 作 x 轴的 垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N*,1≤i≤9). (1)求证:点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M,N,若△OCM 与△OCN 的面积比为 4∶1,求直线 l 的方程. 解法一:(1)依题意,过 Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i, Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. 10 x = i, i 设 Pi 的坐标为(x,y),由 y = x, 得 y= x2,即 x2=10y. 所以点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y. (2)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+10. y = kx + 10, 由 得 x2-10kx-100=0, x 2 = 10y, 此时 Δ=100k2+400>0,直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M,N. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 + x2 = 10k, ① x1 ·x2 = ?100, ②
1 10 10 i

因为 S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|. 又 x1·x2<0,所以 x1=-4x2, ?3x2 = 10k, 3 分别代入①和②,得 解得 k=± . 2 2 ?4x2 = ?100, 3 所以直线 l 的方程为 y=± x+10,即 3x-2y+20=0 或 3x+2y-20=0.
2

5

解法二:(1)点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线 E:x2=10y 上. 证明如下:过 Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i, Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. 10 x = i, i2 i 由 解得 Pi 的坐标为 i, , 10 y = x,
10 i

因为点 Pi 的坐标都满足方程 x2=10y, 所以点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y. (2)同解法一.

19.(2013 福建,理 19)(本小题满分 13 分)如图,在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥ DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0). (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1; (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值; (3)现将与四棱柱 ABCD A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接 成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的 新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f(k),写出 f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).
6 7

解:(1)取 CD 的中点 E,连结 BE. ∵AB∥DE,AB=DE=3k, ∴四边形 ABED 为平行四边形, ∴BE∥AD 且 BE=AD=4k. 在△BCE 中,∵BE=4k,CE=3k,BC=5k, ∴BE2+CE2=BC2, ∴∠BEC=90° BE⊥CD, ,即 又∵BE∥AD,∴CD⊥AD. ∵AA1⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴AA1⊥CD.又 AA1∩AD=A, ∴CD⊥平面 ADD1A1. (2)以 D 为原点,DA, DC, DD1 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1), 所以AC=(-4k,6k,0),AB1 =(0,3k,1),AA1 =(0,0,1).

6

设平面 AB1C 的法向量 n=(x,y,z),则由 ?4kx + 6ky = 0, 3ky + z = 0. 取 y=2,得 n=(3,2,-6k). 得 设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ,则 sinθ=|cos<AA1 ,n>|= =
6k 36k +13
2

·n = 0, 1 ·n = 0,

= ,

6 7

1 · n |1 |· |n|

解得 k=1,故所求 k 的值为 1. (3)共有 4 种不同的方案. 72k 2 + 26k, 0 < ≤ f(k)= 36k 2 + 36k, k >
5 . 18 5 , 18

20.(2013 福建,理 20)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为 π,图象的一个对称中 心为
,0 4

.将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移

2

个单位长度后得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)是否存在 x0∈
, 6 4

,使得 f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的个数;若不存在,

说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点. 解法一:(1)由函数 f(x)=sin(ωx+φ)的周期为 π,ω>0,得 ω= =2. 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为 故f
4 ,0 4 2 T

,φ∈(0,π), f(x)=cos 2x.
2

=sin 2 ×
2 , 6 4

+φ 4

=0,得

φ= ,所以 2

将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cos x 的图象,再将 y=cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)=cos x ? (2)当 x∈
1 时, <sin 2 2 x< ,0<cos 2 1 2x< , 2 , 6 4

的图象,所以 g(x)=sin x.

所以 sin x>cos 2x>sin xcos 2x. 问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在 设 G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈ 因为 x∈ 又G
, ,所以 6 4 1 =- <0,G 6 4 4 , 6 4

内是否有解.

,

则 G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). G'(x)>0,G(x)在 =
, 6 4 2 >0, 2 , 6 4

内单调递增.
, 6 4

且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在 即存在唯一的 x0∈ 满足题意.

