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一轮复习:坐标系PPT


选修4—4 坐标系与参数方程

第一节

坐标系

本节主要包括 2 个知识点:? 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换;? 2.极坐标系.

01 02 03
04

突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

突破点(二) 极坐标系

全国卷5年真题集中演练——明规律

课时达标检测

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突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

01

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抓牢双基·自学区
完成情况

[基本知识]
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

λ· x?λ>0? , ? ?x′= φ:? μ· y?μ>0? ? ?y′=___________

的作用下,点 P(x , y) 对应到点

P′(x′, y′), 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.

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[ 基本能力]
1.判断题 1 ? ?x′=2x, (1)平面直角坐标系中点 P(-2,3)在变换 φ:? ?y′=1y 3 ? 用下得到的点为 P′(-1,1).

的作

( √ )

? ?x′=2x, (2)已知伸缩变换 φ:? 经 φ 变换得到点 A′(2,4), 1 y′=- y, ? 2 ? 则原来点的坐标为 A(4,-2). ( ×)

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2.填空题 (1)直线 l:x-2y+3=0 经过
? ?x′=x, φ:? ? ?y′=2y

变换后得到的直线

l′方程为________________.

? ?x=x′, 解析: 设 l′上的任一点 P(x′, y′)由题得? 1 代 y= y′ , ? ? 2 入 x-2y+3=0 得 x′-y′+3=0,直线 l′的方程为 x- y+3=0.
答案:x-y+3=0

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(2)已知平面直角坐标系中点 A(-2,4)经过 φ 变换后得 A′的坐标
? 1 ? 为?-2,2?,则伸缩变换 ? ?

φ 为________.

解析:设伸缩变换

? ?x′=λx?λ>0?, φ:? ? ?y′=μy?μ>0?,

? 1 1 ? ?λ=4, ?- =-2λ, 则有? 2 解得? 1 ? ? 2 = 4 μ , μ= . ? 2 ?

1 ? ?x′=4x, ∴φ:? ?y′=1y. 2 ?

1 ? ?x′=4x, 答案:φ:? ?y′=1y 2 ?

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研透高考·讲练区
完成情况

[全析考法]
平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例]

2 ? ?x′=3x, y 2 求双曲线 C:x - =1 经过 φ:? 变换 64 ? ?2y′=y

后所得曲线 C′的焦点坐标.

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[解] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? 2 ?x= x′, y 由题意,将? 3 代入 x2- =1 64 ? ?y=2y′ x′2 4y′2 得 - = 1, 9 64 x′ 2 y ′ 2 化简得 - = 1, 9 16 x2 y2 即 - =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16 则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0).

[ 方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的 伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点 P 的坐 标(x,y)与变换后的点 P′的坐标(x′,y′),再利用伸
? ?x′=λx?λ>0?, 缩变换公式? ? ?y′=μy?μ>0?

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建立联系.

(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写 为方程 f(x′, y′)=0, 再利用换元法确定伸缩变换公式.

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[全练题点]
1.求直线 l:y=6x 经过 直线 l′的方程.
解:设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x= x′, ?1 ? 3 由题意, 将? 代入 y=6x 得 2y′=6×?3x′?, ? ? ? y = 2 y ′ ? 所以 y′=x′,即直线 l′的方程为 y=x.
? ?x′=3x, φ:? ? ?2y′=y

变换后所得到的

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2.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′- y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.
? ?x′=λx?λ>0?, 解: 设变换为? ? ?y′=μy?μ>0?,

代入第二个方程, 得 2λx-μy
? ?x′=x, λ=1,μ=4,即? ? ?y′=4y.

=4,与 x-2y=2 比较系数得
? ?x′=x, 此,经过变换? ? ?y′=4y



后,直线 x-2y=2 变成直线 2x′

-y′=4.

1 ? ?x′=2x, 3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? ?y′=1y 3 ? 后,曲线 C:x2+y2=36 变为何种曲线,并求曲线的焦点 坐标.

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解:设圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应 点的坐标为 P′(x′,y′),
? ?x=2x′, 则? ? ?y=3y′,
2 2 x ′ y ′ 所以 4x′2+9y′2=36,即 + =1. 9 4

x2 y2 所以曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + =1, 9 4 其焦点坐标为(± 5,0).

