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2013年广一模理科数学试题及答案


试卷类型:A

2013 年广一模综合测试(一)
数学(理科)
参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? .
? ? ? 线性回归方程 ? ? bx ? a 中系数计算公式 b ? y
i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx ,

2

其中 x, y 表示样本均值.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?2, 4? ,则 A . U ? A?B D. U ? ? CU A? ? ? CU B ?
a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ? 1?i A. 1 ? 2 i B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2 i ? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ? A. ?3 B. 0 C. 1 D. 3

B . U ?

?CU A?

?B

C . U ? A?

?CU B ?

2. 已知

4. 直线 x ? A.

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
2

? 6

B.

? 3

C.

? 2
2 1

D.

2? 3
1

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1, 则该几 何体的体积是 2 1 A. 2 B. 1 C. D. 3 3

正视图

侧视图

2

2 俯视图

1

图1

6. 函数 y ? ?sin x ? cos x ? ?sin x ? cos x ? 是

? ?? A.奇函数且在 ?0, ? 上单调递增 ? 2? ? ?? C.偶函数且在 ?0, ? 上单调递增 ? 2?

?? ? B.奇函数且在 ? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? D.偶函数且在 ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

7 . 已 知 e 是 自 然 对 数 的 底 数 , 函 数 f ? x? ? e x ?x ? 2 的 零 点 为 a , 函 数

g ? x? ? ln x? x? 2的零点为 b ,则下列不等式中成立的是
A. f ? a ? ? f ?1? ? f ?b? C. f ?1? ? f ? a ? ? f ?b? B. f ? a ? ? f ?b? ? f ?1? D. f ?b? ? f ?1? ? f ? a ?

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m,一艘客船从码头 A 出发 匀速驶往河对岸的码头 B .已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行驶 完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中的速度大小为 B ?
水流方向

A. 8 km/h C. 2 34 km/h

B. 6 2 km/h D. 10 km/h

? A

图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 .
1 10. ?0 cos x d x ?

.

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下 表的统计资料:

x y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限 为 10 年时维修费用约 万元(结果保留两位小数) .

2

?a x ? x ? 1? , ? 12. 已知 a ? 0,a ? 1 , 函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上 ? ? ? x ? a ? x ? 1? , ? ?
5 ,则 a 的值为 . 2 13. 已知经过同一点的 n(n ? N * ,n ? 3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直 线 . 若 这 n 个 平 面 将 空 间 分 成 f ? n ? 个 部 分 , 则 f ? 3? ? ,

的最大值比最小值大

f ?n? ?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题) 在 极 坐 标 系 中 , 定 点 A ? 2, ? ? , 点 B 在 直 线 ? ?
? 3 2 ?

? c o s? ?

3 ?

s?? n i 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极 0

B

C

坐标为 . D O 15. (几何证明选讲选做题) BC 如图 3,AB 是 ? O 的直径, 是 ? O 的切线,AC 与 ? O 16 A 交于点 D ,若 BC ? 3 , AD ? ,则 AB 的长为 . 5 图3 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤. ? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) (其中 x ? R , A ? 0 , 4 ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点, 求△ POQ 的面积. 17. (本小题满分 12 分)
1 ,乙,丙做对的 2 概率分别为 m , n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位 学生中做对该题的人数,其分布列为: ? 0 1 2 3 1 1 a b P 4 24 (1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望.

甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

3

18. (本小题满分 14 分) 如图 4, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA1 ? △ 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点. (1)求证: CE ∥平面 A1BD ; (2) H 为 A1B 上的动点, CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 若 当 求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.
A1 B1 D C1

15 时, 2

A E 图4 B

C

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 2a2 ? 3a3 ????? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ). (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p, q, r 是三个互不相等的正整数,且 p, q, r 成等差数列,试判断

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.

4

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两个焦点分别为 F1 (?2,0) ,F2 ? 2,0 ? , A(,3 点 2) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)已知二次函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的 不等式 f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? , 其中 m 为非零常数. 设 g ? x? ? . x ?1 (1)求 a 的值; (2) k(k ? R )如何取值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点,并 求出极值点; (3) m ? 1 , x ? 0 , 若 且 求证:? g ? x ? 1?? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 n ?N * ). ( ? ?
n

f ? x?

