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2014高一必修4三角函数(诱导公式及同角三角函数关系式)练习题及讲义


必修 4:同角三角函数的基本关系式及诱导公式 练习题(一)
题组一 同角三角函数基本关系式的应用 ( ) 5 1.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)= 13 12 A.- 13 12 C.± 13 12 B. 13 5 D. 12

5 5 解析:由 cos(α-π)=- 得,cosα= ,而 α 为第四象限角, 13 13 12 2 ∴sin(-2π+α)=sinα=- 1 ? cos a =- . 13 答案:A π 3π 3 2.已知 α∈( , ),tan(α-7π)=- ,则 sinα+cosα 的值为 2 2 4 1 A.± 5 1 C. 5 1 B.- 5 7 D.- 5 ( )

3 π 3 4 解析:tan(α-7π)=tanα=- ,∴α∈( ,π),sinα= ,cosα=- , 4 2 5 5 1 ∴sinα+cosα=- . 5 答案:B

sin(
3.已知 tanθ=2,则

? ?
2 2

? ? ) ? cos(? ? ? )
= ( )

sin(
A.2 C.0

? ? ) ? sin(? ? ? )
B.-2 2 D. 3

sin(
解析:

? ?
2 2

? ? ) ? cos(? ? ? )


sin(


? ? ) ? sin(? ? ? )

cos ? ? ( ? cos ? ) cos ? ? sin ?

2cos ? 2 2 = = =-2. 1 - 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

答案:B

题组二 4.(tanx+

化 简 问 题 (
1

1 )cos2x= tan x

)

A.tanx C.cosx

B.sinx D.

1 tan x

解析:(tanx+

sin x cos x 1 )cos2x=( + )cos2x cos x sin x tan x

sin 2 x ? cos 2 x cos x 1 = · cos2x= = . sin x cos x sin x tan x
答案:D π π π π 5.sin(π+ )sin(2π+ )sin(3π+ )…sin(2010π+ )的值等于 6 6 6 6 11 1 1 1 解析:原式=(- ) (- )… =- 2010. 22 2 2 2 1 答案:- 2010 2 6.若 sinθ= 3 ,则 3 .

cos(? ? ? ) + 3 cos ? [sin( ? ? ? ) ? 1] 2

cos(2? ? ? ) 3? cos(? ? ? )sin( ? ? ) ? sin( ?? ) 2 2
解析:原式=

?

的值为

.

? cos ? cos ? + cos ? ( ? cos ? ? 1) ? cos ? ? cos ? ? cos ?



1 cos ? ? 1



1 1 ? cos ?



2 2 = =6. 2 1 ? cos ? sin 2 ?

答案:6

题组三 π 1 π 7.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)= 4 3 4 2 A. 2 3 1 C. 3 π π π 解析:∵cos( +α)=sin[ -( +α)] 4 2 4 π π =sin( -α)=-sin(α- ) 4 4 1 =- . 3 答案:D
2

条件求值问题 ( )

2 B.- 2 3 D.- 1 3

8.已知 A 为锐角,lg(1+cosA)=m,lg

1 =n,则 lgsinA 的值为 1 ? cos A
B.m-n 1 D. (m-n) 2

(

)

A.m+

1 n

1 1 C. (m+ ) 2 n
解析:两式相减得 lg(l+cosA)-lg

1 =m-n 1 ? cos A

?lg[(1+cosA)(1-cosA)]=m-n?lgsin2A=m-n, ∵A 为锐角,∴sinA>0, ∴2lgsinA=m-n,∴lgsinA= 答案:D

m?n . 2

3 sin(? ? a )cos(2? ? a )cos( ? a ? ? ) 2 9.已知 f(α)= cos(
(1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 为第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值; 2 5 31 (3)若 α=- π,求 f(α)的值. 3 解:(1)f(α)=

?

2

? a )sin( ?? ? a )

sin a ? cos a( ? sin a ) =-cosα. sin a ? sin a

3 1 1 (2)∵cos(α- π)=-sinα= ,∴sinα=- , 2 5 5 又∵α 为第三象限角, 2 6 2 ∴cosα=- 1 ? sin a =- , 5 ∴f(α)= 2 6 . 5

31 5 (3)∵- π=-6× 2π+ π 3 3 ∴f(- 31 31 π)=-cos(- π) 3 3

5 =-cos(-6× 2π+ π) 3 5 π 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2

题组四

公式的灵活应用

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零常数,若
3

f(2 009)=-1,则 f(2 010)等于 A.-1 C.1 B.0 D.2

(

)

解析:法一:∵f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ)=-1, ∴f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asinα+bcosβ=1. 法二:f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asin[π+(2 009π+α)]+bcos[π+(2 009π+β)] =-asin(2 009π+α)-bcos(2 009π+β) =-f(2 009)=1. 答案:C 11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30° )的值为 解析:∵f(cosx)=cos3x, ∴f(sin30° )=f(cos60° )=cos3× 60° =cos180° =-1. 答案:-1 π π π 12.是否存在角 α,β,α∈(- , ),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos( -β), 2 2 2 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在, 请说明理由. 解:假设存在角 α,β 满足条件,则 ? 由①2+②2 得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α= ,∴sinα=± . 2 2 π π π ∵α∈(- , ),∴α=± . 2 2 4 π 3 π 当 α= 时,cosβ= ,∵0<β<π,∴β= ; 4 2 6 π 3 π 当 α=- 时,cosβ= ,∵0<β<π,∴β= . 4 2 6 此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α= ,β= 满足条件. 4 6 .