内存在唯一零点 x0,

(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0. 当 sin x=0,即 x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而 x=kπ(k∈Z)不是方程 F(x)=0 的解, 所以方程 F(x)=0 等价于关于 x 的方程 a=情况. 令 h(x)=2x ,x∈(0,π)∪(π,2π), x 2 3 2 2x ,x≠kπ(k∈Z).现研究 x 2x 的解的 x

x∈(0,π)∪(π,2π)时方程 a=-

则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况. h'(x)=
x(22 x+1) ,令 2 x

h'(x)=0,得 x= 或 x= . 3π 2 3π 2 0 -1 3π , 2π 2 + ↗

当 x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表: π π π x 0, ,π 2 2 2 h'(x) + 0 h(x) ↗ 1 ↘

π, ↘

7

当 x>0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-∞, 当 x<π 且 x 趋近于 π 时,h(x)趋向于-∞, 当 x>π 且 x 趋近于 π 时,h(x)趋向于+∞, 当 x<2π 且 x 趋近于 2π 时,h(x)趋向于+∞. 故当 a>1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有 2 个交点; 当 a<-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内有 2 个交点,在(π,2π)内无交点; 当-1<a<1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内有 2 个交点,在(π,2π)内有 2 个交点. 由函数 h(x)的周期性,可知当 a≠± 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正 1 整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个交点; 又当 a=1 或 a=-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有 3 个交点,由周期性,2 013=3× 671,所以依 题意得 n=671× 2=1 342. 综上,当 a=1,n=1 342 或 a=-1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点. 解法二:(1)、(2)同解法一. (3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x=-2sin2x+asin x+1. 现研究函数 F(x)在(0,2π]上的零点的情况. 设 t=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1),则函数 p(t)的图象是开口向下的抛物线, 又 p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1. 当 a>1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0)(另一个零点 t2>1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点 x1,x2,且 x1,x2∈ (π,2π); 当 a<-1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(0,1)(另一个零点 t2<-1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点 x1,x2,且 x1,x2 ∈(0,π); 当-1<a<1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0),另一个零点 t2∈(0,1),F(x)在(0,π)和(π,2π)分别有两个零点. 由正弦函数的周期性,可知当 a≠± 时,函数 F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点,从而不存在正整数 n 满足题 1 意. 当 a=1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0),另一个零点 t2=1; 当 a=-1 时,函数 p(t)有一个零点 t1=-1,另一个零点 t2∈(0,1), 从而当 a=1 或 a=-1 时,函数 F(x)在(0,2π]有 3 个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3× 671,所以依题意得 n=671× 2=1 342. 综上,当 a=1,n=1 342 或 a=-1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点. 21.(2013 福建,理 21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题 号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 1 2 已知直线 l:ax+y=1 在矩阵 A= 对应的变换作用下变为直线 l':x+by=1. 0 1 ①求实数 a,b 的值; x0 x0 ②若点 P(x0,y0)在直线 l 上,且 A y = y ,求点 P 的坐标. 0 0 (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 直线 l 的极坐标方程为 ρcos
θ? 4

2,

4

,

=a,且点 A 在直线 l 上.

①求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; x = 1 + α, ②圆 C 的参数方程为 (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. y = α (3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A,且 ∈A, ?A. ①求 a 的值; ②求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
3 2 1 2

8

(1)选修 4—2:矩阵与变换 解:①设直线 l:ax+y=1 上任意点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M'(x',y'). x + 2y x′ 1 2 x 由 = = , y y′ 0 1 y x′ = x + 2y, 得 y′ = y. 又点 M'(x',y')在 l'上,所以 x'+by'=1,即 x+(b+2)y=1, a = 1, a = 1, 依题意得 解得 b + 2 = 1, b = ?1. x0 x0 x = x0 + 2y0 , ②由 A y = y ,得 0 解得 y0=0. y0 = y0 , 0 0 又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1. 故点 P 的坐标为(1,0). (2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化 思想.满分 7 分. 解:①由点 A 2,
4

在直线 ρcos θ ?

4

=a 上,可得 a= 2.

所以直线 l 的方程可化为 ρcosθ+ρsinθ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. ②由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d=
1 2

=

2 <1, 2

所以直线 l 与圆 C 相交. (3)选修 4—5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. 解:①因为 ∈A,且 ?A,所以 ? 2 <a,且 ? 2 ≥a, a∈N*,所以 a=1. ②因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号.所以 f(x)的最小值为 3.
3 1 2 2 1 3 解得 <a≤ .又因为 2 2 3 2 1 2

9


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