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分段函数高考追踪


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 分段函数高考追踪 作者:王佩其 来源:《中学课程辅导高考版· 学生版》2015 年第 09 期 分段函数历来是高考中的“常客”.所谓分段函数指的是自变量在不同的取值范围内,有不同 的表达式.分段函数由于是分段定义的,与一般函数有着明显的区别,同学们必须注意以下几 点:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段 定义域的并集,值域也是各段值域的并集;(3)分段函数的解析式中的“{”与方程(或不等 式)组中的“{”的含义是不同的,后者是“并且”的意思,“{”中的要求要同时满足,而前者是分 类定义,即对定义域进行分类后分别定义函数,没有“并且”的意思.那么,在高考中分段函数一 般涉及哪些问题呢? 一、分段函数的函数值问题 例 1(2015· 新课标Ⅱ改编)设函数 f(x)=1+log2(2-x),x<1, 2x-1,x≥1,f(-2)+f(log212)=. 解析:由已知得 f(-2)=1+log24=3, 又 log212>1,所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6, 故 f(-2)+f(log212)=9. 评注:利用分段函数的定义可以由自变量的值去求对应的函数的值,反之也可以根据给出 的函数值求出对应的自变量的值.注意:只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式. 二、分段函数的图像问题 例 2(2015· 北京改编)如右图函数 f(x)的图像为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2 (x+1)的解集是. 解析:由图知, f(x)=2x+2,-1≤x≤0, -x+2,0<x≤2. 设 g(x)=log2(x+1).在同一坐标系中画出 f(x),g(x)的图像(如下图), 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 令-x+2=log2(x+1),解得 x=1,故不等式的解集为{x|-1≤x≤1}. 评注:由图像知函数 f(x)是分段函数.由于所给不等式是一个非常规不等式,所以采用 图像法来解,答案从图像上一望便知. 三、分段函数的值域问题 例 3(2015· 福建)若函数 f(x)=-x+6,x≤2, 3+logax,x>2,(a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是. 解析:当 x≤2 时,函数 f(x)=-x+6 是减函数,故 f(x)≥f(2)=4,即 f(x)∈[4, +∞). 又因为函数的值域恰为[4,+∞),故当 x>2 时,f(x)=3+loga2≥4,即 loga2≥1 故实数 a 的取值范围是(1,2]. 评注:函数值域的常用求法:配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式 法等.无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. 四、分段函数的最值问题 例 4(2015· 北京)设函数 f(x)=2x-a,x<1, 4(x-a)(x-2a),x≥1.若 a=1,则 f(x)的最小值为. 解析:当 a=1 时, f(x)=2x-1,x<1, 4x2-12x+8,x≥1.当 x<1 时,-1<2x-1<1;当 x≥1 时,f(x)=4x2-12x+8 在区间[1,32]上单调 递减,在区间[32,+∞)上单调递增,所以当 x=32 时,f(x)min=f(32)=4× (32)212× 32+8=-1.所以答案:-1. 评注:利用函数的单调性,也是求分段函数最值最有效的方法. 五、与分段函数有关的方程问题 龙源期刊网 http://www


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