? ?sin ? ? 2 sin ? , ? ? 3 cos ? ? 2 cos ? .

练习题(二) 任意角的三角函数与诱导公式
一.选择题
4

4 1.已知 sin(π +α )= ,且 α 是第四象限角,则 cos(α -2π )的值是 5

( (D)



3 3 (B) 5 5 2.若 cos100°= k,则 tan ( -80°)的值为
(A)- (A)-
1? k k
2

(C)±

3 5
1? k k
2

4 5
( )
1? k k
2

(B)

1? k k

2

(C)

(D)-

3.在△ABC 中,若最大角的正弦值是

2 ,则△ABC 必是 2





(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角 α 终边上有一点 P(3a,4a)(a≠0) ,则 sin(450°-α )的值是 (A)-
4 5





(B)-

3 5

(C)±

3 5

(D)±

4 5

5.设 A,B,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 (A)cos(A+B)=cosC (B)sin(A+B)=sinC ②cos(2nπ + (C)tan(A+B)=tanC
? ) 6

( (D)sin



C A? B =sin 2 2
? ] 6

4 6.下列三角函数:①sin(nπ + π ) 3

③sin(2nπ +

? ) 3

④cos[(2n+1)π ( (D)①③⑤

⑤sin[(2n+1)π (A)①②

? ? ](n∈Z)其中函数值与 sin 的值相同的是 3 3
(B)①③④ (C)②③⑤ )



4 7.若 sinα = 5 ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值等于( 4 3 3 A.- 3 B. 4 C.± 4 1 8.已知 sinα +cosα = 5 ,且 0≤α <π ,那么 tanα 等于( 4 3 3 A.- 3 B.- 4 C. 4
9.若 sin α +cos α =1,则 sinα +cosα 等于( ) A.± 2 B.1 C.-1 二.填空题
4 4

4 D.± 3


4 D. 3
D.±1

cos ? ? 2 sin ? 10.若 sinα +3cosα =0,则 2 cos ? ? 3 sin ? 的值为____________. 1 11.已知 tanα =2,则 sin ? cos ? =____________.
12.化简 tan ?
1 ?1 = sin 2 ?

,且 ? 在第二象限

13.

tan(?150?) ? cos(?570?) ? cos(?1140?) = tan(?210?) ? sin(?690?)
2

.

14.sin (

? 2 ? -x)+sin ( +x)= 3 6

.

15.化简

1 ? 2sin10 ?cos10 ? cos10 ? ? 1 ? cos 2 170 ?

=

.

16.已知 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),其中 α 、β 、a、b 均为非零常数,且列命题:
5

f(2006) = ?

15 ,则 f(2007) = 16

.

三.解答题 17.已知 tanα =2,求下列各式的值: (1)
sin ? ? cos ? ; sin ? ? cos ?

(2) sin ? cos? ;

(3) 3sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? cos2 ? 。

tan(? ? ? ) ? sin 2(? ? ) ?cos(2 ? ? ?) 2 18.化简 . cos 3 ( ?? ? ? ) ? tan(? ? 2? )

?

19. 设 f(θ )=

2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? cos(?? ) ? 3 ? , 求 f( )的值. 2 2 ? 2cos (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 3

20.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? 。 5
(2)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值。

(1)求 sin ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 的值;

课后练习题

1. 若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是(

)

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2. tan690° 的值为( 3. sin585° 的值为( 3 ) A.- 3 ) 2 A.- 2
1 2

3 B. 3 2 B. 2 B -1
6

C. 3

D.- 3 3 D. 2 D-
3 2

3 C.- 2 C
3 2

4.sin(- 19 π )的值是( ) A
6

2

5.若 cos(π+α)=- B.
6 3

10 5

,且 α∈(- π ,0) ,则 tan( 3 π +α)的值为( )
2 2
6 2

A.-

6 3

C.-

D.

6 2

6.已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2cos2 ? ? ( A. ?
4 3


4 5

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

7. 已知角 ? 的终边经过点 P(?8m, ?6cos 60? ) ,且 cos? ? ? ,则 m 的值是 B. ?
1 2

4 5

A.

1 2

C. ?

3 2

D. )

3 2

8.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( A. sin2+cos2 9.tanα=m,则 B. cos2-sin2

C. sin2-cos2

D. ±(cos2-sin2) .

sin( α ? 3?) ? cos( π ?α ) ? sin(? α ) - cos( π ?α )

10.sin21° +sin22° +sin23°+…+sin289° =_________. 11. 化简 sin2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? sin2 ? ? cos2 ? cos2 ? ?
sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cot(?? ? 2? ) 12. 化简: .= tan(? ? ? ) ? cos3 ( ?? ? ? )

.

7


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