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1.2.2 函数的表示法 第二课时 2


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1.2.2 函数的表示法 第二课时 第二课时 分段函数及映射

[读教材· 填要点] 1.分段函数 如果函数 y=f(x),x∈A,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系, 则称这样的函数为分段函数. 2.映射 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. [小问 题· 大思维] 1.分段函数中,分几段就是几个函数,对吗? 提示:不对.分段函数是一个函数,只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的,其 图象是由几段图象构成.
?x+1 x≥1 ? 2.函数 y=? 的定义域是什么? ? ?x-1 x<0

提示:定义域为(-∞,0)∪[1,+∞). 3.函数与映射有哪些联系与区别? 提示:(1)联系:映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的; 函数是一个特殊的映射,反过来,要善于用映射的语言来叙述函数的问题. (2)区别:函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射;而对于映射而言,A 和 B 不一定是 数集.

分段函数求值问题

x≤-2, ?x+1, ?2 [例 1] 已知函数 f(x)=?x +2x, -2<x<2, ?2x-1, x≥2. ? 5 求 f(-5),f(- 3),f(f(- ))的值. 2
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5 [自主解答] 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),- ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5 2 +1=-4,f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3. 5 5 3 3 ∵f(- )=- +1=- ,-2<- <2, 2 2 2 2 5 3 3 3 9 3 ∴f(f(- ))=f(- )=(- )2+2×(- )= -3=- . 2 2 2 2 4 4

在本例中,若 f(a)=3,则 a 为何值? 解:①当 a≤-2 时,f(a)=a+1, ∴a+1=3.∴a=2>-2 不合题意,舍去. ②当-2<a<2 时,a2+2a=3,即 a2+2a-3=0. ∴(a-1)(a+3)=0,∴a=1 或 a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1 符合题意. ③当 a≥2 时,2a-1=3,∴a=2 符合题意. 综合①②③知,当 f(a)=3 时,a=1 或 a=2.

—————

—————————————

解决分段函数问题,应注意以下两点: (1)给定自变量求函数值时,应根据自变量所在的范围,利用相应的解析式直接求值; (2)若给函数值求自变量,应根据每一段的解析式分别求解,但应注意要检验求得的值 是否在相应的自变量取值范围内. ——————————————————————————————————————— —

? ?3x, -1≤x≤1, 1.已知 f(x)=? 2 求 f(f(1))的值. ? ?x -4x+6, 1<x<5,

解:∵f(1)=3×1=3, ∴f(f (1))=f(3)=32-4×3+6=3. 分段函数的应用

[例 2] 某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地运行到 260 km 处的 B 地, B 地停留 1.5 h 后, 在 再以 65 km/h 的速度返回 A 地,试将汽车离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t 的函数. [自主解答] 因为 260÷ 52=5(h),260÷ 65=4(h), 所以,当 0≤t≤5 时,s=52t; 当 5<t≤6.5 时,s=260;
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当 6.5<t≤10.5 时,s=260+65(t-6.5). 0≤t≤5, ?52t, ? 所以 s=?260, 5<t≤6.5, ?260+65?t-6.5?, 6.5<t≤10.5. ? ————— —————————————

?1?从实际问题中抽象出函数模型,除了考虑函数解析式自身的限制条件,还要注意实 际问题对自变量取值范围的限制. ?2?求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同的定义域写出相应的函数解 析式,最后合并. ?3?最后应把数学问题转化到实际问题中. ——————————————————————————————————————— —

2.如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm, 腰长为 2 2 cm, 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯 形 ABCD 有公共点) 时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 关 于 x 的函数解析式,并画出大致图象. 解:过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H. 因为 ABC D 是等腰梯形, 底角为 45° ,AB=2 2 cm, 所以 BG=AG=DH=HC=2 cm. 又 BC=7 cm,所以 AD=GH=3 cm. (1)当点 F 在 BG 上时, 1 即 x∈[0,2]时,y= x2; 2 (2)当点 F 在 GH 上时,即 x∈(2,5]时, x+?x-2? y= ×2=2x-2; 2 (3)当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时, y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRtΔCEF 1 1 = (7+3)×2- (7-x)2 2 2 1 =- (x-7)2+10. 2 综合(1)(2)(3)得函数解析式为

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x∈[0,2] ?2x ? y=?2x-2 x∈?2,5]. 1 ?-2?x-7? +10 x∈?5,7] ? 1
2 2

函数图象如图所示.