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突破点(二) 极坐标系

02

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抓牢双基·自学区
完成情况

[基本知识]
1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个 定点 O,点 O 叫做极点, 自极点 O 引一条 射线 Ox, Ox 叫做 极轴;再选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一 个极坐标系.

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(2)极坐标

一般地,没有特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数.

(3)点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一个 点,特别地,极点 O 的坐标为 (0,θ)(θ∈R) ,和直角坐标不 同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也 是唯一确定的. 2.极坐标与直角坐标的互化
点 M 直角坐标(x,y) 互化 公式
? ?x= ? ? ?y=

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极坐标(ρ,θ)
2 2 2 ρ = x + y , ? ? ? y tan θ = ?x≠0? ? x ?

ρcos θ , ρsin θ

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[ 基本能力]
1.判断题 (1)圆心在极轴上的点(a,0)处, 且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ =2asin θ. π (2)tan θ=1 与 θ= 表示同一条曲线. 4 ( × ) ( × )

(3) 点 P 的直角坐标为 ( - 2 , 2) ,那么它的极坐标可表示为
? 3π? ?2, ?. 4? ?

( √ )

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2.填空题 (1)点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为________.

解析:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,
? π? π 且 OP 与 x 轴所成的角为- ,所以点 P 的极坐标为?2,-3 ?. 3 ? ?
? π? 答案:?2,-3 ? ? ?

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(2)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 在点 M(2,0)处的切线的极坐标 方程为________.

解析:如图,∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, 化为直角坐标方程为 x2+y2=2x.由图象可 知圆在点 M(2,0)处的切线的直角坐标方程 为 x=2,即 ρcos θ=2.
答案:ρcos θ=2

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(3) 在 极 坐 标 系 中 ________.

? ? π? 2π? A ?2,-3 ? , B ?4, 3 ? 两 点 间 的 距 离 为 ? ? ? ?

解析:法一:在极坐标系中,A,B 两点如 图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.
? ? π? 2π? 法二: A ?2,-3 ? , B ?4, 3 ? 的直角坐标为 ? ? ? ?

A(1,- 3),B(-2,2 3). ∴|AB|= ?-2-1?2+?2 3+ 3?2= 36=6.
答案:6

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(4)圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心的极坐标为________.

解析:将方程 ρ=5cos θ-5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得: ρ2=5ρcos θ-5 3ρsin θ, 化成直角坐标方程为 x2+y2-5x+5 3y=0.
?5 ? 5π? 5 3? ? ? 圆心的坐标为? ,- ,化成极坐标为?5, 3 ?. ? 2 ? ? ? ?2
? 5π? 答案:?5, 3 ?(答案不唯一) ? ?

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(5)在极坐标系中, 直线 ________.

? π? ρsin?θ+4 ?=2 ? ?

被圆 ρ=4 截得的弦长为

解析:直线

? π? ρsin?θ+4 ?=2 ? ?

可化为 x+y-2 2=0,圆 ρ=4 可

化 为 x2 + y2 = 16 , 由 圆 中 的 弦 长 公 式 得 2 r2-d2 = 2 4
2

?2 -? ? ?

2? ?2 =4 3. ? 2?

答案:4 3

研透高考·讲练区
完成情况

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[全析考法]
极坐标与直角坐标的互化
1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤

第 一 步 第 二 步

判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且 极轴与 x 轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则 极坐标方程与直角坐标方程可以互化 通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ, ρsin θ,ρ2 的形式,一定要注意变形过程中方程要保持 同解,不要出现增解或漏解 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 第 ? ?x=ρcos θ, 三 ? 及 ρ2=x2+y2 将极坐标方程转化为直角 ? ?y=ρsin θ 步 坐标方程

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2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化 为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单, 只需将直角坐 标方程中的 x,y 分别用 ρcos θ,ρsin θ 代替即可得到相应 极坐标方程. (2)求直角坐标系中的点(x,y)对应的极坐标的一般步骤:

[例 1] 直线

在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos 2 . 2

θ+sin θ 和

返回

? π? l:ρsin?θ-4 ?= ? ?

