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方程的根与函数的零点课后习题


思远教育 SI YUAN JIAO YU 小学 初中 高中 个性化辅导机构 方程的根与函数的零点
1.函数 f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 1的零点为( A、 ?1 ?
2 2

) C、 ?1 ? )
6 2

B、 ?1 ?

6 2

D、不存在

2.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为( A、0
A. (1, 2)

B、1
B. (2 , 3)

C、2
C.

D、3
). D. (4, 5) (3, 4)

3. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间( 4. 求证方程 3x ?

2? x 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1

5. (1)若方程 2ax 2 ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是
是 .

.

(2)已知函数 f ( x) ? 3mx ? 4 ,若在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 m 的取值范围

6. 已知关于 x 的方程 x +2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,

2

求实数 m 的取值范围.

7.

已知函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.

8. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图所 示,求证:b<0.

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1.C 2.D 3.易知函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数. ∵ f (1) ? ln1 ? 2 ? 6 ? ?4 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 4 ? 6 ? ln 2 ? 2 ? 0 , f (3) ? ln 3 ? 6 ? 6 ? ln 3 ? 0 . ∴ f (2)?f (3) ? 0 ,即函数 f ( x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B. 2? x 4. 证明: 设函数 f ( x) ? 3x ? . 由函数的单调性定义, 可以证出函数 f ( x) 在 (?1, ??) 是 x ?1
减函数.

1 5 ? ? 0 ,即 f (0)?f (1) ? 0 ,说明函数 f ( x) 在区间 2 2 2? x (0,1) 内有零点,且只有一个. 所以方程 3x ? 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1
而 f (0) ? 30 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? 31 ? 点评:等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想,它是将不熟悉的问题转化为 熟悉的问题,每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化 . 此题可变式为研究方程

3x ?

2? x x ? 1 的实根个数.
∴ f (0)?f (1) ? ?1 ? (2a ? 1) ? 0 , 解得 a ?

5. 解: (1)设函数 f ( x) ? 2ax2 ? 1 ,由题意可知,函数 f ( x) 在 (0,1) 内恰有一个零点.

1 . 2 (2)∵在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 , 则 f (?2)?f (0) ? 0 , 2 ∴ (?6m ? 4) ? (?4) ? 0 ,解得 m ? ? . 3 2 所以, 实数 m 的取值范围是 (??, ? ] . 3
点评:根的分布问题,实质就是函数零点所在区间的讨论,需要逆用零点存在性定理,转 化得到有关参数的不等式

6. 解:令

f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m ? 3 有图像特征可知方程 f(x)=0 的两根都在(0,2)

内需满足的条件是

35 ? m ? ?1 解得 4 。 ?
7. 因 为 函 数 f(x)=|x -2x-3|-a 的 零 点 个 数 不 易 讨 论 , 所 以 可 转 化 为 方 程
2

|x2-2x-3|-a=0 根的个数来讨论,即转化为方程|x2-2x-3|=a 的根的个数问题,再转 化为函数 f(x)=|x2-2x-3|与函数 f(x)=a 交点个数问题. 解:设 f(x)=|x2-2x-3|和 f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图 3-1-1-5),它 们交点的个数,即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 的零点个数.

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(1)若函数有两个零点,则 a=0 或 a>4. (2)若函数有三个零点,则 a=4. (3)函数有四个零点,则 0<a<4.

8.证:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0. 所以 a= ?

b 2 b b ,c= ? b.所以 f(x)= ? x(x2-3x+2)= ? x(x-1)(x-2). 3 3 3 3

当 x<0 时,f(x)<0,所以 b<0. 证法二:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)(x-2). 当 x>2 时,f(x)>0,所以 a>0.比较同次项系数,得 b=-3a.所以 b<0.

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