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1.1.2余弦定理教学设计


人教版数学必修 5
一、

余弦定理的教 §1.1.2 余弦定理的教学设计

教学目标解析
1、使学生掌握余弦定理及推论,并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究,能证明余弦定理,了解从三角方法、解析方法、

向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。 3、在发现和证明余弦定理中,通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定 理的不同方法,从而培养学生的发散思维。 4、能用余弦定理解决生活中的实际问题,可以培养学生学习数学的兴趣,使学生 进一步认识到数学是有用的。

二、 教学问题诊断分析 教学问题诊断分析
1、通过前一节正弦定理的学习,学生已能解决这样两类解三角形的问题: ①已知三角形的任意两个角与边,求其他两边和另一角; ②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其 他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角,计算出另一边和另两个角的问题上,学生产生 了认知冲突,这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以,教学的 重点应放在余弦定理的发现和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一,对余弦定理的证明方法思考也比较单 一,而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、 转化多角度地对余弦定理进行证明,从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理,学生在解三角形中,如何适当地选择定理以达到 更有效地解题,也是本节内容应该关注的问题,特别是求某一个角有时既可以用余弦定 理,也可以用正弦定理时,教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处,从而更有 效地解题。

教学支持条件分析 三、 教学支持条件分析
为了将学生从繁琐的计算中解脱出来,将精力放在对定理的证明和运用上,所以本 节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时,约定当计算器所得的三角函数值 是准确数时用等号,当取其近似值时,相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果
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按通常的运算规则,是近似值时用约等号。

教学过程设计 四、 教学过程设计 1、教学基本流程: 、教学基本流程:
①从一道生活中的实际问题的解决引入问题,如何用已知的两条边及其所夹的角来 表示第三条边。 ②余弦定理的证明:启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明,或引导学生自己 探索获得定理的证明。 ③应用余弦定理解斜三角形。

2、教学情景: 、教学情景: ①创设情境,提出问题 创设情境,
问题 1:现有卷尺和测角仪两种工具,请你设 计合理的方案, 来测量学校生物岛边界上两点的最 大距离(如图 1 所示,图中 AB 的长度) 。 【设计意图】 :来源于生活中的问题能激发学 生的学习兴趣,提高学习积极性。让学生进一步体 会到数学来源于生活,数学服务于生活。 师生活动:教师可以采取小组合作的形式,让学生设计方案尝 试解决。 学生 1—方案 1:如果卷尺足够长的话,可以在岛对岸小路上取
C 图2 A B

一点 C(如图 2) ,用卷尺量出 AC 和 BC 的长,用 测角仪测出∠ACB 的大小,那么△ABC 的大小就 可以确定了。感觉似乎在△ABC 中已知 AC、BC 的长及夹角 C 的大小,可以求 AB 的长了。 其他学生有异议,若卷尺没有足够长呢? 学生 2—方案 2:在岛对岸可以取 C、D 两点 (如图 3) ,用卷尺量出 CD 的长,再用测角仪测出 图中∠1、∠2、∠3、∠4 的大小。在△ACD 中,已知∠ACD、∠ADC 及 CD,可以用 正弦定理求 AC,同理在△BCD 中,用正弦定理求出 BC。那么在△ABC 中,已知 AC、
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BC 及∠ACB,似乎可以求 AB 的长了。 教师:两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角,求第三边的问题。能否也象 正弦定理那样,寻找它们之间的某种定量关系? 【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台,充分发挥学生的主体地位。

②求异探新,证明定理 求异探新,
问题 2:在△ABC 中,∠C = 90°,则用勾股定理就可以得到 c2=a2+b2。 【设计意图】 :引导学生从最简单入手,从而通过添加辅助线构造直角三角形。 师生活动:引导学生从特殊入手,用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研 究这一问题,从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。 学生 3:在△ABC 中,如图 4,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D。 在 Rt△ACD 中,AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在 Rt△BCD 中,BD=asin∠2, CD=acos∠2;
b C 1 2 a

c2 =(AD+BD) 2 =b 2 -CD+a 2 -CD+2AD ? BD = a + b ? 2ab cos ∠1 ? cos ∠2 + 2ab sin ∠1 ? sin ∠2
2 2

