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平面解析几何直线练习题含答案


直线测试题
一.选择题(每小题 5 分共 40 分) 1. 下列四个命题中的真命题是( )

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示; B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)的直线都可以用方程 (y-y1) · (x2-x1)=(x-x1) (y2-y1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示; a b

D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点 P0(x0,y0)与 x 轴垂直的直线 x=x0 不能用 y-y0=k(x-x0)表示,因为其斜率 k 不存在;C 中不 过原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y=b(b≠0)或 x=a(a≠0)不能用方程 直线 x=0 不能用方程 y=kx+b 表示. 评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.

x y ? =1 表示;D 中过 A(0,b)的 a b

2. 图 1 中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 【答案】D B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2



图1
2、 α 3

【解析】直线 l1 的倾斜角α 1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角α 且α 2>α 3,所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D.

均为锐角,

3. 两条直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是( ) A. A1A2+B1B2=0 【答案】A 【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,- B.A1A2-B1B2=0 C.

A1 A2 ? ?1 B1 B2

D.

B1 B2 =1 A1 A2

A1 A · ( ? 2 )=-1,A1A2+B1B2=0. B1 B2
? A1 ? 0 ? A2 ? 0 或? , B ? 0 ? 2 ? B1 ? 0
1

当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为 0 时, ?

同样适合 A1A2+B1B2=0,故选 A. 法二:取特例验证排除. 如直线 x+y=0 与 x-y=0 垂直,A1A2=1,B1B2=-1,可排除 B、D. 直线 x=1 与 y=1 垂直,A1A2=0,B1B2=0,可排除 C,故选 A. 评述:本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点,重点考查分类讨论的思想及逻辑思 维能力.

4. 若直线 l:y=kx ? A. [

3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(
B. (



? ?

, ) 6 3

? ?

, ) 6 2

C. (

? ?

, ) 3 2

D. [

? ?

, ] 6 2

【答案】B 【解析】法 1:求出交点坐标,再由交点在第一象限求得倾斜角的范围:

? 3(2 ? 3 ) x? ? ? y ? kx ? 3 ? 2 ? 3k ?? ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? y ? 6 k ? 2 3 ? 2 ? 3k ? ? 3(2 ? 3 ) ?0 ? ?x ? 0 ? 2 ? 3k ∵交点在第一象限,∴ ? 即? ?y ? 0 ? 6k ? 2 3 ? 0 ? ? 2 ? 3k
解得 k∈(

3 ,+∞) , 3

∴倾斜角范围为(

? ?

, ) 6 2
3) ,当直线过 A 点时,两直

法 2:如图,直线 2x+3y-6=0 过点 A(3,0) ,B(0,2) ,直线 l 必过点(0,- 线的交点在 x 轴,当直线 l 绕 C 点逆时针旋转时,交点进入第一象限,从而得出结果.

5. 设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sinA·x+ay+c=0 与 bx-sinB·y+sinC=0 的位置 关系是( A.平行 【答案】C ) B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

2

【解析】由题意知 a≠0,sinB≠0,两直线的斜率分别是 k1=-

sin A b ,k2= . a sin B

由正弦定理知 k1·k2=-

sin A b · =-1,故两直线垂直. a sin B

评述:本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.

6. 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, 是( ) B.(

?
12

)内变动时,a 的取值范围

A.(0,1) 【答案】C

3 3 , 3 ) C.( ,1)∪(1, 3 ) D.(1, 3 ) 3 3

【解析】直线 l1 的倾斜角为

? 4

,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为(

? 4



? ? , 12 4

)∪(

? 4



? ? ? + )即:( 4 12 6



? ? ? )∪( , 4 4 3

),从而 l2 的斜率 k2 的取值范围为:(

3 ,1)∪(1, 3 ). 3

评述:本题考查直线的斜率和倾斜角,两直线的夹角的概念,以及分析问题、解决问题的能力. 7. 若直线

x y ) sin ? ) ,则( ? ? 1 通过点 M (cos ?, a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤1 a b

D.

