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高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习3 新人教A版必修2


第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、选择题 1. 【05 广东】 给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α 、β 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面; ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? , 则? // ? . 其中为假命题的是 A.① B.② C.③ D.④ 2.【05 江苏】设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个 命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? || ? ;②若 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? ,则 ? || ? ; ③若 ? || ? , l ? ? ,则 l || ? ;④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l || ? ,则

m || n 其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4 3. 【05 辽宁】已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出 下列四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; ④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ?

? , n // ? , 则? // ? 。其中真命题是

A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ m n 4. 【05 上海·春招】已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 A.若 l // m , m // n ,则 l // n . B.若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . C.若 l ? m , m // n ,则 l ? n . D.若 l // ? , n // ? ,则 l // n . 5. 【05 北京·理】在正四面体 P—ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结 论中不成立的是 A.BC∥平面 PDF B.DF ? 平面 PAE C.平面 PDF ? 平面 ABC D.平面 PAE ? 平面 ABC 6. 【05 北京春考·理】有如下三个命题: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线; ③过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂直. 其中正确命题的个数为
用心 爱心 专心 19

A.0 B.1 C.2 D.3 7. 【05 北京春考·文】下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 8. 【05 福建·理】 已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是 A.0 B.1 ②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m;

C.2

D.3

9. 【05 湖北·文】已知 a、b、c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ①若 a ? b, b ? c, 则a // c ; ②若 a // b, b ? c, 则a ? c ; ③若 a // ? , b ? ? , 则a // b ; ④若 a 与 b 异面,且 a // ? , 则b与? 相交; ⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 10. 【05 全国Ⅰ·理】过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有 A.18 对 B.24 对 C.30 对 D.36 对 11. 【05 全国Ⅱ·理】正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 、 Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 B1C1 的中点.那么,正方体的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 12. 【05 全国Ⅲ·理】不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有 A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 13. 【05 天津·理】设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 A. ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m,? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

14. 浙江· 设 ? 、? 为两个不同的平面, 、 为两条不同的直线, l ? ? , ? ? , 【05 理】 l m 且 m

用心

爱心

专心

20

有如下的两个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l∥m;②若 l⊥m,则 ? ⊥ ? .那么 A.①是真命题,②是假命题 C. ①②都是真命题 B. ①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题

15. 【05 重庆·理】对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都垂直于 ? ; ②存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ④存在异面直线 l、m,使得 l// ? ,l// ? ,m// ? ,m// ? , 其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有 A.1 个 二、填空题 1. 【05 湖南·文】已知平面 ? , ? 和直线 m,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ; ④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (i)当满足条件 (ii)当满足条件 时,有 m // ? ; 时,有 m ? ? (填所选条件的序号)
'

B.2 个

C.3 个

D.4 个

' ' ' ' 2. 【05 全国Ⅰ· 理】 在正方形 ABCD ? A B C D 中, 过对角线 BD 的一个平面交 AA 于 E,

'

交 CC 于 F,则 ① 四边形 BFD E 一定是平行四边形 ② 四边形 BFD E 有可能是正方形 ③ 四边形 BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形 BFD E 有可能垂直于平面 BB D 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号) 3. 【05 全国Ⅱ·理】下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
用心 爱心 专心 21
' ' ' ' '

'

其中,真命题的编号是____________. (写出所有真命题的编号) 4. 【05 山东·理】已知 m、n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n ②若 m, n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ④m、n 是两条异面直线,若 m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则 ? // ? 上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号) 5. 【05 山东·文】 已知 m、n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ① 若 m // ? ,则 m 平行于平面 ? 内的任意一条直线 ② 若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ④若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? 上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号) 6. 【05 重庆·理】连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 (填写所有正确选 项的序号) ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 三、计算题 1. 【05 广东】 如图 1 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8, PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点, CF ? 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. (Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小. [解](I)证明: ∵ PA ? AC ? 36 ? 64 ? 100 ? PC
2 2 2

15 34 ,点 E P 17

F E A
如图 1

B C

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故 PA⊥平面 ABC 又∵ S ?PBC ?

