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学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义习题苏教版选修22

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义习题 苏教版 选修 2-2 明目标、 知重点 1.了解复数的几何意义, 会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减 运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 1.复数的几何意义 任何一个复数 z=a+bi 和复平面内 Z(a,b)一一对应,和以原点为起点,以 Z(a,b)为终点 → 的向量OZ一一对应. 2.复数的模 设 z=a+bi,则|z|= a +b . 3.复平面中两点的距离 两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 2 2 [情境导学] 我们知道实数的几何意义,实数与数轴上的点一一对应,实数可用数轴上的点来表示,那么 复数的几何意义是什么呢? 探究点一 复数与复平面内的点 思考 1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢? 答 任何一个复数 z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面 直角坐标系中的点集可以建立一一对应. 小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.显 然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 思考 2 判断下列命题的真假: ①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; ④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数; 1 ⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限. 答 根据实轴的定义,x 轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实 轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数 2,因此①③是真命题;根据虚轴的定义,y 轴叫虚轴, 显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上, 如纯虚数 5i 对应点(0,5), 但虚轴上的点却不都是纯 虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示的是 实数,故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题;对于非纯 虚数 z=a+bi,由于 a≠0,所以它对应的点 Z(a,b)不会落在虚轴上,但当 b=0 时,z 所 对应的点在实轴上,故⑤是假命题. 例 1 在复平面内,若复数 z=(m -m-2)+(m -3m+2)i 对应的点(1)在虚轴上;(2)在第二 象限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围. 解 复数 z=(m -m-2)+(m -3m+2)i 的实部为 m -m-2,虚部为 m -3m+2. (1)由题意得 m -m-2=0. 解得 m=2 或 m=-1. ? ?m -m-2<0 (2)由题意得? 2 ?m -3m+2>0 ? ?-1<m<2 ? ∴? ?m>2或m<1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ∴-1<m<1. (3)由已知得 m -m-2=m -3m+2, 故 m=2. 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系, 每一个复数都对 应着一个有序实数对, 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点, 就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练 1 实数 m 取什么值时,复数 z=(m +5m+6)+(m -2m-15)i (1)对应的点在 x 轴上方; (2)对应的点在直线 x+y+4=0 上. 解 (1)由 m -2m-15>0,得 m<-3 或 m>5, 所以当 m<-3 或 m>5 时,复数 z 对应的点在 x 轴上方. (2)由(m +5m+6)+(m -2m-15)+4=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 得 m=1 或 m=- ,所以当 m=1 或 m=- 时, 2 2 复数 z 对应的点在直线 x+y+4=0 上. 探究点二 复数与向量 思考 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系? 答 当向量的起点在原点时, 该向量可由终点唯一确定, 从而可与该终点对应的复数建立一 一对应关系. 思考 2 怎样定义复数 z 的模?它有什么意义? → 答 复数 z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量OZ=(a,b)的模,记作|z|或|a+bi|. |z|=|a+bi|= a +b 可以表示点 Z(a,b)到原点的距离. 例 2 已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围. 解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 3 +a , 由已知得 3 +a <4 ,∴a <7,∴a∈(- 7, 7). 方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 4 为半径的圆内(不包括边界), 由 z=3+ai 知 z 对应的点在直线 x=3 上, 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 2 2 2 2 2 2 2 2 由图可知:- 7<a< 7. 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件, 是一种复数问题实 数化思想;根据复数模的意义,结合图形,可利用平面几何知识解答本题. 1 跟踪训练 2 求复数 z1=3+4i,z2=- - 2i 的模,并比较它们的大小. 2 解 |z1|= 3 +4 =5,|z2|= 3 ∵5> ,∴|z1|>|z2|. 2 探究点三 复数加减法的几何意义 思考 1 复数与复平面内的向量一一对应, 你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的 3 2 2 1 - 2 2 + - 2 2 3 = . 2 几何意义吗? → → → → 答 如图,设OZ1,OZ2分别与复数 a+bi,c+di 对应,则有OZ1=(a,b),OZ2=(c,d),由 → → → → 向量加法的几何意义OZ1+OZ2=(a+c,b+d),所以OZ1+OZ2与复数(a+c)+(b+d)i 对应, 复数的加法可以按照向量的加法来进行. 思考 2 怎样作出与复数 z1-z2 对应的向量? 答 z1-z2 可以看


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