1 1 ? ≥1 a 2 b2

【答案】D 本题是训练思路的极好素材,看能否找到 10 种解法? 8.已知点 A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是 ( ) A. (0,1) 【答案】B B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

2 1 , ] 2 3

D. [ , )

1 1 3 2

3

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.过点 P(2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 【解析】错解:设所求直线方程为 .

x y ? ? 1 ,过点 P(2, 3) ,则有 a ?a

2 3 ? ? 1 ? a ? ?1 a a
∴直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 错因:少了直线经过原点的情况,故还有 y ?

3 x ,即 3x ? 2 y ? 0 也适合题意. 2
.

10. 与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且距离等于 13 的直线方程是 【解析】设所求直线方程为 2 x ? 3 y ? m ? 0 ,则

m?5 2 2 ? 32

? 13 ,解得 m ? 18 或 m ? ?8 ,∴直线方程为

2 x ? 3 y ? 18 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .
4

11. 直 线 l 经 过 点 P(2, 3) , 且 与 两 坐 标 轴 围 成 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 , 则 直 线 l 的 方 程 为 .

【解析】依题意,直线 l 的斜率为± 1 ,∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 或

x ? y ?5 ? 0 .
12. 在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标 为(1,2) ,则点 A 和点 C 的坐标分别为 【答案】 (?1, 0), (5, ?6) 13. 光 线 自 点 M (2, 3) 射 到 点 N (1, 0) 后 被 x 轴 反 射 , 则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为 【答案】 3x ? y ? 3 ? 0 14 . 若 ?ABC 的 顶 点 A(3, 4) , B(6, 0) , C (?5, ? 2) , 则 ?A 的 平 分 线 AT 所 在 直 线 方 程 为 . . 。

【解析】如图,在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路:

4 ( x ? 6) ? 4 x ? 3 y ? 24 ? 0 , 3 3 3 7 AC 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 3) ? y ? x ? 4 4 4
法 1 AB 的方程为 y ? ?

45?

A

?
B

? 3x ? 4 y ? 7 ? 0
设直线 AT 的斜率为 k,则用到角公式可得

O C

T

4 3 ? ?k 3 4 ? ? 4k ? 3 ? ?(3k ? 4) , 3 4 1 ? k 1 ? (? )k 4 3 1 解得 k ? 7 或 k ? ? (舍去) 7 k?
所以有 y ? 4 ? 7( x ? 3) ? 7 x ? y ? 17 ? 0 。

3 1? 3 4 ? 7 ,下略。 法 2 k AC ? tan ? ? ,如图有 k AT ? tan(45? ? ? ) ? 3 4 1? 4 ?? ? ?? ? 法 3 取直线 CA,TA,BA 的方向向量分别为 v1 ? (4,3), v ? (1, k ), v2 ? (?3, 4) ,则 ?? ? ?? ?? v1 ? v v2 ? v ?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? 4 ? 3k ? ?3 ? 4k ? k ? 7. v1 v v2 v
5

法 4 设 AT 上任意一点坐标为(a,b) ,则

4 x ? 3 y ? 24 5

?

3x ? 4 y ? 7 5

? 4 x ? 3 y ? 24 ? ?(3x ? 4 y ? 7)

检验,舍去一个即可。 三.解答题(满分 30 分) 15. (7 分)已知点 A(1, ? 1), B(5, 2) ,直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 【解析】设直线 l 的倾斜角为 ? ,则直线 AB 的倾斜角为 2? ,依题意有

tan 2? ?

2 ? (?1) 3 ? , 5 ?1 4



2 tan? 3 ? ,即 3 tan 2 ? ? 8 tan? ? 3 ? 0 , 2 1 ? tan ? 4
1或 tan? ? ?3 . 3
0 0

∴ tan? ?

由 0 0 ? 2? ? 180 0 ,得 0 ? ? ? 90 ,有 tan? ? 0 , ∴ tan? ?

1 ,∴直线 的斜率为 1 . l 3 3

16. (7 分)已知三条直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 4 x ? 3 y ? 1 ? 0, mx ? y ? 0 不能构成三角形,求实数 m 的值. 【解析】 依题意, 当三条直线中有两条平行或重合, 或三条直线交于一点时, 三条直线不能构成三角形, 故m ? ? 或m ?

2 3

4 ? 2 4 ? 或 m ? 1 ,∴实数 m 的取值集合是 ? ? , , 1? . 3 ? 3 3 ?

