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上海市闵行区2016年高三数学一模(含答案)


上海市闵行区 2015-2016 学年第一学期高三一模 数 学 试 卷(文科)
(满分 150 分,时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有 23 道试题. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 i z ? 3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 | z |? 2.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 ? U A ? 3.方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解为
x x

2016.1

.2 . (??,0)

1 2

. x ? log2 3 .?

4.函数 f ? x ? ?
5.不等式

cos(? ? x) sin x 的最小正周期 T = sin(? ? x) cos x
. (0,2)

1 1 ? 的解集为 x 2

6.若一圆锥的底面半径为 3 ,体积是 12? ,则该圆锥的侧面积等于

. ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 7. 已知 △ ABC 中,AB ? 4 i ? 3 j ,AC ? ?3i ? 4 j , 其中 i、j 是基本单位向量, 则 △ ABC
的面积为 .

25 2

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、 地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多 选择一门,那么小明同学的选科方案有 种.10

S3 S 2 S ? ? 5 ,则 lim n ? .5 n ?? n 2 3 2 x ?1 10.若函数 f ( x) ? 2 ,且 f ( x ) 在 [m, ??) 上单调递增,则实数 m 的最小值等于 . 1
9.若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且

x2 y2 ? ? 1 (a ? 1) 上运动, F1、F2 是椭圆 ? 的左、右焦 a2 a2 ?1 ???? ???? ? ??? ? 点,则 PF1 ? PF2 ? 2 PQ 的最大值为 . 2a
11.若点 P 、 Q 均在椭圆 ? :

? ? 0x? 4 ?c o s x, ? 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 实 数 a、b、c 互 不 相 等 , 且 满 足 2 ? ?? x ? 5, x ? 4
1

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是
其理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为

. (8, 10)

13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,

b d * 和 ( a, b, c, d ? N ),则 a c

b?d 是 x 的 更 为 精 确 的 不 足 近 似 值 或 过 剩 近 似 值 . 我 们 知 道 ? ? 3.14159 ??? , 若 令 a?c 31 49 16 ? ? ? ,则第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 10 15 5 22 31 16 ??? , 若每次都取最简分数, 那么第四次用 “调日法” 后可得 ? 的近似分数为 . 7 10 5 1 n 14.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若对任意 n ? N* ,都有 S n ? ( ?1) an ? n ? n ? 3 ,则 2 1 1 ?n . ? 数列 ?a2n?1? 的前 n 项和为 3 3 ? 4n
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则“ a ? b ”是“ (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件

b a ? ? 2 等号成立”的( A a b
(B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

).

16.设 f ( x) ? 2 ? 5x ? 10 x2 ? 10 x3 ? 5x4 ? x5 ,则其反函数的解析式为( C (A) y ? 1 ? 5 x ?1 (C) y ? ?1 ? 5 x ?1 (B) y ? 1 ? 5 x ?1 (D) y ? ?1 ? 5 x ?1

).

17.△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 满足 范围是( (A) ? 0, B ).

a ?b?c c ? , 则角 A 的 b a?b?c

? ?

?? ? ??

(B) ? 0,

? ?

?? ? ??

(C) ? , ? ? ?? ?

??

?

(D) ? , ? ? ?? ?

??

?

18.函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图像如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?1, 2? ,图 像如图 2 所示. A ? x f ( g ( x)) ? 0 , B ? x g ( f ( x)) ? 0 , 则 A ? B 中元素的个数为 ( C ).(A) 1 y 1 x
2 图2

?

?

?

?
y

(B) 2

(C) 3

(D) 4

1 1 -1 -1 O 1 2 x

-1

O

图1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) C1
如图,三棱柱 ABC ? A 1 1B 1C1 中,侧棱 AA

? 底面 ABC ,

? AA1 ? AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ? , D 为棱 AA1 中点,证 ? ? 明 异 面 直 线 B1C1 与 CD 所 成 角 为 ,并求三棱柱 ?

A1

B1

D C A B

ABC ? A1B1C1 的体积.
[证明]? 在三棱柱 ABC ? A 1 1B 1C1 中,侧棱 AA

? 底面 ABC ,

BC // B1C1 ,??BCD 或它的补角即为异面直线 B1C1 与 CD 所成角,?????2 分
由 AB ? 2 , BC ? 1 , ?BAC ?

BC ? AC ,????4 分 又? BC ? AA 1 ,????6 分 1 ,? BC ? 面ACC1 A ? BC ? CD ??????8 分 ? 所以异面直线 B1C1 与 CD 所成角的为 .???????? 10 分 2 1 ? 3 ?1? 2 ? 3 . ?????12 分 三棱柱 ABC ? A 1 ? 1B 1C1 的体积为 V ? S△ ABC ? AA 2
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 6 分.
如图,点 A 、 B 分别是角 ? 、 ? 的终边与单位圆的交点, 0 ?