?

?

5

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A C A B 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小 题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 1 7 ?1 ? 9. ? , ?? ? 10. sin 1 11. 12.38 12. 或 2 2 ?2 ? ? 11? ? 13.8, n2 ? n ? 2 14. ?1, 15. 4 ? 6 ? ? 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ? 11? ? ② 第14题的正确答案可以是: ?1, ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ? 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、 两点间距离公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∴ A ? 2. ??1分 2? ? ? 8 ,得 ? ? . ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , ∴ T ? ??2 分 4 ? ? ? ∴ f ( x ) ? 2 sin( x ? ) . ??3 分 4 4 ? ?? ? ? (2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2cos ? 2 , ??4 分 4 ?2 4? ?? ? ? ?????5 分 f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ? ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 . ∴ cos ?POQ ? ?????8 分
2 2 2

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 . 10 分 3
?11 分

∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?
6

6 . 3



POQ









S ?

? ?? ? ? 解法 2:∵ f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2cos ? 2 , ??4 分 4 ?2 4? ?? ? ? ???5 分 f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ? ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ??? ? ??? ? ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) . ??8 分 ??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ??10 分 ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
∴ sin ?POQ ? △
1 ? cos2 ?POQ ?

1 2

sin ? O

? P?

6?

1 ? O 2

3 Q 2 ? 3 2 . 12 分

6 3

P

6 . 3


?11 分 积 为

POQ



S ?

1 1 6 OP OQ sin ?POQ ? ? 6 ? 3 2 ? ? 3 2 . 12 分 2 2 3 ? ?? ? ? 解法 3:∵ f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2cos ? 2 , ?4 分 4 ?2 4? ?? ? ? ???5 分 f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ? ∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . 2 x ,即 x ? 2 y ? 0 . ?7 分 2 4?2 ∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? ??9 分 ? 2 3. 3 ∵ OP ? 6 , ??11 分
∴直线 OP 的方程为 y ? ∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2 . 12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学 思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题 意知,
7

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . ??1 分 2 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所 以 至 少 有 一 位 学 生 做 对 该 题 的 概 率 是 1 3 1 ? P ?? ? 0 ? ? 1 ? ? . ?3 分 4 4 1 1 ( 2 )由 题意知 P ?? ? 0 ? ? P ABC ? ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? , ?4 分 2 4 1 1 P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ? mn ? , ???5 分 2 24 7 1 整理得 mn ? ,m ? n ? . 12 12 1 1 由 m ? n ,解得 m ? , n ? . ?7 分 3 4

P ? A? ?

?

?

(3)由题意知 a ? P ?? ? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?


1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 m ?1 ? n ? ? 1 ?1 ? m ? n ? 11 ,?9 2 2 2 24
1 , 4

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

??10 分

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P (? ? 1) ? 2P (? ? 2) ? 3P ( ? 3)= ?

13 . 12

12 分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知 识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的 数学思想方法) 解法一: A1 C1 (1)证明:延长 A1D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . B1 1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? AA1 , D 2 ∴ C 为 AF 的中点. ??2 分 ∵ E 为 AB 的中点, H A ∴ CE ∥ BF . ??3 分 C E ∵ BF ? 平面 A1BD , CE ? 平面 A1BD , B ∴ CE ∥平面 A1BD . ????4 分 (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC ,
8

F

∴ AA1 ? CE . ?????5 分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点,

3 AB ? 3 . 2 ∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ?????6 分 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ?7 分
∴ CE ? AB , CE ? ∵ CE ?
3,

CE 3 , ? EH EH ∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ?8 分 C ∴ 当 E H 1 A时 B , ?E H 最 大 . 此 时 ?
在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?



tan ?EHC ?

CE 3 1 5 . ? ? 2 EH EH 2 5 ∴ EH ? . 5 ∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A1 AB ,
∴ BF ? 平面 A1 AB .

??9 分

???10 分

∵ AB ? 平面 A1 AB , A1B ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? AB , BF ? A1B . ??11 分 ∴ ?ABA1 为平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 在 Rt△ EHB 中, BH ? 13 分
z 5 ∴平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 . 5 A1

?12 分

EB2 ? EH 2 ?

