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开原市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

开原市高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 记集合 T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M= 将 M 中的元素按从大到小排列,则第 2013 个数是( A. C. 2. 过点(2,﹣2)且与双曲线 A. ﹣ =1 B. ﹣ B. D.
2 ﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是(

姓名__________

分数__________

, )

) ﹣ =1

=1

C.



=1

D. )

3. 已知 f(x)=4+ax﹣1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是( A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)

4. 设全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩? UN=﹛2,4﹜,则 N=( A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} ) D.{2,3,4}



5. 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是(

A.1﹣

B. ﹣

C.

D.

6. 已知两点 M(1, ),N(﹣4,﹣ ),给出下列曲线方程: ①4x+2y﹣1=0;
2 2 ②x +y =3;



+y2=1;

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2 ﹣y =1.

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④



7. 将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 数图象的一条对称轴方程是( A.x=π B. C. ) D.

个单位,所得函

8. 底面为矩形的四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的表面上,且 O 在底面 ABCD 内,PO⊥平面 ABCD,当四 棱锥 PABCD 的体积的最大值为 18 时,球 O 的表面积为( A.36π C.60π 9. 复数 z= A.第一象限 B.48π D.72π 在复平面上对应的点位于( B.第二象限 ) C.第三象限 ) D . 8? ? D.第四象限 )

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 16 ? ?

16 3

B. 16 ? ?

32 3

C. 8? ?

16 3

32 3

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算,意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力. 11.经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 1 或 y ? 1 ) B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0

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12.已知函数 f(x)= x3+mx2+(2m+3)x(m∈R)存在两个极值点 x1,x2,直线 l 经过点 A(x1,x12),B
2 2 2 (x2,x2 ),记圆(x+1) +y = 上的点到直线 l 的最短距离为 g(m),则 g(m)的取值范围是(



A.[0,2]

B.[0,3]

C.[0,



D.[0,



二、填空题
13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a1+3a2,则公比 q= 14.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , .

BC ? 3 , E 在 AC 上,若 BE ? AC ,
则 ED 的长=____________ 15.向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ ,则 x﹣y=
2 2



x y ? 2 ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, 2 a b 3 ?1 若 ?PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为______________. 2
16. F1 , F2 分别为双曲线 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 17.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. ①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是 ②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是 ; .

18.等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前项和 Sn 取得最大值的自然数是________.

三、解答题
19.如图所示的几何体中,EA⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,AC=BC=BD=2AE= (1)求证:CM⊥EM; (2)求 MC 与平面 EAC 所成的角. ,M 是 AB 的中点.

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20.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ (Ⅰ)求 f(x)的最小值;

+b(a>0)

(Ⅱ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=

,求 a,b 的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的圆心在第二象限,半径为 2 ,且圆 C 与直线 3x ? 4 y ? 0 及 y 轴都
2 2

相切. (1)求 D、E、F ; (2)若直线 x ? y ? 2 2 ? 0 与圆 C 交于 A、B 两点,求 | AB | .

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22.已知复数 z= (1)求 z 的共轭复数 ; (2)若 az+b=1﹣i,求实数 a,b 的值.



23.已知全集 U 为 R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<﹣3,或 x>1} 求:(I)A∩B; (II)(CUA)∩(CUB); (III)CU(A∪B).

24.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围.

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开原市高中 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 A 【解析】 进行简单的合情推理. 【专题】规律型;探究型. 【分析】将 M 中的元素按从大到小排列,求第 2013 个数所对应的 ai,首先要搞清楚,M 集合中元素的特征, 同样要分析求第 2011 个数所对应的十进制数,并根据十进制转换为八进行的方法,将它转换为八进制数,即 得答案. 【解答】因为 =
3 2 (a1×10 +a2×10 +a3×10+a4),

括号内表示的 10 进制数,其最大值为 9999; 从大到小排列,第 2013 个数为 9999﹣2013+1=7987 所以 a1=7,a2=9,a3=8,a4=7 则第 2013 个数是 故选 A. 【点评】对十进制的排序,关键是要找到对应的数是几,如果从大到小排序,要找到最大数(即第一个数), 再找出第 n 个数对应的十进制的数即可. 2. 【答案】A 【解析】解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程
2 ﹣y =λ, 2 ﹣y =λ,

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为 故选 A.