A D 图4

B

=a 2 + b 2 ? 2ab cos(∠1 + ∠2) = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
学生 4:如图 5,过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D。
则:c = AD + BD
2 2 2

C b

D a

= b 2 ? CD 2 + (a ? CD) 2 = a 2 + b 2 ? 2a ? CD = a 2 + b 2 ? 2ab cos C 学生 5:如图 5,AD = bsinC,CD = bcosC, ∴c =(bsinC) +(a- bcosC) = a +b -2abcosC 类似地可以证明 b = a +c -2accosB,c = a +b -2abcosC。 教师总结:以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形,化一般为特殊,再 利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密,还要分∠C 为钝角或直角 时,同样都可以得出以上结论,这也正是本节课的重点—余弦定理。 【设计意图】 :首先肯定学生成果,进一步的追问以上思路是否完整,可以使学生 的思维更加严密。 师生活动:得出了余弦定理,教师还应引导学生联想、类比、转化,思考是否还有
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A

B c 图5

其他方法证明余弦定理。 教师:在前面学习正弦定理的证明过程种,我们用向量法比较简便地证明了正弦定 理,那么在余弦定理的证明中,你会有什么想法? 【设计意图】 :通过类比、联想,让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高,体验到 成功的乐趣。 学生 6:如图 6, uu r uu r uu r r r r 记AB = c, CB = a, CA = b r uu uu uu r r r r r 则c = AB = CB ? CA = a ? b r r r2 ∴ c) = a ? b) ( 2 ( r 2 r2 r r = a + b ? 2a ? b r2 r2 r2 r r 即 c = a + b ? 2 a ? b ? cos C
C b a

A

B c 图6

∴ c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
教师:以上的证明避免了讨论∠C 是锐角、钝角或直角,思路简洁明了,过程简单, 体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示,AB 长度又可以联系到平面内两点间 的距离公式,你会有什么启发? 【设计意图】 :由向量又联想到坐标,引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。 学生 7:如图 7,建立直角坐标系,在△ABC 中,AC = b,BC = a . 且 A(b,0) ,B(acosC,asinC) ,C(0,0) , 则 c = AB = (a cos C ? b) + (a sin C )
2 2 2 2
图7 C(O)
A

Y
B

X

= a 2 + b 2 ? 2ab cos C

【设计意图】 :通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定 理,更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中,培养学生发散思维能力,拓展学 生思维空间的深度和广度。

③运用定理,解决问题 运用定理,
让学生观察余弦定理及推论的构成形式,思考用余弦定理及推论可以解决那些类型 的三角形问题。 例 1:①在△ABC 中,已知 a = 2,b = 3,∠C = 60°,求边 c。 ②在△ABC 中,已知 a = 7,b = 3,c = 5,求 A、B、C。
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【设计意图】 :让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题,既①已知三角形 两边及夹角,求第三边;②已知三角形三边,求三内角。

④小结
本节课的主要内容是余弦定理的证明,从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面 进行探究,得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立,勾股定理也只不过是它 的特例。所以它很“完美” ,从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美,其 变式即推论也很协调。 【设计意图】 :在学生探究数学美,欣赏美的过程中,体会数学造化之神奇,学生 可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

⑤作业
第 1 题:用正弦定理证明余弦定理。 【设计意图】 :继续要求学生扩宽思路,用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角, 然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我 们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。 第 2 题:在△ABC 中,已知 a = 3, b = 2, B = 45o ,求角 A 和 C 和边 c。 【设计意图】 :本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解,让学生体会两种定理在 解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解,运用余弦定理求角不会漏解, 但是计算可能较繁琐。

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