17. (8 分)已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使 PA ? PB 最小. 【解析】由题意知,点 A、B 在直线 l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A' ,然后连 结 A' B , 则 直 线 A' B 与 l 的 交 点 P 为 所 求 . 事 实 上 , 设 点 P' 是 l 上 异 于 P 的 点 , 则

P' A ? P' B ? P' A' ? P' B ? A' B ? PA ? PB .

?y ?5 3 ? x ? 3 ? 4 ? ?1 ?x ? 3 ? 设 A' ( x, y ) ,则 ? ,解得 ? , y ? ? 3 x ? 3 y ? 5 ? ?3 ? ? 4? ?4?0 ? 2 2 ?
∴ A' (3,?3) ,∴直线 A' B 的方程为 18 x ? y ? 51 ? 0 .

6

8 ? ?3 x ? 4 y ? 4 ? 0 8 ?x ? 由? ,解得 ? 3 ,∴ P( ,3) . 3 ?18 x ? y ? 51 ? 0 ? ?y ? 3
18. (8 分)在直角坐标系中,设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O(0,0) ,P(1,t) ,Q(1-2t,2+t) ,R (-2t,2) ,其中 t∈(0,+∞).求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S(t).

【解析】 (1)当 1-2t>0 即 0<t<

1 时,如图 7—13,点 Q 在第 2

一象限时,此时 S(t)为四 y=2t2+2, 点 K 的坐标为 (P,

边形 OPQK 的面积,直线 QR 的方程为 y-2=t(x+2t).令 x=0,得 2t2+2).

1 S OPQK ? S OPQR ? S OKR ? 2( 1 ? t 2 ) 2 ? (2t 2 ? 2) ? 2t 2
? 2(1 ? t ? t 2 ? t 3 )
当-2t+1≤0,即 t≥

图 7—13

1 时,如图 7—14,点 Q 在 y 轴上或第二象限,S(t)为△OPL的面积,直线 PQ 的方程 2

为 y-t=- (x-1) ,令 x=0 得 y=t+ ,点 L 的坐标为(0,t+ ) ,

1 t

1 t

1 t

S△OPL=

1 1 1 1 (t ? ) ? 1 ? (t ? ) 2 t 2 t
0?t ? t? 1 2 1 2
图 7—14

? 2(1 ? t ? t 2 ? t 3 ) ? ? 所以 S(t)= ? ? 1 (t ? 1) ? t ?2

附加题(计入总分,每题 5 分,但总分不超过 100 分) : 1.已知长方形的四个顶点 A(0,0) 、 B(2,0) 、C (2,1) 和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射 到 BC 上的点 P1 后, 依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的点 P2 、P3 和 P4(入射角等于反射角) .设 P4 的坐标为 ( x 4 ,0) . 若1 ?

x4 ? 2 ,则 tan? 的取值范围是( )
A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , )

2 2 5 3

【解析】用特例法,取 x 4 ? 1 ,则 P1 、 P2 、 P3 、 P4 分别为 BC 、 CD 、 DA 、 AB 的中点,此时 tan? ?

1 .依题 2

7

意,包含 tan? ?

1 的选项(A) (B) (D)应排除,故选(C). 2

2. 在直角坐标系 xOy 中, 已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0, y=0, 2x+3y=30, 求△AOB 内部和边上整点 (即 横、纵坐标均为整数的点)的总数为 【解析】法 1:由 y=10- 。

2 2 x(0≤x≤15,x∈N)转化为求满足不等式 y≤10- x(0≤x≤15,x∈N)所有整数 y 3 3

的值.然后再求其总数.令 x=0,y 有 11 个整数,x=1,y 有 10 个,x=2 或 x=3 时,y 分别有 9 个,x=4 时,y 有 8 个, x=5 或 6 时,y 分别有 7 个,类推:x=13 时 y 有 2 个,x=14 或 15 时,y 分别有 1 个,共 91 个整点.故选 B. 法 2:将 x=0,y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形.如图 7 对角线上共有 6 个整点,矩形中(包括边界)共有 16×11=176.因此 和边上的整点共有 —2 所示. 所求△AOB 内部

176 ? 6 =91(个) 2
图 7—2

8



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