(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0, π)时, 求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
? π? l:ρsin?θ-4 ?= ? ?

圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y =0,直线 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 2
? ?x=0, 得? ? ?y=1,

则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.
2 2 ? ?x +y -x-y=0, (2)由? ? ?x-y+1=0

则直线 l 与圆 O

? π? 公共点的一个极坐标为?1, 2 ?. ? ?

[方法技巧]
1.应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点. (2)以 x 轴的正半轴为极轴. (3)两种坐标系规定相同的长度单位. 2.直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义,角 θ 的表示方法具有周 期性,故点 M 的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的

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极坐标有无穷多个.当限定 ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外, 点 M 的极坐标是唯一的. (2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角 θ 应注意 判断点 M 所在的象限(即角 θ 的终边的位置),以便正确地 求出角 θ(θ∈[0,2π))的值.

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极坐标方程的应用
[例 2] (2018· 安徽合肥模拟)在直角坐标系 xOy 中, 以

坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求出圆 C 的直角坐标方程; (2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A,B 两点,直线 l:y=2x 关于点 M(0, m)(m≠0)对称的直线为 l′.若直线 l′上存在 点 P 使得∠APB=90°,求实数 m 的最大值.

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[ 解]

(1)由 ρ=4cos θ 得 ρ2=4ρcos θ,即 x2+y2-4x

=0,故圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0. (2)l: y=2x 关于点 M(0,m)对称的直线 l′的方程为 y =2x+2m,而 AB 为圆 C 的直径,故直线 l′上存在点 P 使得∠APB=90°的充要条件是直线 l′与圆 C 有公共点, |4+2m| 故 ≤2,解得-2- 5≤m≤ 5-2,于是,实数 m 5 的最大值为 5-2.

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[ 易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系, 如 果几何关系不容易通过极坐标表示时, 可以先化为直角坐 标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.

[全练题点]
1.[考点一、二]已知直线 l 的极坐标方程为 的极坐标为
解:由
? A?2 ? ? π? 2ρsin?θ+4 ?= ? ?

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2, 点A

7π? 2, ?,求点 A 到直线 l 的距离. 4?
2,得
? ? 2ρ? ? ? 2 2 ? sin θ+ cos θ?= 2,由坐 2 2 ?

? π? 2ρsin?θ+4 ?= ? ?

标变换公式,得直线 l 的直角坐标方程为 y+x=1,即 x+y -1=0. 由点 A
? 的极坐标为?2 ?

7π? 2, ?得点 A 的直角坐标为(2,-2), 4?

|2-2-1| 2 所以点 A 到直线 l 的距离 d= = . 2 2

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2.[考点二]在极坐标系中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2,M 是 C1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且满足|OP|· |OM|=4, 记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程;
? π? (2)求曲线 C2 上的点到直线 C3: ρcos?θ+4 ?= ? ?

2的距离的最大值.

解:(1)设 P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ(ρ≠0). (2)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y- 1)2=1,C3:x-y=2.C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆(坐 标原点除外). 3 2 圆心到直线 C3 的距离 d= , 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离 2 3 2 的最大值为 1+ . 2

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全国卷5年真题集中演练——明规律

03

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1.(2017· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|· |OP| =16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A
? π? 的极坐标为?2, 3 ?,点 ? ?

B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积

的最大值.
解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 4 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= . cos θ 由|OM|· |OP|=16,得 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

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(2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积
? ? π ?? 1 ?sin?α- ?? S= |OA|· ρB· sin∠AOB=4cos α· 3 ?? 2 ? ? ? ? π? ? =2?sin?2α- ?- 3? ? ?

3? ? ≤2+ 3. 2? ?

π 当 α=- 时,S 取得最大值 2+ 3. 12 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.

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2.(2016· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
? ?x=acos t, ? ? ?y=1+asin t

(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若 曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a.

解:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2, 则 C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极 坐标方程为 ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.

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(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
2 2 ? ?ρ -2ρsin θ+1-a =0, ? ? ?ρ=4cos θ.

若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知 tan θ=2,可得 16cos2θ-8sin θcos θ=0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1. 当 a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,且在 C3 上. 所以 a=1.

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04

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