BH 5 , ?ABA1 ? ? cos 5 EB

5 .? 5
14 分 C1

解法二: (1)证明:取 A1B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . ∵ E 为 AB 的中点,

B1 D

1 AA1 . ???1 分 2 1 A ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? AA1 , 2 CD , EF ? CD . ∴ EF ∥ ???2 分
∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?
9

F H

C E x B

y

∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF . ???3 分 ∵ DF ? 平面 A1BD , CE ? 平面 A1BD , ∴ CE ∥平面 A1BD . ??4 分 (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ?5 分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点,

3 AB ? 3 . 2 ∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ????6 分 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ???7 分
∴ CE ? AB , CE ? ∵ CE ?

3,

CE 3 ? , EH EH ∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ??8 分 C ∴ 当 E H 1 A时 B , ?E H 最 大 . 此 时 , ?
在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

tan ?EHC ? CE ?
EH

3 ? EH

1 5 . 2
?????9 分

∴ EH ?

2 5 . 5

在 Rt△ EHB 中, BH ?

EB 2 ? EH 2 ?

5 . 5

∵Rt△ EHB ~Rt△ A1 AB ,
2 5 5 EH BH ? ∴ ,即 5 ? 5 . AA1 AB AA1 2 ∴ AA1 ? 4 . ?????10 分 以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在

的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0), A1 (0, 0, 4) , B 3, 1, 0 , D (0, 2, 2) . ???? ???? ???? ? ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1B ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

(

)

(

)

设平面 A1BD 的法向量为 n = ? x, y, z ? ,
10

???? ???? ? 由 n ?A1B 0 , n ?A1D ì ? 3x + y - 4 z = 0 得? í ? 2 y - 2 z = 0. ? ?
令 y = 1,则 z = 1, x =

0,

3.

∴平面 A1BD 的一个法向量为 n = 3, 1, 1 . ??12 分 ???? ∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量. ???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???13 分 ???? ? ? 5 n AA
1

(

)

∴平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为

5 . 5

?14

分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合 情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理 论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ? 1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . ?1 分 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ① ② 2分 ????3 分 得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , ② - ①得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 ③ 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 , 即 Sn?1 ? 2Sn ? 2 ;

???4 分 ?????5 分

? Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) , ∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 ,
∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 .

∴数列 {Sn ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ??6 分 ???7 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 又 a1 ? 2 也满足上式, 法 2:由③式得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ? 1)Sn ? 2 ? n ? Sn?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . ④
11

∴ an ? 2n .

?????8 分 ?4 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , ⑤-④得: an ?1 ? 2an .



??5 分

????6 分

由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . ???7 分 ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项, 为公比的等比数列. 2 (2)解:∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . ?9 分 ∴ an ? 2n . ?8 分

假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列,

? 即 ?2

则 a p ? 1 ? ar ? 1? ? aq ? 1 ,
2 p r q 2

? ? 1? ? 2

? ? 1? ? ? 2

? ? 1? ,

??10 分

化简得: 2 p ? 2r ? 2 ? 2q . ∵ p ? r,

(*)

??11 分

∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.13 分 ∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列. ?14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函 数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、 创新意识) x2 y 2 (1)解法 1:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b 2 2 ?2 3 ? a 2 ? 16, ? ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 解得: ? 2 ??2 分 ?b ? 12. ? ?a 2 ? b2 ? 4. ?
x2 y 2 ? ? 1. ??3 分 16 12 x2 y 2 解法 2:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b 根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 ,

∴ 椭圆 C1 的方程为

???1 分

∴ b ? a ? c ? 12 . x2 y 2 ? 1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 ? 16 12
2 2 2

∵c ? 2,

??2 分 ???3 分

12

(2)解法 1:设点 B( x1 ,
BA ? (2 ? x1 ,3 ?

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4

1 2 x1 ) , 4 ∵ A, B, C 三点共线, ??? ? ??? ? ∴ BC // BA . ???4 分 ? 1 ? 1 2 ∴ ? x2 ? x1 ? ? 3 ? x12 ? ? x2 ? x12 ? 2 ? x1 ? , 4 ? 4 ?

