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湖南省浏阳一中2011届高三第三次月考理科数学试题


2011 届高三第三次月考试题卷 届高三第三 考试题卷
数学试题(理科) 数学试题(理科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分) 选择题(
1.已知集合 M = x x < 4 , N = x x ? 2 x ? 3 < 0 ,则集合 M I N =
2 2

{

}

{

}





A. { x | x < ?2} 2.函数 y =

B. { x | x > 3} 的定义域为

C. { x | ?1 < x < 2}

D. { x | 2 < x < 3} ( )

ln( x + 1) ? x2 ? 3x + 4

A. ( ?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. ( ?1, 1)

D. (?1,1] ( )

3.下列命题中,真命题的是 A. ?x ∈ ? 0, ?,sinx + cosx ≥ 2 C. ?x ∈ R,x + x = ?1
2

? π? ? 2?

B. ?x ∈ (3, ∞), 2 > 3 x ? 1 + x D. ?x ∈ (

π
2

,π ),tanx > sinx

4、函数 y = log 2 | x + 1| 的图象是 (A) y (B) y (C) y (D) y

O

1

2

x

O

1

2

x

–2 –1

O x

–2 –1

O x

5. 若 f (x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) = 1, f ( 2) = 2 则

f (3) ? f (4) =
A.-1 B.1 C.-2 D.2

6.若函数 f(x)=x- A.[-1,+∞)

p p + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2 B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,1] )

7、若函数 f ( x ) = e x sin x ,则此函数图象在点(4,f(4) )处的切线的倾斜角为( A.

π
2

B.0

C.钝角

D.锐角

8.函数 y=x2-2x 在区间 [a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b) 的轨迹是图中的( ) B.线段 AB 和线段 CD D.线段 AC 和线段 BD
第 1 页 共 8 页

A.线段 AB 和线段 AD C.线段 AD 和线段 BC

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 填空题(
9.在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ = ————

π
3

, ρ cos θ + ρ sin θ = 1 围成图形的面积是

? x 2 , x ≤ 0, 10.已知函数 f(x)= f ( x) = ? 若f ( f ( x0 )) = 2, 则 x0= ?2 cos x,0 < x < π .
围是 .



11.若对于任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范

12 . 为 激 发 学 生 学 习 的 兴 趣 , 老 师 上 课 时 在 黑 板 上 写 出 三 个 集 合 :

A = {x |

x ?1 < 0}, B = {x | x 2 ? 3 x ? 4 ≤ 0}, C = {x | log 1 x > 1} ;然后叫甲、乙、丙三位 x 2
”中的数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,以便同学们能

同学到讲台上,并将“

确定该数,以下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于 6 的正整数;乙:A 是 B 成立的充分不必要条件; 丙:A 是 C 成立的必要不充分条件 若老师评说这三位同学都说得对,则“ 13、 如图, O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 ⊙ A.若 BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则 DE= CE= . ; ”中的数为 。

14 由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积是

15.若 a =



2

0

xdx ,则在 (3 x 2 ?

1 a x

)5 的二项展开式中,常数项为



第 2 页 共 8 页

小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分) 解答题(
16. (本题满分 12 分) 函数 f ( x ) = cos( ? ) + sin(π ? (1)求 f (x ) 的周期; (2)若 f (α ) =

x 2

x ) , x∈R 2

2 10 π π , α ∈ ( 0 , ) ,求 tan(α + ) 的值 5 2 4

18. (本小题满分 12 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠ABC = 60° , PA ⊥ 平面 ABCD , 点 M 、 N 分别为 BC 、 PA 的中点, PA = AB = 2 . (I)证明: BC ⊥ 平面 AMN ; (II)在线段 PD 上是否存在一点 E ,使得 NM ∥平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长;若不 存
P

N

A
D

B

M

C

18. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x ) = sin (Ⅰ)求 f (x ) ; (Ⅱ)当 x ∈ [ ?
2

π ωx + 3 sin ωx sin(ωx + )(ω > 0) 的最小正周期为 π .
2

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 2

π π

第 3 页 共 8 页

19.已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a + 1)] < 0} ,B= {x | ⑴当 a=2 时,求 A I B;

x ? 2a < 0} . x ? (a 2 + 1)

⑵求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 +

x ) x 万元。 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素,

记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ln x, g ( x ) =

1 2 x + a ( a 为常数) ,直线 l 与函数 f ( x )、g ( x ) 的 2

图象都相切,且 l 与函数 f ( x ) 的图象的切点的横坐标为 l. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 a 的值; (Ⅱ)当 k>0 时,试讨论方程 f 1 ? x 2 ? g ( x ) = k 的解的个数.

