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关于直角三角形内切圆和旁切圆的半径




42











关 于 直 角 三 角形 内 切 圆 和 旁 切 囿 的 半径
大卫
三 角形 的 内切 圆
, ?

W

?

翰森
因 为△ A
n :

形三 条边 都 相 切 的 圆 形 的 一 边 及 另 外 两 边 的 延 长线 都 相 切 且 圆 心 在 三 角 形 外 的 圆 每 一 个 三 角 形 都 有 一 个 内切 圆 和 三 个 旁




是} 卧 自 在 三角 形 内 且 与 三 角 三 角 形 的旁 切 圆 是与 三 角
,

DG

丝△A
+

EG

,

△B E G 丝 △ B F G
+

,

所 以

△ A BC
Z m
a

m

四 边 形F C D G
,

Z m

△B F G

=

△A
: :
2

DG
+



1

=

b +

2



切 圆 (见图

1 )



如 就

生 2
+
r

r a

(a
,

一 r

:

果 我们 只 把注 意力 放 在 直 角 三 角形 上
,

:



二 竺
2
+

r 。

(b



)

会 发现 直 角 三 角 形 的 内切 圆 与 旁 切 圆 的 半
径 之 间 的一 个 有 趣 的
关系


22
Z
r :





b

r a ,

+

r : a 一 r





=

,



b +

r 。



上 式合 并 同 类 项
2

,

去分 母
一 a
r


,

整理 得
,

+
。 2

Zr
+



b



Z

r 。 a

b


=
a

0
b



Zr

2

(b


,

a

)



0

.

利 用 求 根公 式
_

解得
)




2

(b

一 a


4

4

(b



a

)



+

sa b

图 1 图 2 BC 内 切 圆 的 A 三 形 考 虑直 角 角 半 径 (如 图 。 b 和 设 这个直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 幻 。 : D E G 为 内 切 圆 的圆 心 为 半径 和F分 别 为 三 边 与 O c 的 切 点 因为 切 线 垂 直于 过 切 点 的 半



_

2

(a



b )


4

了4
2
b

a 艺+

4b

2



2

(

a



b )
a “





a 忿

+

b



,

,

,



4



,

由勾 股 定 理
2

+

之=

c Z

我们 有
_

径 △ A B C 的 面 积 我 们 有m △ A B C + 也 么 A G C + m △A G B 即
, ,
~

,

所 以在 D



E

及F 处 成 直 角





m

△A

BC

表示

(

a 一

b )

士 2



e “

2 (a 一 b )

士 Ze

二 ,n

△B G C
。r ,

4

~


所以 其次
,

a

b





r

a r

+




b

r

+

止竺
2

因为 >
c a r ‘ “

a

b



(

a

+

b
a

+

e

)


一~

r 二 a

b
十 c

+

b

(1 )

现 在考察 图
切 圆 的 半径
r 、
.

考虑 与 直
a


a



b 土 2

c

a ,

c

>

b

,

所以 必 有
(2 )



b +

e



-

.

1

中 与直 角 三 角 形 的 b 边 相切 的 旁
r 。

与 刚 才 确定
e


的 过程 相似

,

我 们得
( 3 )

边 角三 相 切 的 旁切 圆 的 半 径
(见 图 3 )


角形A B C 的

b
r ‘ 二

一 a +

旁切 圆 圆 心

,

,

设G 为 r 为半


一一飞厂一
,

D




E



F 为b
a


,

e


AEG
,

最后

考察 与 直角 三 角 形A
:
.

BC
a

自 c 边相 切 的 旁 J {
b 士
2
e
.

切圆的 半径

,

r 我们 得 到 一

+

现在

,

的 延 氏线 及 与 旁 切

圆G 自 勺 切点
,



如前

在 切 点处 所 或 的 角 均 为 直 角 且 △ A D G 丝△
,

△ B F G 竺 △B E C △ BE G
+

,

因此

c c r 我们取 + 还是 一 呢 ? 图 1 说 明 是 我 们 所讨论 的 r 四 个 半径 中最 大 的 我们 来 考 察 若 在 的 公式 中 一 。 取 会 出 现 什 么 情况 在 这 种 情 况 下
. 。

,

.



,

m


△AB C
m

+

n z

四 边 形F C D G
m

+ m

m

△ BF G

a
r
?

+




~

b

一 e
-

△A

DG

+

△A

EG

.



乏 一

1

9

8

4

年 第 一 男 }
(a
+

b
2



e

) (a

+

b +
e

e

)

相 切 的 两 旁 切 圆 的 半径 与 直 角 三 角 形 内切 圆 半 径 之
和 等 于 该 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 旁 切 圆 的 半径 但 还不 !匕 于此
!勺 厂 半径
r
, 。

(

a

+ b +
一 e Z
e

)

,

_

(a
2
a Z

+

b)
a



如 果 用最 大 的 半 径


r



去乘 最小


(
+

+

b
+

+

)
一 e
e
Z




r r



=

生 2
b

b



即三 角 形 A

BC 的 面积

Zab

b

亿

2

(

a

+

b +

)

还有

r 。r ‘ 二



?