映射概念及应用

[例 3] 下列对应是 A 到 B 的映射的有(

)

1-x ①A=R,B=R,f:x→y= ;②A={2012 年伦敦奥运会的火炬手},B={2012 年伦 x+1 敦奥运会的火炬手的体重},f:每个火炬手对应自己的体重;③A={非负实数},B=R,f: x→y=± x. A.0 个 C.2 个 D.3 个
[来源:Zxxk.Com]

B.1 个

[自主解答] ①中,对于 A 中元素-1,在 B 中没有与之对应的元素,则①不是映射; ②中,由于每个火炬手都有唯一的体重,则②是映射;③中,对于 A 中元素 4,在 B 中有两 个元素 2 和-2 与之对应,则③不是映射. [答案] B ————— —————————————

判断一个对应是否为映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合 A 中每一个元素 在集合 B 中是否均有对应元素.若有,看对应元素是 否唯一;集合 B 中有剩余元素不影响映 射的成立.说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可. ——————————————————————————————————————— —
[来源:Z§xx§k.Com]

3.下列集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A.A=B=N*,对应法则 f:x→y=|x-3|

)

? ?1,x≥0, B.A=R,B={0,1},对应法则 f:x→y=? ?0,x<0 ?

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C.A=B=R,对应法 则 f:x→y=± x 1 D.A=Z,B=Q,对应法则 f:x→y= x 解析:判断两个集合之间的对应是否为映射,只要按照对应法则 f 判断,对于集合 A 中 的任何一个元素,在集合 B 中是否有唯一的元素与它对应即可. 在 A 中,当 x=3 时,|x-3|=0,于是 A 中有一个元素在 B 中没有元素和它对应,故不 是映射;在 C 中,集合 A 中的负数是在 B 中没有元素和它对应,故不是映射(或者 x>0 时, B 中对应元素不唯一);在 D 中,集合 A 中元素为 0 时,其倒数不存在,因而 0 在 B 中无对 应元素,故同样不是映射;B 符合定义. 答案:B 解题 高手 审题要严,做题要细,一招不慎,满盘皆输,试试能否 走出迷宫!

易错题

某农户计划建一矩形羊圈,现有可作为围墙的材料总长度为 100 米,求羊圈的面积 S 与长 x 的函数关系. [错解] 设羊圈的长为 x 米,则宽为(50-x)米,由题意,得 S=x(50-x). 故函数关系式为 S=x(50-x). [错因] 错解中函数关系式不完整,缺少自变量 x 的取值范围. [正解] 设羊圈的长为 x 米,则宽为(50-x)米,由题意,得 S=x(50-x). 因为当自变量 x 取非正数或不小于 50 的数时,S 的值是 0 或负数,即羊圈的面积为 0 或负数,这不 符合实际情况,所以自变量 x 的取值范围为 0<x<50. 故函数关系式为 S=x(50-x)(0<x<50).

1.以下几个论断: ①从映 射角度看,函数是其定义域到值域的映射; ②函数 y=x-1,x∈Z 且 x∈(-3,3]的图象是一条线段; ③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

④若 D1,D2 分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则 D1∩D2=?. 其中正确的论断有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个
[来源:学科网 ZXXK]

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解析:函数是特殊的映射,所以①正确; ②中的定义域为{-2,-1,0,1,2,3},它的图象是直线 y=x-1 上的六个孤立的点;因此 ②不正确;由分段函数的概念可知③正确,④不正确. 答案:C

?x +1,x≤1 ? 2.设函数 f(x)=?2 ,则 f(f(3))=( ? x,x>1 ?
1 A. 5 2 C. 3 2 2 13 解析:∵f(3)= ,∴f(f(3))=( )2+1= . 3 3 9 答案:D 3.下列图形是函数 y=x|x|的图象的是( ) B.3 13 D. 9

2

)

? x2,x≥0, ? 解析:∵g=x· ? 2 |x|= ? ?-x , x<0,

∴其图象为 D. 答案:D 4.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千米 0.5 元;如果超过 100 千米,超过部分按每千米 0.4 元定价,则客运票价 y(元)与行程 x(千米)之 间的函数关系式是________. 解析: 根据行程是否大于 100 千米来求出解析式, 由题意得, 0≤x≤100 时, 当 y=0.5x; 当 x>100 时 y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x. 答案:y=?
?0.5x, ? ? ?10+0.4x,

0≤x≤100 x>100 1 , 1+y2

5.已知从集合 A 到集合 B 的映射是 f1:x→2x-1,从 B 到 C 的映射是 f2:y→ 则从 A→C 的映射为________.

