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江西省四校2012-2013学年高二第三次月考数学试题


2012—2013 学年度(上)第三次月考试卷
高二理科数学试卷 命题人:雷大放 审题人:王 共计 150 分,时间 120 分钟. 春

一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是 正确的.) 1.样本总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组 号依次为 1,2,3,?,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第一组抽取 的号码为 m 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同,若 m=6,则在第 7 组中抽 取的号码是( ) A.66 B.76 C.63 D.73 2.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直 线上. 其中正确的有( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 3.6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位 同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为( A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 ).

4.甲、乙两人的各科成绩如右侧茎叶图,则下列说法不正确的是(



A.甲、乙两人的各科平均分相同 B.甲的中位数是 83,乙的中位数是 85 C.甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D.甲的众数是 89,乙的众数为 87
5.一圆桌有 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.2× 3 (3!) B.3× 3 (3!) C.(3!)4 D.9! ). ).

6.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 7.(x2+2) ? ?
1
2

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

? x

? ? 1? ?

5

的展开式的常数项是( B.-2

). C.2 D.3

A.-3

8.设 10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量 ξ
x1 ? x 2 2

1

取值 x1,x2,x3,x4,x5 的概率均为 0.2,随机变量 ξ
2

2

取值

, x2

? x3 2

, x3

? x4 2

, x4

? x5 2

, x5

? x1 2

的概率也均为 0.2.若记 Dξ 1,Dξ

分别为 ξ 1,ξ

2

的方差,则

(

).
2

A. Dξ 1>Dξ C.Dξ 1<Dξ

B.Dξ 1=Dξ D.Dξ
1与

2 2 的大小关系与

2



x1,x2,x3,x4 的取值有关 ).

9.如果执行下边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则( A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 10.如右图,给定两个平面向量 圆心的圆弧 则满足 上,且 的概率为( ) 和 ,它们的夹角为 (其中 ), ,点 在以 为 B. A ?
2 B

为 a1,a2,?,aN 的算术平均数

A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.如图:用四种不同颜色给三棱台中的 ABCDEF 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每 条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有 种. (用数字作答)

12.某一部件由三个电子元件按上图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部 件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否 正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 .

13.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面 积小于 32 cm2 的概率为_________. 14. 设 (1 ?
3 ) ? an ?
n

3 b n ,(n, a n , b n ? N ),记 Cn= a n ? 3 b n (n∈N*),则数列{Cn}的通项 Cn=____.
*

2

2

15. 有限集合 P 中元素的个数记作 c a rd ( P ) .已知 c a rd ( M ) ? 1 0 , A ? M , B ? M A ? B ? ? ,

且 c a rd ( A ) ? 2 ,c a rd ( B ) ? 3 .若集合 X 满足 A ? X ? M , 则集合 X 的个数是_____; 若集合 Y 满 足 Y ? M ,且 A ? Y , B ? Y ,则集合 Y 的个数是_____.(用数字作答) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本题满分 12 分)现有 4 个男生和 3 个女生排一排。分别求下列不同条件下的排法总数:(结果 数字作答) (1)3 个女生全部相邻,共有多少种排法? (2)3 个女生互不相邻,且 4 个男生也互不相邻,共有多少种排法? (3)其中一名女生甲不排排头,且一名男生乙不排排尾,共有多少种排法? 17. (本题满分 12 分)一个盒子中装有 4 件产品,其中 3 件一等品和 1 件二等品.从中取产品两次, 每次任取 1 件,做不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ,事件 B 为“第二次取到的是 一等品” ,求: (1)P(AB) ; (2)P(B/A). 18. (本小题满分 12 分)在等比数列{an}中,已知 a1=2,an=486,a1+a2+?an=728. (1)求 a1C n-a2C n+a3C n-a4C n+?+(-1) an+1C n 的值. 2 n 2 n (2) 若(x+1)+(x+1) +?+(x+1) =b0+b1(x-1)+b2(x-1) +?+bn(x-1) ,求 b1+b2+?+bn . 19.(本小题满分 12 分)目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设,为缓解北京西路交通压力, 计划将该路段实施“交通限行”.在该路段随机抽查了 50 人,了解公众对“该路段限行”的态度, 将调查情况进行整理,制成下表:
0 1 2 3 n n

(1)完成被调查人员年龄的频率分布直方图; (2)若从年龄在 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞

成“交通限行”的人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 13 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽 取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直 方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 10 55 体育迷 合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). 附:χ = n ( n 1 1 n 2 2
2

? n 12 n 21 )

2

,
2

n 1? n 2 ? n ? 1 n ? 2

x

2

? 2 . 706

x

? 2 . 706

x

2

? 3 . 841

x

2

? 6 . 635

是否有关联

没有关联

90%

95%

99%

21.(本小题满分 14 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元 的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函 数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

德兴一中 2012-2013 学年上学期四校第三次月考
高二理科数学试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案

8

9

10

C

C
12.
3 8

D

D
13.
2 3

A

C
14. (-2)n

D

A
15.

C

B

二、填空题

11. 264
三.解答题

256, 672

16 解:解:(1) A 33 ? A 55 =720;

4分 8分 12 分

(2) A 44 ?
(3)3720.

A3

3

=144;

17 解:(1)

1 2

;
2 3

6分

(2)

;

12 分

18.解:(1)由题设知 q≠1,依题意得

解之得 n=6,q=3, ∴an=2×3n-1(n=1,2,3,4,5,6) ∴ a1 -a2 +a3 -2×3 -a4 +?+(-1)nan+1

??4 分

=2×30×

+2×32×

-?+(-1)6×2×36×

=2(

-3

+32

-?+36

)=2(1-3)6=128.

??8 分

(2)由(1)知,n=6,令 x=1,得 b0=126, 再令 x=2,得 b0+b1+?+b6=3+32+?+36=1092, ∴b1+b2+?+bn=966.

??10 分 ??12 分

19 解: (1)

(2) 所有可能取值有 0,1,2,3,



???????????????10 分 所以 的分布列是 0 1 2 3

所以 的期值是

??????????????12 分

20 解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2× 列联表如 2

下: 男 女 合计 将 χ2= n ( n 列
2

非体育迷 30 45 75 联 表 中 的
2

体育迷 15 10 25 数
33

合计 45 55 100 代 入 公 式 计 算 , 得

2× 2
11



n 22 ? n 12 n 21 )

= 1 0 0 ? ( 3 0 ? 1 0 ? 4 5 ? 1 5 ) = 1 0 0 ≈3.030.
75 ? 25 ? 45 ? 55

n 1? n 2 ? n ? 1 n ? 2

因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

6分

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一 名“体育迷”的概率为 1 .
4

由题意 X~B ? 3, 1 ? ,从而 X 的分布列为 ? ?
? 4?

X P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

E(X)=np=3×1 = 3 ,
4 4 9 16

D(X)=np(1-p)=3×1 ×3 =
4 4

.

13 分

21 解:(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80.

当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y= ?1 0 n ? 8 0 , n ? 1 6 , (n∈N). ?
? 80, n ? 16

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 60 0.1 70 0.2 80 0.7

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y 的方差为 DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大. 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的 平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.


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