也是 三 角 形 A “C 的 面 积
:





a “

+

b

Z

=
a

。“ ,

所 以 又孔
一 e
e
Z

Z b 2

+
+

e Z

a

(

a

b +

)

lr r 口

b
+
e

这样
的乘 积
;

,

我 们 就得 到
2 )

一 个 直 角三 角形 的 面 积 或

a

+

b

等 于 ( 1 ) 它 的斜 边 上 的旁切 圆 半 径 与

内切 圆 半 径

而 等 式 ( 1 ) 告 诉我 们
a
r

,

内 切 圆 的半 径

或等 于 (
1

两 直 角 边 上 的旁 切 圆 半 径 的
?

b
?

乘积





△A

BC

二 r

r


3

r

a

?

r 、

.



石 干石平石
,

因此

.

为 了 给 出 旁 切 圆 而 不 是内
.

下 边 的 计算 是 在 边 长 为
4




4
:



5



,

我们 对
3

直 角 三 角 形 的 上 述 发 现 的 一 个验 证
+
c

切 圆 的 半径

必须取
,

这样就有

r

.

=

a

+

b

+ e

3
2



5

1

,

r ;

=

兰 二里 二二
2
3
+



综 合 以 仁结 果
a a

我 们得 到
a

b
+
C

+

b
2
a

一 e

r :



+

b

上2

; 些 互
r


3



4
2

+

5

4
2

+

5

_

=
r


r

b
f “

一 a + e


+

b + 2

e r
.

+

r a

+

r ‘

=

1
3 又

+

3

+
r

2

.


r 。

6
=

二 一

一乞 一

=


1
。 。



6
1

2 叮
X 牛

6

.

_




:

我 们看 到 一 个 具有 对 称 性 的 模 每 一 半 径 等 于 三 角 形 三 边 的 和 或 差 的一 半 而
,


观察 上 述 结 果
r

,

rl l

乙i 八 U 七 二

r
r

l 环[

r ‘

中都 含 一 个 减 法
r


.

r

.

只 含加 法


,

这说
=
:

(天 津 市 干 部 学校 房 龙 译 自美 国 《 数 学教


2

X





{夕

,




.

比 其 他 半径 中 的 任 何 一 个 都 大
,

我 们 还 可 以进
r :

师 》 一 九 七 九 年 第 七 十 二 卷 第 六 期 第4 6 2 一
46 4 页 )

步 讨论 把
这样
.

r 。



r ‘
:

相加

,



:

+

+

r 、



我们 就 得 到

与一 直 角 三 角 形 的 直 角 边

思 考 题
题2 6
.

(/ 口
x } 当 ) 1 } 寸图 形 在 1 1 1}线 y

解 关 于 杆 自不 等 式 组

,

并 讨论 它 们 的 解

= 二
,





几 J 布 勺l

_






题2 9
“ 之



.

a

,

a Z ,
e



a



是实 数

,

且 <

e

a l

<

m

(x



1 )>

x



2

,

(



<
.



其 中 是 自然 对数 之 底
:
a
a l

证明

(m
x

3 (m

+
x

1 )轰 > 3 m

+

是 实参 数 )
Z

a

5

.

a ,

题2 7
,

.

已 知


P 2





S P


3

=

+ ZP 一 6 的 二 次方 程 。 根 求两 根 之 积 的 最 大值 取实
x x :
,

a 、

>
.

a



]



题加

设正 方休 A

B CD

与最 小 值 题2 8

为 指 出 当幂 函 数 y
n

a

.



A

I

B

,

C D
I

,

的枝 长

.

=

x

.

在 第 I 象限 内 的 图
:

( 1 ) 求 校 A , A 与 对 角线 B D
(约
3

:

的 距 离;
,
,

象 具有下 列 特 点之 一 时 的 值 的 范 围
, ( 1 ) 通 过原点

图 形 是上 升 的 ,
,

( 么)

不通 过 原 点

又不 与 坐 标 h a 相交


,

图形
,

求相 邻 两 个 面 上对 角 线A B 与 B C 的 距 离 ; ( ) 设 P = { 、 } x 是正 方 体 的 棱 或是 正 方 体 的 对 角 线 或 是 面上 的 对 角线 } 试指 出 P 中 的
,
,


是下 降的 ,
( 3 ) 当 x < 1 时 图 形 在 直 线y
:
= > 1 时 图 形在直 线 夕 :

两 条 异 面 直线

,

上 方 劝勺
x
一 ’

A

,

B与B

:

使 其 距 离比 A A 与 B D 的 距 离 及 C 的 距 离 都 长 , 再 找 出 两 条异 面直 线 使
,

I



,

的 下 方,
的 下 方

其 距 离比 它 们都 短



(4 ) 当

x

<

1

时 图 形在 曲 线 夕 二

(王和

李 铭)



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