【点评】本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用. 3. 【答案】A 【解析】解:令 x﹣1=0,解得 x=1,代入 f(x)=4+a 则函数 f(x)过定点(1,5). 故选 A.
x﹣1 得,f(1)=5,

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4. 【答案】B 【解析】解:∵全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜, ∴集合 M,N 对应的韦恩图为 所以 N={1,3,5} 故选 B

5. 【答案】A 【解析】解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴 影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是 故选 A.



6. 【答案】 D 【解析】解:要使这些曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|,需曲线与 MN 的垂直平分线相交. MN 的中点坐标为(﹣ ,0),MN 斜率为 ∴MN 的垂直平分线为 y=﹣2(x+ ), ∵①4x+2y﹣1=0 与 y=﹣2(x+ ),斜率相同,两直线平行,可知两直线无交点,进而可知①不符合题意. =

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2 2 2 ②x +y =3 与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 5x ﹣12x+6=0,△=144﹣4×5×6>0,可知②中的曲线与 MN 的

垂直平分线有交点, ③中的方程与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 9x ﹣24x﹣16=0,△>0 可知③中的曲线与 MN 的垂直平分线 有交点,
2 ④中的方程与 y=﹣2(x+ ),联立,消去 y 得 7x ﹣24x+20=0,△>0 可知④中的曲线与 MN 的垂直平分线有 2

交点, 故选 D 7. 【答案】B 【解析】解:将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y=cos x,再向右平移 由 (x 即 )=kπ,得 x +2kπ,k∈Z, , , 个单位得到 y=cos[ (x =2kπ, )],

当 k=0 时,

即函数的一条对称轴为 故选:B

【点评】 本题主要考查三角函数的对称轴的求解, 利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关 键. 8. 【答案】 【解析】选 A.设球 O 的半径为 R,矩形 ABCD 的长,宽分别为 a,b, 则有 a2+b2=4R2≥2ab,∴ab≤2R2, 1 又 V 四棱锥 P-ABCD= S 矩形 ABCD·PO 3 1 2 3 = abR≤ R . 3 3 2 3 ∴ R =18,则 R=3, 3 ∴球 O 的表面积为 S=4πR2=36π,选 A. 9. 【答案】A 【解析】解:∵z= = = + i,

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∴复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限. 故选 A. 【点评】本题考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题过程中,注意复 数是数形结合的典型工具. 10.【答案】D 【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为 2 高为 4 的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为 2 的四棱锥, 因此该几何体的体积为 V ? 11.【答案】D 【解析】

1 1 32 ?? 22 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 8? ? ,故选 D. 2 3 3

考 点:直线的方程. 12.【答案】C
3 2 2 【解析】解:函数 f(x)= x +mx +(2m+3)x 的导数为 f′(x)=x +2mx+2m+3,

由题意可得,判别式△>0,即有 4m ﹣4(2m+3)>0, 解得 m>3 或 m<﹣1, 又 x1+x2=﹣2m,x1x2=2m+3,
2 2 直线 l 经过点 A(x1,x1 ),B(x2,x2 ),

2

即有斜率 k=

=x1+x2=﹣2m,

2 则有直线 AB:y﹣x1 =﹣2m(x﹣x1), 2 即为 2mx+y﹣2mx1﹣x1 =0, 2 2 圆(x+1) +y = 的圆心为(﹣1,0),半径 r 为



则 g(m)=d﹣r=
2 由于 f′(x1)=x1 +2mx1+2m+3=0,





则 g(m)=





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又 m>3 或 m<﹣1,即有 m >1. 则 g(m)< ﹣ = . ,

2

则有 0≤g(m)< 故选 C.

【点评】本题考查导数的运用:求极值,同时考查二次方程韦达定理的运用,直线方程的求法和点到直线的距 离公式的运用,以及圆上的点到直线的距离的最值的求法,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 2 .

【解析】解:设等比数列的公比为 q, 由 S3=a1+3a2, 当 q=1 时,上式显然不成立; 当 q≠1 时,得 即 q ﹣3q+2=0,解得:q=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和,考查了等比数列的通项公式,是基础的计算题. 14.【答案】 21 2
2



【解析】在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° . 3 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD= +9-2× ×3× = ,故 ED= . 4 2 2 4 2 15.【答案】 ﹣12 .

【解析】解:∵向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ , ∴ = = ,

解得 x=﹣6,y=6, x﹣y=﹣6﹣6=﹣12.