?

?

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ① ( 1 1 2 x ,得 y? ? x . 由 x2 ? 4 y ,即 y ? 4 2

?5 分 ?6 分

∴ 抛 物 线 C2 在 点 B 处 的 切 线 l1 的 方 程 为 y ?

1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 即 4 2

y?

x1 1 x ? x12 . ② 2 4
同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ? 设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x2 1 2 x ? x 2 . ③ ?8 分 2 4

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x 2 , 2 4 2 4

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

???9 分

1 x1 x 2 , ?10 分 4 则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 ?11 分 y ? x ? 3.

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

, 则 点 P 在 椭 圆 C1 上 , 而 点 P 又 在 直 线

y ? x ? 3 上, 12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,

∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?
1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?13 分 ?14 分

?4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?
13

x1 ( x ? x1 ) , 2

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 x 1 ∵ y1 ? x12 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2

即y?

???5 分

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, 同理, y 0 ?

∴ y0 ?

x1 x0 ? y1 . 2
?7 分



?6 分

x2 x0 ? y 2 . ② 2

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? 分 ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, x ∴直线 L 的方程为 y 0 ? x0 ? y , ???9 分 2 ∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴ y0 ? x0 ? 3 . ?10 分 ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . ???11 分 若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

x x 0 ? y . ?8 2

, 则 点 P 在 椭 圆 C1 上 , 又 在 直 线 y ? x ? 3

上,??12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ???13 分 ?14分 ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个.

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ? 3 ,
? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? 由? 消去 y ,得 x2 ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 . 2 ? x ? 4 y, ?

??4分

设 B ? x1 , y1 ? ,C ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?
1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

????5分

?????6 分

∴ 抛 物 线 C2 在 点 B 处 的 切 线 l1 的 方 程 为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 即 2

y?

x1 1 x ? y1 ? x12 .?7 分 2 2 x 1 1 ∵ y1 ? x12 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4
14

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ? 分

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

??8

? ? x1 ? x2 x1 1 ? 2k , x ? x12 , ?x ? ?y ? ? ? 2 2 4 由? 解得 ? x2 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. ?y ? x ? x2 , ? ? ? 4 ? 2 4 ∴ P ? 2k , 2k ? 3 ? . ?????10 分
∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,
x2 y2 ? ? 1 上. ∴点 P 在椭圆 C1 : 16 12

??11 分

? 2k ? ∴

2

? 1. 16 12 化简得 7k 2 ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

? 2k ? 3? ?

2

??12 分 ?13 分

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. 14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均 值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化 的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意 识) (1) 解: ∵关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? , 即不等式 x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? 0 的解集为 ? m,m ? 1? , ∴ x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? ? x ? m ? ? x ? m ? 1? . ∴ x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? x 2 ? ? 2m ? 1? x ? m ? m ? 1? . ∴ a ? 1 ? 2m ? ? ? 2m ? 1? . ∴ a ? ?2 . (2)解法 1:由(1)得 g ? x ? ?
x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1 x ?1 m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ∴ ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? x ?1 ?1,?? ? . ?

f ? x?

????2 分

15

∴ ? ?( x) ? 1 ?

m

方程 x 2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式
Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
2

? x ? 1?

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

?3 分

????4 分

① 当 m ? 0 时 , Δ ? 0 , 方 程 ( * ) 的 两 个 实 根 为

x1 ?

2?k ? 2 x2 ?

k 2 ? 4m

? 1,

?????5 分 ? 1, 2 则 x ? ?1, x2 ? 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ? x2 , ?? ? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递减,在 ? x2 ,?? ? 上单调递增. ∴函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 . 若 ??6 分 , 则 ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m ,

2? k ?

k 2 ? 4m

k ? ?2 ?m

x1 ?

? 1, 2 2 故 x ? ?1,?? ? 时, ? ?( x) ? 0 ,∴函数 ? ? x ? 在 ?1,?? ? 上单调递增.
????7 分

2?k ?

k ? 4m
2

? 1, x2 ?

2? k ?

k ? 4m
2

∴函数 ? ? x ? 没有极值点. 若 k ? 2 ?m 时, x1 ?