(

)

2011 届高三年级第三次月考数学试卷(理科卷)答案
一、选择题(40 分) 选择题(

第 4 页 共 8 页

题 号 答 案 C C B C A A C A 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题(35 分) 填空题(
9、 3?4 3 10、

3π 4

11、 (? ∞,1) U (3, ∞ )

12、1

13、 5

, 2 7 , 14、

1 , 12

15 16 解答题( 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分)
15

16、 (本小题满分12分) x x x x x π (1) f ( x ) = cos( ? ) + sin(π ? ) = sin + cos = 2 sin ( + ) ----2 2 2 2 2 2 4 2π ∴ f (x) 的周期 T = = 4π ………… 4 分 1 2
(2)由 f (α ) = ∴ 1 + sin α = 又α ∈ ( 0 , ∴ tan α =

2 10 α α 2 10 ,得 sin + cos = , 5 2 2 5 8 3 ,∴ sin α = ----------------6` 5 5

π
2

) ,∴ cos α = 1 ? sin 2 α = 1 ?

9 4 = ,-----------8` 25 5

sin α 3 = ,--------------10` cos α 4 π 3 tan α + tan +1 π 4 = 4 ∴ tan(α + ) = =7 π 3 4 1 ? tan α tan 1? 4 4

………… 12 分

第 5 页 共 8 页

17、 (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)因为 ABCD 为菱形,所以 AB = BC 又 ∠ABC = 60° ,所以 AB = BC = AC , 又 M 为 BC 中点,所以 BC ⊥ AM 而 PA ⊥ 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PA ⊥ BC 又 PA I AM = A ,所以 BC ⊥ 平面 AMN (6 分) (II)存在 取 PD 中点 E ,连结 NE , EC , AE , 8 分) (

因为 N , E 分别为 PA 、 PD 中点,所以 NE ∥ AD 且 NE = AD 又在菱形 ABCD 中, CM ∥ AD , CM = AD 所以 NE ∥ MC , NE = MC ,即 MCEN 是平行四边形 所以 NM / / EC ,又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE 所以 MN / / 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E , 使得 NM ∥ 平面 ACE , 10 分) ( 此时 PE = PD = 2 . 12 分) (
1 2 1 2

1 2

18、 (本小题满分 12 分)
(1) f ( x) =

1 ? cos 2ωx 3 1 + 3 sin ωx cos ωx = sin 2ω ? cos 2 ωx 2 2 2

+

1 π 1 = sin(2ωx ? ) + . 2 6 2

∵函数 f (x ) 的最小正周期为 π , 且ω > 0,

2π π 1 = π , 解得ω = 1,∴ f ( x) = sin(2 x ? ) + …………6 分 2ω 6 2 π π π π 5π ] ,根据正弦函数的图象可得: (2)Q x ∈ [? , ],∴ 2 x ? ∈ [? , 12 2 6 3 6 ∴
当 2x ? 当 2x ?

π π

6 6

=

π

2

,即x =

π

时, g ( x) = sin(2 x ? ) 取最大值 1. 3 6

π

=?

π
3

,即x = ?

π 3 时, g ( x) = sin(2 x ? ) 最小值 ? . 12 6 2

π

1 3 π 1 3 1? 3 3 ∴ ? ≤ sin( 2 x ? ) + ≤ , 即f ( x)的值域为[ , ] …………12 分 2 2 6 2 2 3 2

第 6 页 共 8 页

19、 (本小题满分13分)
解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A I B=(4,5) . (2)∵ B=(2a,a2+1) ,当 a< 要使 B ? A,必须 ? 当 a=

1 时,A=(3a+1,2) 3

?2a ≥ 3a + 1
2 ?a + 1 ≤ 2

,此时 a=-1;

1 1 时,A= Φ ,使 B ? A 的 a 不存在; 当 a> 时,A=(2,3a+1) 3 3 ?2a ≥ 2 ,此时 1≤a≤3. 要使 B ? A,必须 ? 2 ?a + 1 ≤ 3a + 1 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}

20、 (本小题满分 13 分)
解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n + 1) x = m,即n=

m ?1 x

所以

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256(
= 256 x + m x + 2m ? 256. x
256m x
2

m m -1)+ (2 + x ) x x x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) = ?
3

3 1 3 m + mx 2 = 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) = 0 ,得 x 2 = 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 < x < 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

m 640 ?1 = ? 1 = 9. x 64

第 7 页 共 8 页

21 题: 解: (1)



② 比较①和②的系数得 ?

1 1 + a = ?1,∴ a = ? 。 2 2 1 2 1 2 2 (2)由f 1 + x ? g ( x ) = k , 即 ln 1 + x ? x + = k 2 2

(

)

(

)

设y1 = ln 1 + x 2 ?

1 2 1 x + , y2 = k 2 2 2x x(1 ? x )( x + 1) y '1 = ?x= . 1+ x2 1+ x2 令y '1 = 1, 解得x = 0,?1,1.

(

)

x
y '1 y1

(? ∞,?1)
+ ↗

-1 0 极 大 值 ln2

(-1,0) - ↘

0 0

(0,1) +

1 0 极 大 值 ln2

(1,+∞ )
- ↘

极小值

1 2



由函数 y1 在 R 上各区间上的增减及极值情况,可得 (1)当 0 < k < (2)当 k = (3)当

1 时有两个解; 2

1 时有 3 个解; 2

1 < k < ln 2 时有 4 个解 2

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