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1 1 解析:由已知可得 , 2= 2 1+?2x-1? 4x -4x+2 1 ∴A→C 的映射为 x→ 2 . 4x -4x+2 1 答案:x→ 2 4x -4x+2 6.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v(公里/小时)的平方与车身长 S(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一 半.现假定车速为 50 公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出 d 关于 v 的函数关系式(其 中 S 为常数). 1 解:根据题意可得 d=kv2S.∵v=50 时,d=S,代入 d=kv2S 中,解得 k= . 2 500 1 2 S ∴d= v S.当 d= 时,可解得 v=25 2. 2 500 2 ?0≤v<25 2?, ?2, ∴d=? 1 ?2 500v S, ?v≥25 2?. S
2

一、选择题 1.下列集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射的是( A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1,},f:A 中的数开方 C.A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数 D.A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值 解析:B 中元素 1 在 f 下有两个元素± 与之对应,不是 映射;C 中元素 0 无倒数,不是 1 映射;D 中元素 0 在 B 中无元素与之对应,不是映射. 答案:A
?10, ?x<0?, ? 2.已知 f(x)=? 则 f(f(-7))的值为( ? ?10x, ?x≥0?

)

)

A.100 C.-10

B.10 D.-100

解析:f(-7)=10,f(f(-7))=f(10)=10×10=100. 答案:A 3.给出下列四个对应,其中是映射的是( )

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解析:B 项中 M 中元素 2、4 在 N 中没有元素与之对应;C 项,M 中元素 1、2 在 N 中 对应不唯一;D 项,M、N 中元素重复,而且,M 中元素 3 在 N 中对应不唯一. 答案:A
? ?b ?a≥b? 4.若定义运算 a⊙b=? ,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是( ? ?a ?a<b?

)

A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(-∞,+∞) D.(1,+∞)
?2-x,?x≥1? ? 解析:∵f(x)=x⊙(2-x)=? ? ?x,?x<1?

∴f(x)的值域为(-∞,1]. 答案:A 二、填空题 x≤-1, ?x+2,-1<x<2, ?2x, 5.已知函数 f(x)=? ?x2 , x≥2, ?
2

若 f(a)=3,则 a 等于________.

解析:由 f(a)= 3,当 a≤-1 时,a+2=3, ∴a=1>-1(舍去). 3 当-1<a<2 时,2a=3,∴a= ∈(-1,2). 2 a2 当 a≥2 时, =3,∴a= 6≥2 或 a=- 6<2(舍). 2 3 答案: 或 6 2 6.设集合 A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},点(x,y)在映射 f:A→B 的作用下对应的点是 (x-y,x+y),则 B 中点(3,2)对应的 A 中点的坐标为________.
? ?x-y=3 解析:设 A 中点的坐标为(x,y),则 B 中为(x-y,x+y)且有? 得 ?x+y=2 ?

?x=2, ? 1 ?y=-2
5

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5 1 答案:( ,- ) 2 2 7.已知 y=f(x)的图象如图所示:则 f(x)的定义域为________,值域 为________. 解析:由图象易知 f(x)的定义域为:(-∞,-1]∪(1,+∞),值域 为(-∞,-1]∪(1,3). 答案:(-∞,-1]∪(1,+∞) (-∞,-1]∪(1,3) 8.规定: 区间[m,n]的长度为 n-m(n>m). 设集合 A=[0,t](t>0),集合 B=[a, b](b>a), 从集合 A 到集合 B 的映射 f:x→y=2x+t,若集合 B 的长度比集 合 A 的长度大 5,则实数 t =________. 解析:由于集合 A 和集合 B 均 是数集,则该映射 f :x→y 是函数,且 f(x)=2x+t.当 x ∈A 时,f(x)的值域为[f(0),f(t)],即[t,3t],所以集合 B 的长度为 3t-t=2t,又集合 A 的长度 为 t-0=t,则 2t-t=5,解得 t=5. 答案:5 三、解答题 |x|-x 9.已知在函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. x-x 解:当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ =1; 2 -x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ =1-x, 2 -2<x<0, ?1-x, ∴f(x)=? ?1, 0≤x≤2. (2)函数 f(x)的图象如图所示.

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 10.根据如图所示的函数 y=f(x)的图象,写出函数的解析式.

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解:当-3≤x<-1 时, 函数 y=f(x)的图象是一条线段, 设 f(x)=ax+b(a≠0). 将点(-3,1),(-1,-2)代入, 3 可得 a=- , 2 7 3 7 b=- ,即 f(x)=- x- . 2 2 2 当-1≤x<1 时, 同理可设 f(x)=cx+d(c≠0). 将点(-1,-2),(1,1)代入, 3 1 可得 c= ,d=- , 2 2 3 1 即 f(x)= x- ; 2 2 当 1≤x<2 时, f(x)=1.

?-2x-2,-3≤x<-1, ? 所以 f(x)=?3 1 x- ,-1≤x<1, ?2 2 ?1,1≤x<2.
3 7

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