? 1, x2 ? ? 1, 2 2 则 x ? ?1, x1 ? 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? ? x1 , x2 ? 时 , ? ?( x ) ? 0; x ? ? x2 ,?? ? 时 ,

2? k ?

k 2 ? 4m

2? k ?

k 2 ? 4m

? ?( x ) ? 0. ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减,在 ? x2 ,?? ? 上单调递
增. ∴函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . ??8 分

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .9 分 (其中 x1 ?

2? k ?

k 2 ? 4m 2
?

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g ? x ? ?

f ? x?

x ?1

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1
16

∴ ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

?1,?? ? .
∴ ? ?( x) ? 1 ?
m
2

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 x ?1

? x ? 1? 若函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x) 有两个不等
的零点,且 至少有一个零点在 ?1,?? ? 上. 令 ? ?( x) ?
2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

?3 分

?4 分
? 0,

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

得 x ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*) 则 Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)
2

? x ? 1?

2

??5 分

方程 (*) 的两个实根为 x1 ?

2? k ?

k 2 ? 4m

2 2 设 h ? x? ? x ? ?2 ? k ? x ? k ? m ? 1,

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

①若 x1 ? 1, x2 ? 1,则 h ?1? ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**) 成立. 则 x ? ?1, x2 ? 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ? x2 , ?? ? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递减,在 ? x2 ,?? ? 上单调递增. ∴函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 . ??6 分
? h ?1? ? ? m ? 0, ?m ? 0, ? ②若 x1 ? 1,x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? 1. ? k ? 0. ? ? 2

又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m , 故 k ? 2 ?m . ????7 分 则 x ? ?1, x1 ? 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ? x1 , x2 ? 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ? x2 ,?? ? 时,

? ?( x) ? 0 .

∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减,在 ? x2 ,?? ? 上单 ?8 分

调递增. ∴函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .
17

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? ? x ? 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .?9 分 (其中 x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2
1 . x ?1
n

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g ? x ? ? ? x ? 1? ?
n

? ? 1? 1 ? ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x n ? n ? ? ? x? x ? ? ? ? 1 1 1 1? 1 2 n n 1 ? xn ? Cn xn ?1 ? ? Cn xn ? 2 ? 2 ? ? ? Cn ?1 x ? n ?1 ? Cn n ? ? xn ? n ? x x x x x ? ? 1 2 n ???10 分 ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n .

?

n

?

1 2 n 令 T ? Cn xn ? 2 ? Cn xn ? 4 ? ? ? Cn ?1x2 ? n ,
n n 1 则 T ? Cn ?1x2 ? n ? Cn ? 2 x4 ? n ? ? ? Cn xn ? 2

1 2 n ? Cn x2 ? n ? Cn x4 ? n ? ? ? Cn ?1xn ? 2 . ∵x ? 0, 1 2 n ∴ 2T ? Cn x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

?

?

11 分
1 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn2 ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cnn ?1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ? 12 分 1 2 n ? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1

? ? 2 ?C ? C ? C ? 2 ? 2 ? 2? .
0 n 1 n n

?

2 n

n n 0 n ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn

?
???14 分

?????13 分
n

∴ T ? 2n ? 2 ,即 ? g ? x ? 1?? ? g xn ? 1 ? 2n ? 2 . ? ?
n

?

?

? ? 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x n ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ? ? 1? ? 1? ① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 21 ? 2 ? 0 ,不 x? ? x? ? 等式成立; 10 分 ② 假 设 当 n ? k (k ? N * ) 时 , 不 等 式 成 立 , 即

? ? k 1? 1 ? k ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2 ? 2, x? x ? ? ?
18

k

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x ? ? ? x k ? k ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x? ? x ?? ? x ? ? x ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1 ? ?11 分 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x ?? ? x ? ? ? ? ?

1 1 ???12 分 ? 2k ? 2 ? 2 xk ?1 ? k ?1 x x ? 2k ? 1 ? 2 . ?????13 分 也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. ? 2 x?
由①②可得,对 ? n ?N * ,? g ? x ? 1?? ? g xn ? 1 ? 2n ? 2 都成立. ? ? ?
n

?

?

?

?

14 分

19


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