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2011年高考汇编の分段函数


5.(北京理 6)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? ? ? f ( x) = ? ? ? ?

c ,x< A x c ,x ≥ A A (A,c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件
D. 60,16

产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 【答案】D

【解析】由条件可知, x ≥ A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个

f (4) =
分段函数,即

c 60 = 30 ? c = 60 f ( A) = = 15 ? A = 16 4 A , ,选 D。

?2x, x>0 11.(福建文 8)已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x+1,x≤0

A.-3 【答案】A

B.-1

C.1

D.3

?21? x , x ≤ 1 f ( x) = ? ?1 ? log 2 x, x > 1 ,则满足 f ( x) ≤ 2 的 x 的取值范围是 28.(辽宁理 9)设函数
A. [?1 ,2] 【答案】D B.[0,2] C.[1,+ ∞ ] D.[0,+ ∞ ]

x>0 ? log 2 x, ? f ( x ) = ?log ( ? x ) , x < 0 1 f ( a ) > f ( ?a ) ? 2 ? 49.(天津理 8)设函数 若 ,则实数 a 的取值范
围是( A. ( ) .

?1, 0 ) U ( 0 ,1)

B.

( ?∞ ,?1) U (1,+∞ )

C.

( ?1,0 ) U (1, +∞ )

D.

( ?∞ ,?1) U ( 0,1)
2 log 2 a > 0
,所以 a > 1 ,

【答案】C 【解析】若 a > 0 ,则 若a < 0则
2

log 2 a > log 1 a
2

,即

log 1 ( ? a ) > log 2 ( ?a )
,即

2 log 2 ( ? a ) < 0

,所以 0 < ?a < 1 , ?1 < a < 0 。 .故选 C.

所以实数 a 的取值范围是 a > 1 或 ?1 < a < 0 ,即

a ∈ ( ?1,0 ) U (1, +∞ )

? g ( x ) + x + 4, x < g ( x ) , ? f ( x) = ? 2 g ( x) = x ? 2 ( x ∈ R) ? g ( x ) ? x, x ≥ g ( x ) , 则 f ( x ) ? , 52. 天津文 10) ( 设函数

的值域是(

) .

? 9 ? ? ? , 0 ? U (1, +∞ ) A. ? 4 ? ?9 ? ? ? 4 , +∞ ? C. ?
【答案】D 【解析】 解

B.

[ 0, +∞ ) ,

? 9 ? ? ? 4 , 0 ? U ( 2, +∞ ) ? D. ?
2 x ≥ g ( x) = x ? 2 得 x ? x ? 2 > 0 , x < ?1 或 x > 2 . 则 因此 2

x < g ( x ) = x2 ? 2

? x 2 + x + 2, x < ?1或x > 2, f ( x) = ? 2 ? x ? x ? 2, ? 1 ≤ x ≤ 2, ?1 ≤ x ≤ 2 .于是 的解为:
当 x < ?1 或 x > 2 时,
2

f ( x) > 2


2

1? 9 ? 9 x ?x?2=?x? ? ? f ( x) ≥ ? 2 ? 4 ,则 ? 4, 当 ?1 ≤ x ≤ 2 时,
9 ≤ f ( x) ≤ 0 又当 x = ?1 和 x = 2 时, x ? x ? 2 = 0 ,所以 4 .
2

?

由以上,可得 D.

f ( x) > 2

? 9 ? 9 ≤ f ( x) ≤ 0 ? ? , 0 ? U ( 2, +∞ ) f ( x) 或 4 ,因此 的值域是 ? 4 ? .故选
?

?x 2 x>0 f (x ) = ? ? f ( x + 1), x ≤ 0 ,则 f (2) + f (? 2) 的值为 53.(浙江理 1)已知
A.6 B.5 C.4 D.2

?lg x, x > 0 f ( x) = ? x ?10 , x ? 0 ,则 f ( f (?2)) = ______. 【答案】B72.(陕西文 11)设
【答案】 ?2 【分析】由 x = ?2 算起,先判断 x 的范围,是大于 0,还是不大于 0,;再判断 f ( ?2) 作为 自变量的值时的范围,最后即可计算出结果. 【 解 析 】 ∵ x = ?2 < 0 , ∴

f (?2) = 10?2 =

1 >0 ?2 ?2 100 , 所 以 f (10 ) = lg10 = ?2 , 即

f ( f (?2)) = ?2 .

?lg x ? f ( x) = ? a 2 ? x + ∫0 3t dt ? 73.(陕西理 11)设

x>0 x? 0
,若 f ( f (1)) = 1 ,则 a = .

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断,从 x = 1 算起是解答本题的突破口.

f ( x) = x + ∫ 3t 2 dt = x + a 3 x = 1 > 0 ,所以 f (1) = lg1 = 0 ,又因为 0 , 【解析】因为
3 所以 f (0) = a ,所以 a = 1 , a = 1 .

a

3

【答案】1

?2 x + a , x < 1 f ( x) = ? ?? x ? 2a, x ≥ 1 ,若 f (1 ? a ) = f (1 + a ) ,则 79.(江苏 11)已知实数 a ≠ 0 ,函数
a 的值为________

a=?
【答案】

3 4

【解析】 Q a ≠ 0 .

a > 0, 2 ? 2a + a = ?1 ? a ? 2a, a = ?

3 3 a < 0, ?1 + a ? 2a = 2 + 2a + a, a = ? 2, 4 . 不符合;

本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题.

?2 x≥2 ? , f ( x) = ? x ?( x ? 1)3 , x < 2 ? 85.(北京理 13)已知函数 ,若关于 x 的方程 f ( x ) = k 有两个不同的
实根,则实数 k 的取值范围是________. 【答案】

f ( x) =
【解析】

2 ( x ≥ 2) 3 x 单调递减且值域为(0,1], f ( x ) = ( x ? 1) ( x < 2) 单调递增且值域

为 ( ?∞,1) , f ( x ) = k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1) 。 94.(湖北理 17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下, 大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流密度

x 的一次函数.
(Ⅰ)当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数 v( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆

/小时) f ( x ) = x ? v( x ) 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ≤ x ≤ 20 时, v( x ) = 60 ;当 20 ≤ x ≤ 200 时,设 v( x ) = ax + b ,

1 ? ?a = ? 3 ? ? ?200a + b = 0 ?b = 200 ? 20a + b = 60 ,解得 ? 3 ? 显然 v( x ) = ax + b 在 [20,200]是减函数,由已知得 ?
0 ≤ x < 20, ?60, ? ?1 20 ≤ x ≤ 200. ? (200 ? x ), 故函数 v( x ) 的表达式为 v( x ) = ? 3 0 ≤ x < 20, ?60 x, ? ?1 20 ≤ x ≤ 200. ? x(200 ? x ), (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x ) = ? 3
当 0 ≤ x ≤ 20 时, f ( x ) 为增函数,故当 x = 20 时,其最大值为 60 × 20 = 1200 ;

1 1 ? x + (200 ? x ) ? 10000 f ( x ) = x(200 ? x ) ≤ ? ? = 3 3 3? 2 ? 当 20 ≤ x ≤ 200 时, ,
2

当且仅当 x = 200 ? x ,即 x = 100 时,等号成立.

10000 所以,当 x = 100 时, f ( x ) 在区间 [20,200]上取得最大值 3 . 10000 ≈ 3333 综上,当 x = 100 时, f ( x ) 在区间 [0,200] 上取得最大值 3 ,
即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.



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