? ? 以 及 正 弦 定 理 得 sin ?ACB ? ? , ??ACB ? 即 ? ?

??

? ? ? ? ?. 2
y B O x

(1)若 ? =

2 3 ? , cos ?? ? ? ? ? ,求 sin 2? 的值; 3 4

(2)证明: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

A

2 [解](1)方法一:? cos ?? ? ? ? ? , 3

?cos(2? ? 2? ) ? 2 cos2 (? ? ? ) ?1 = ?
3? 1 3 ? 2? ) ? ? , ? ? = ? ,即 cos( 4 2 9

1 ?3 分 9
?????????????6 分

3

1 ? sin 2 ? ? . 9
方法二:? cos ?? ? ? ? ?

?????????????8 分

2 3 2 2 2 , ? = ? ,即 ? cos ? ? sin ? ? , ????3 分 4 3 2 2 3
???????????6 分

? sin ? ? cos ? ?
1 ? sin 2 ? ? . 9

8 2 2 ,两边平方得,1 ? sin 2 ? ? 9 3

?????????????8 分

(2)[证明]由题意得, OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? )

?OA? OB = cos? cos ? ? sin ? sin ?
又因为 OA 与 OB 夹角为 ? ? ? , OA ? OB ? 1

??????10 分

?OA? OB = OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

?????????12 分

综上 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立. ???????????14 分 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1 、 l2 ,海岸边界 MPN 近似地看 成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB ,且 直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P (即直线与曲线相切) ,如图所示.若曲 线段 MPN 是函数 y ?

a 图像的一段, 点 M 到 l1 、 点N l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米, x

到 l2 的距离为 10 千米,点 P 到 l2 的距离为 2 千米.以 l1 、l2 分别为 x、 y 轴建立如图所示 的平面直角坐标系 xOy . (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)求直线 AB 的方程,并求出公路 AB 的长度(结 果精确到 1 米). [解] (1) 由题意得 M (1,8) , 则 a ? 8, 故曲线段 MPN 的函数关系式为 y ? O y A M

l2

大海 P N

l1

B

x

8 ,?4 分 x 4 又得 N (10, ) ,所以定义域为 ?1,10? . ????????????6 分 5 (2)由(1)知 P (2, 4) ,设直线 AB 方程为 y ? 4 ? k ( x ? 2) ,
4

? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? 由? 得 8 y? ? x ?

k x2 ? 2(2 ? k ) x ? 8 ? 0 , ? ? 4(2 ? k )2 ? 32k ? 4(k ? 2)2 ? 0 ?8 分
? k ? 2 ? 0 ,? k ? ?2 ,所以直线 AB 方程为 y ? ?2 x ? 8 ,
得 A(0,8) 、 B(4, 0) , 所以 AB ? 64 ? 16 ? 4 5 ? 8.944 千米. 答: 公路 AB 的长度为 8.944 千米. ???14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2) (3)小题满分各 6 分. 已 知 椭 圆 ? 的 中 心 在 坐 标 原 点 , 且 经 过 点 (1, ?????? 10 分 ??????????????????12 分

3 ), 它 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 2

斜率为 k 的直线 l 交抛物线 ? 于 A、B 两点, 交椭圆 ? 于 C、D ? : y 2 ? 4 x 的焦点重合, 两点. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)直线 l 经过点 F ?1, 0 ? ,设点 P(?1, k ) ,且 △ PAB 的面积为 4 3 ,求 k 的值; (3)若直线 l 过点 M ? 0, ?1? ,设直线 OC ,OD 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 等差数列,求直线 l 的方程.

1 2 1 , , 成 k1 k k2

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 [解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? ??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 2 y ? 4 x , ?

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ?

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1 ? k ? k2 k2 3k k 2 ?1
,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

??????????6 分

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 2 k2 k 2 ?1

5

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

?????????10 分

? y ? kx ? 1, ? 2 2 (3)设直线 l : y ? kx ? 1 ,由 ? x 2 y 2 消去 y 得 ? 4k ? 3? x ? 8kx ? 8 ? 0 , ? 1, ? ? ?4 3

M ? 0, ?1? 在 椭 圆 内 部 , ? l 与 椭 圆 恒 有 两 个 交 点 , 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? , 则
8k ? x1 ? x2 ? 2 , ? 1 2 1 4 1 1 x1 x2 x1 y2 ? x2 y1 ? 4k ? 3 ,由 , , 成等差数列得 ? ? ? ? ? ? ? 8 k k k k k k y1 y2 y1 y2 1 2 1 2 ? xx ? . 1 2 2 ? 4k ? 3 ?

