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广州市高二数学竞赛试题


广州市高二数学竞赛试题 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z 的值是 3 ?i B. A. 1 4 1 2 C. 2 D. 4 2.已知向量 a ? ? x ? ? ? 2 ? , x ? 与向量 b ? ? ?3, 2x ? 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是 3 ? B. ? ??, ? ? ? ? 2, ?? ? D. ? 0, 2 ? A. ? ? ? 1 ? ,2? ? 2 ? ? ? 1? 2? C. ? ? ? 1 ? , 0 ? ? ? 0, 2 ? ? 2 ? 3. 已知函数 f ? x ? ? 2x sin 2x ? cos2x ,则下列不等式中恒成立的是 A. f ? ?3? ? ?? ? ? f ?1? ? f ? ? ? ?2? ? 4? B. f ?1? ? f ? ? ? ?? ?3? ?? f ? ? ? 4? ? 2? C. f ? ? ? ?? ?3? ? ? f ? ? ? f ?1? ? 4? ? 2? D. f ? ? ? ?? ?3? ? ? f ?1? ? f ? ? ? 4? ? 2? x y x y x y 4. 若实数 x , y 满足 9 ? 9 ? 2 3 ? 3 ,则 t ? 3 ? 3 的取值范围是 ? ? A. 0 ? t ? 2 B. 2 ? t ? 4 C. 0 ? t ? 4 D. t ? 4 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 已知 n ?N , an ? 3 ? 5 ? 7 ??? ? 2n ?1? ,则数列 ? * ?1? ? 的前 n 项和 Sn ? ? an ? . 6.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A ,“骰子向上 的点数是 5 ”为事件 B ,则事件 A 、 B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数 f ? x ? ? x ?1 的最大值是 2x ? 3 . ? x ? 1, ? 8. 设不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 所表示的平面区域为 ?1 ,平面区域 ? 2 与 ?1 关于直线 ?y ? x ? 2 x ? y ? 4 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ? 2 中的任意一点 B , AB 的最小值等 于 . 9. 已知 A, B, C 是表面积为 64? 的球面上三点, AB ? 2, ?ACB ? 30? , O 为球心,则直 线 OA 与平面 ABC 所成角的余弦值是 . 2 3 4 10. 若将函数 f ? x ? ? x4 表示为 f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? a3 ?1 ? x ? ? a4 ?1 ? x ? 其中 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 为实数,则 a3 的值为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2x ? a cos2 x (a ? R, a 为常数 ) ,且 (1)求 a 的值; (2)若 x ? ? ? ? 是函数 y ? f ? x ? 的零点. 6 ? ? ?? ,求 f ? x ? 的最大值和

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