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安徽省宿松县 高中数学第三章直线与方程323直线的一般式方程教案新人教A版必修2(数学教案)

3.2.3 直线的一般式方程 1.掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方 程的对应关系,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学 态度和求简的数学精神. 教学 目标 2. 会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距 式,培养学生归纳、概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思 想. 3.通过教学,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言 表述能力的训练. 教学 重、 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是 1,经过点 A(1,8) ;(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是-7,7; (3)经过两点 P1(-1,6) 、P2(2,9) ;(4)y 轴上的截距是 7,倾斜角是 45°. 由 两 个 独 立 条 件 请 学 生 写 出 直 线 方 程 的 特 殊 形 式 分 别 为 y-8=x-1 、 教学过 程 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系, 关键是直线方程各种形式的互化. x y y ? 6 x ?1 ? =1、 ? 、y=x+7,教师利用计算机动态显示,发现上 ?7 7 9 ? 6 2 ?1 述 4 条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成: x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式,这就是我们今天要讲的新 课——直线方程的一般式. 提出问题 ①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于 x,y 的二元一次方程? ②关于 x,y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0(其中 A、B 不同时为零)是 否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相 1 转化? ④特殊形式如何化一般式 ? 一般式如何化特殊形式 ?特殊形式之间如何互 化? ⑤我们学习了直线方程的一般式 Ax+By+C=0,系数 A、B、C 有什么几何意 义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性? 讨论结果:①分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α . 1°当 α ≠90°时,它们都有斜率,且均与 y 轴相交,方程可用斜截式表 示:y=kx+b. 2°当 α =90°时, 它的方程可以写成 x=x1 的形式, 由于在坐标平面上讨论 问题,所以这个方程应认为是关于 x、y 的二元一次方程,其中 y 的系数 是零. 结论 1°:直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程. A C x- ,这就是直线的斜截式方 B B A C 程,它表示斜率为- ,在 y 轴上的截距为- 的直线.b 当 B=0 时,由于 B B C A、B 不同时为零必有 A≠0,方程化为 x=- ,表示一条与 y 轴平行或重 A ②分析:a 当 B≠0 时,方程可化为 y=合的直线. 结论 2°:关于 x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得:这样我们就建立了直线与关于 x,y 的二元一次方程之间的对应关 系.我们把 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式. 注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式(初中时学过的一次函数)把 新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案,最后得出能进行互化. ④待学生通过练习后师生小结:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定 可以化为其他形式(如特殊位置的直线) ,由于取点的任意性,一般式化 成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见;特殊 形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成 一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图 1). 2 图1 ⑤列表说明如下: 形 式 方程 y-y1=k(x-x1) 局限 除 x=x0 外 个定点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴 斜截式 y=kx+b 除 x=x0 外 上的截距 两点式 除 x=x0 和 y=y0 外 除 x=x0、y=y0 截距,b 是 y 轴上的 及 y=kx 外 非零截距 当 B≠0 时,一般式 Ax+By+C=0 无 斜率,(x1,y1)、(x2,y2)是 直线上两个定点 a 是 x 轴上的非零 截距式 各常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一 点斜式 y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1 x y ? =1 a b A 是 B C 是 y 轴上 B 的截距 应用示例 例 1 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为式方程. 解 : 经 过 点 A(6,-4) 且 斜 率 为 y+4=- 4 ,求直线的点斜式和一般 3 4 的直线方程的点斜式方程为 3 4 (x-6). 3 化成一般式,得 4x+3y-12=0. 变式训练 1.已知直线 Ax+By+C=0, 3 (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线? (2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? (3)系数满足什么条件时,只与 x 轴相交? (4)系数满足什么条件时,是 x 轴? (5)设 P(x0,y0)为直线 Ax+By+C=0 上一点, 证明这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 答案: (1)C=0; (2)A≠0 且 B≠0; (3)B=0 且 C≠0; (4)A=C=0 且 B≠0; (5)证明:∵P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上, ∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0. ∴A(x-x0)+B(y-y0)=0. 2.(2007 上海高考 , 理 2) 若直线 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1 平行 , 则 m=____________. 答案:- 2 3 例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距,


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