?
?

x1 (kx2 ? 1) ? x2 (kx1 ? 1) 2kx x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 1 2 (kx2 ? 1)(kx1 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
?16k ? 8k 24k ? , 2 2 ?8k ? 8k ? 4k ? 3 12k 2 ? 3
2

???????12 分 ?????????14 分 ?????????16 分

即k ? ?

2 2 ,? 直线 l 的方程为 y ? ? x ?1. 2 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn .规定:若数列 ?an ? 满足前 r 项 依次成公差为 1 的等差数列,从第 r ? 1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列

?an ? 为“ r 关联数列”.
(1)若数列 ?an ? 为“ 6 关联数列”,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn ,并证明:对任意 n ? N , an Sn ? a6 S6 ;
*

(3) 若数列 ?an ? 为 “ 6 关联数列” , 当 n ? 6 时,在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列,求 dn ,并探究在数列{ d n }中是否存在三项 d m ,

d k ,d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,
说明理由. [解](1)? ?an ? 为“6 关联数列”,

? ?an ? 前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列 a a ?5 ? 2 ,解得 a1 ? ?3 ????2 分 ?a6 ? a1 ? 5, a5 ? a1 ? 4, 且 6 ? 2 , 即 1 a5 a1 ? 4
6

?n ? 4, n ? 5 ?n ? 4, n ? 6 ?n ? 4, n ? 4 (或 an ? ? n ?5 ) . ????????4 分 ? an ? ? n?5 ? ? n ?5 ? 2 ,n ? 5 ? 2 ,n ? 6 ? 2 ,n ? 7 ?1 2 7 ?1 2 7 ?1 2 7 ? n ? n, n ? 4 ? n ? n, n ? 5 ? n ? n, n ? 6 (2) 由 (1) 得 Sn ? ? 2 (或 Sn ? ? 2 ) ? ?2 2 2 2 n?4 n?4 n?4 ? ? ? ? 2 ? 7, n ? 5 ? 2 ? 7, n ? 6 ? 2 ? 7, n ? 7

?an? : ?3, ?2, ?1,0,1,2,2 ,2 ,2 ,2 ,?, ?Sn? : ?3, ?5, ?6, ?6, ?5, ?3,1,9,25,? ?an Sn ? : 9,10,6,0, ?5, ?6,4,72,400,?,可见数列 ?an Sn ? 的最小项为 a6 S6 ? ?6 ,
2 3 4 5

?????????????6 分

?1 ? n(n ? 4)(n ? 7), n ? 5 证明: an Sn ? ? 2 , n ? 5 n ? 4 ? ? 2 (2 ? 7), n ? 6 列举法知当 n ? 5 时,(an Sn )min ? a5 S5 ? ?5 ; ???????????????8 分
当 n ? 6 时, an Sn ? 2 ? (2n?5 )2 ? 7 ? 2n?5 (n ? 6) ,设 2
n ?5

? t ,则 t ? ?2, 2 2, ?, 2 m, ?? ,

7 49 an Sn ? 2t 2 ? 7t ? 2(t ? ) 2 ? ? 2 ? 22 ? 7 ? 2 ? ?6 . ????????10 分 4 8 ( 3 ) 由 ( 1 ) 可 知 , 当 n ? 6 时 , an ? 2n?5 , 因 为 : an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)d n ,

2 n ?5 . ???????????13 分 2 ? 2 ? (n ? 1)dn 故: d n ? n ?1 假设在数列 {d n } 中存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列,则:
n?4 n?5

? dk ?

2

? 2 k ?5 ? 2 m ?5 2 p ?5 22 k ?10 2m ? p ?10 ? ? ? , (*) 15 分 ? d m d p ,即: ? ? m ? 1 p ? 1 ? k ? 1?2 ? m ? 1? ? ? p ? 1? ? k ?1 ?
2

2

因为 m, k , p 成等差数列, 所以 m ? p ? 2k , (*) 式可以化简为 (k ? 1) ? (m ? 1)( p ? 1) , 即: k 2 ? mp ,故 k ? m ? p ,这与题设矛盾. 所以在数列 {d n } 中不存在三项 d m , d k , d p (其中 m, k , p 成等差数列)成等比数列.?18 分 (或:因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列,而又要求成等比数列,则 必为非零常数列,而 d n ?

2 n ?5 显然不是非零的常数,所以不存在. ) n ?1

7


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