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故答案为:﹣12. 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目. 16.【答案】 3 ? 1 【 解 析 】

17.【答案】 菱形 ; 矩形 . 【解析】解:如图所示:①∵EF∥AC,GH∥AC 且 EF= AC,GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形. ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥FG ∴四边形 EFGH 是矩形. 故答案为:菱形,矩形

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【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,主要涉及了线段的中点,中位线定理,构成平面图形,研究平面图形 的形状,是常考类型,属基础题. 18.【答案】或 【解析】 试题分析: 因为 d ? 0 , 且 | a3 |?| a9 | , 所以 a3 ? ?a9 , 所以 a1 ? 2d ? ?a1 ? 8d , 所以 a1 ? 5d ? 0 , 所以 a6 ? 0 , 所以 an ? 0 ?1 ? n ? 5? ,所以 Sn 取得最大值时的自然数是或. 考点:等差数列的性质. 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的性质, 其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知 识点的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答 中,根据数列的单调性,得出 a1 ? 5d ? 0 ,所以 a6 ? 0 是解答的关键,同时结论中自然数是或是结论的一个 易错点.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(1)证明:∵AC=BC= ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∵M 为 AB 的中点, ∴AM=BM=CM,CM⊥AB, ∵EA⊥平面 ABC, ∴EA⊥AC, 设 AM=BM=CM=1,则有 AC= ,AE= AC= , = = , , AB,

在 Rt△AEC 中,根据勾股定理得:EC= 在 Rt△AEM 中,根据勾股定理得:EM=
2 2 2 ∴EM +MC =EC ,

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∴CM⊥EM; (2)解:过 M 作 MN⊥AC,可得∠MCA 为 MC 与平面 EAC 所成的角, 则 MC 与平面 EAC 所成的角为 45°.

20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=ax+ +b≥2 +b=b+2

当且仅当 ax=1(x= )时,f(x)的最小值为 b+2 (Ⅱ)由题意,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= f(1)= ,∴a+ +b= ① f'(x)=a﹣ ,∴f′(1)=a﹣ = ② ,可得:

由①②得:a=2,b=﹣1 21.【答案】(1) D ? 2 2 , E ? ?4 2 , F ? 8 ;(2) AB ? 2 . 【解析】

试 题解析:(1)由题意,圆 C 方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2 ,且 a ? 0, b ? 0 ,
2 2

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∵圆 C 与直线 3x ? 4 y ? 0 及 y 轴都相切,∴ a ? ? 2 , ∴圆 C 方程为 ( x ? 2 )2 ? ( y ? 2 2 )2 ? 2 , 化为一般方程为 x2 ? y 2 ? 2 2 x ? 4 2 y ? 8 ? 0 , ∴ D ? 2 2 , E ? ?4 2 , F ? 8 .

| 3a ? 4b | ? 2 ,∴ b ? 2 2 , 5

(2)圆心 C(? 2 ,2 2 ) 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 d ? ∴ | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 . 考点:圆的方程;2.直线与圆的位置关系.1 22.【答案】 【解析】解:(1) ∴ =1﹣i. (2)a(1+i)+b=1﹣i,即 a+b+ai=1﹣i, ∴ , .

|? 2 ?2 2 ?2 2 | ? 1, 2

解得 a=﹣1,b=2. 【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念,属基础题,熟记相关概念是解题关键.

23.【答案】 【解析】解:如图: (I)A∩B={x|1<x≤2}; (II)CUA={x|x≤0 或 x>2},CUB={x|﹣3≤x≤1} (CUA)∩(CUB)={x|﹣3≤x≤0}; (III)A∪B={x|x<﹣3 或 x>0},CU(A∪B)={x|﹣3≤x≤0}. 【点评】本题考查集合的运算问题,考查数形集合思想解题.属基本运算的考查. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)= ﹣a= ,

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若 a≤0,则 f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 若 a>0,则当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0, )上单调 递增,在( ,+∞)上单调递减, (Ⅱ),由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时,f(x)在 x= 取得最大值,最 大值为 f( )=﹣lna+a﹣1, ∵f( )>2a﹣2, ∴lna+a﹣1<0, 令 g(a)=lna+a﹣1, ∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0, ∴当 0<a<1 时,g(a)<0, 当 a>1 时,g(a)>0, ∴a 的取值范围为(0,1). 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题.

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