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江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高三数学理基础大题训练3 含答案

高三理科数学基础大题训练三 1、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备? 2、已知 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) cos( x ? ) ? 2 3 cos 2 ( x ? ) ? 3 . 2 2 2 ? ? (Ⅰ)化简 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 0≤θ≤π,求 θ,使函数 f(x)为偶函数; (Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,求满足 f ( x) ? 1, x ? [?? , ? ] 的 x 的集合. 3、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 a >0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上最小值. 高三理科数学基础大题训练三 1、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备? y? 解: (1) 100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x y ? x? 即 100 ? 1.5 x ( x ? 0) ;-----------------------------------7 分 * (不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行) (2)由均值不等式得: y ? x? 100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 x x (万元)--------------11 分 x? 100 x ,即 x ? 10 时取到等号.----------------------13 分 当且仅当 答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. ----------14 分 f ( x) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) ? 2 3 cos 2 ( x ? ) ? 3 2 2 2 2、已知 . (Ⅰ)化简 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 0≤θ≤π,求 θ,使函数 f(x)为偶函数; (Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,求满足 f ( x) ? 1, x ? [?? , ? ] 的 x 的集合. 9. (1)f(x)= 2 cos( 2 x ? ? ? ? ? ? ? 6 ) (或f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ? ? )) 3 ; ?? (2)当 ? 6 时,f(x)为偶函数 5 ? {x | x ? ? ? 或x ? ? } 6 6 (3) (a ? R ) . 3、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 a >0 时,求函数 f ( x) 在 [1, 2] 上最小值. f ?( x) ? 解:(Ⅰ) 1 1 ?a f ?( x) ? ? a x x ( x ? 0 ),①当 a ≤ 0 时, >0, 故函数 f ( x ) 增函数,即函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) . ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 1 1 ?a ?0 x? a, x ,可得 当 0? x? 1 1 ? ax 1 1 ? ax f ?( x) ? ?0 x? f ?( x) ? ?0 a 时, x a 时, x ;当 , 1 1 [ , ??) (0, ] 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 a ,单调减区间是 a . 1 ?1 (Ⅱ)①当 a ,即 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间[1,2]上是减函数, ∴ f ( x ) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a . 1 1 ?2 a? 2 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, ②当 a ,即 ∴ f ( x ) 的最小值是 f (1) ? ?a . ③当 1? 1 1 1 1 [1, ] [ , 2] ?2 ? a ?1 f ( x ) a ,即 2 时,函数 在 a 上是增函数,在 a 是减函数. 1 ? a ? ln 2 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a 又 ,∴当 2 时,最小值是 f (1) ? ? a ; 当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a . 综上可知,当 0 ? a ? ln 2 时, 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x)min ? a ;当 a ? ln 2 时,函数 f ( x) 的 最小值是 f ( x)min ? ln 2 .


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