1 1 | PC || BC |? ?10 ? 6 ? 30 2 2

用心

爱心

专心

22



1 1 15 34 | PB || CF |? ? 2 34 ? ? 30 ? S ?PBC 2 2 17

P F E F1 C B

故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB ∴PB⊥平面 CEF (II)由(I)知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC A ∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影,∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角 tan ?FEB ? cot ?PBA ? 二面角 B—CE—F 的大小为 arctan

AB 10 5 ? ? AP 6 3

5 3

2. 【05 江苏】 如图,在五棱锥 S—ABCDE 中,SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2, BC ? DE ? 3 ,

?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 ?
⑴ 求异面直线 CD 与 SB 所成的角(用反三角函数值表示) ; ⑵ 证明:BC⊥平面 SAB; ⑶ 用反三角函数值表示二面角 B—SC—D 的大小(本小问 不必写出解答过程) [解](Ⅰ)连结 BE,延长 BC、ED 交于点 F,则∠DCF=∠CDF=60 , ∴△CDF 为正三角形,∴CF=DF 又 BC=DE,∴BF=EF 因此,△BFE 为正三角形, 0 ∴∠FBE=∠FCD=60 ,∴BE//CD 所以∠SBE(或其补角)就是异面直线 CD 与 SB 所成的角 ∵SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2, ∴SB= 2 2 ,同理 SE= 2 2 ,
0 0

S

A B C D

E

S

A D C F

E

B
6 , 4

又∠BAE=120 ,所以 BE= 2 3 ,从而,cos∠SBE=

∴∠SBE=arccos

6 4 6 4
0

所以异面直线 CD 与 SB 所成的角是 arccos

(Ⅱ) 由题意,△ABE 为等腰三角形,∠BAE=120 , 0 0 0 ∴∠ABE=30 ,又∠FBE =60 , ∴∠ABC=90 ,∴BC⊥BA ∵SA⊥底面 ABCDE,BC ? 底面 ABCDE, ∴SA⊥BC,又 SA ? BA=A, ∴BC⊥平面 SAB
用心 爱心 专心 23

(Ⅲ)二面角 B-SC-D 的大小 ? ? arccos

7 82 82

3. 【05 辽宁】 已知三棱锥 P—ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,△ABC,△PEF 都是正三角形,PF⊥AB. P (Ⅰ)证明 PC⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 P—AB—C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的 球面上,求△ABC 的边长. [解] 本小题主要考查空间中的线面关系,三棱 锥、球的有关概念及解三角形等基础知识,考查空间 A E 想象能力及运用方程解未知量的基本方法。 F B (Ⅰ)证明: 连结 CF. P 1 1

C

? PE ? EF ?

2

BC ?

2

AC ,? AP ? PC .

? CF ? AB, PF ? AB,? AB ? 平面PCF.
A

E F O B

C

? PC ? 平面PCF,? PC ? AB. ? PC ? 平面PAB.
(Ⅱ)解法一:? AB ? PF, AB ? CF ,

? ?PFC 为所求二面角的平面角. 设 AB=a, AB=a, 则
则 PF ? EF ?

D

a 3 , CF ? a 2 2

a 3 ? cos?PFC ? 2 ? . 3 3 a 2
解法二:设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. ? ?PAF ≌ ?PAE,? ?PAB ≌ ?PAC . 得 PA=PB=PC. 于是 O 是△ABC 的中心. ? ?PFO 为所求二面角的平面角. 设 AB=a,则 PF ?

a 1 3 , OF ? ? a. 2 3 2

? cos?PFO ?

OF 3 ? . PF 3

(Ⅲ)解法一:设 PA=x,球半径为 R. ? PC ? 平面PAB, PA ? PB,

? 3x ? 2R.? 4?R 2 ? 12? ,? R ? 3.得x ? 2.? ?ABC 的边长为 2 2 .
解法二:延长 PO 交球面于 D,那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD,可知△PAD 为直角三角形. 设 AB=x,球半径为 R.

用心

爱心

专心

24

? 4?R 2 ? 12? ,? PD ? 2 3. ? PO ? OF tan?PFO ?

6 2 3 x, OA ? ? x, 6 3 2

?(

3 2 6 6 x) ? x( 2 3 ? x).于是x ? 2 2. ? ?ABC的边长为2 2 . 3 6 6

4. 【05 上海·春招】 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二

P
面角的大小为 60 。 (1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离. [证明] (1) BC 边的中点 D , 取 连接 AD 、PD , A O 则 AD ? BC , PD ? BC ,故 BC ? 平面 APD . ∴ PA ? BC . (2)如图, 由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD ,则 ?PDA 是侧面与底 二面角的平面角. 过点 O 作 OE ? PD,
?

C

B 面所成

E 为垂足,则 OE

就是点 O 到侧面的距离. 设 OE 为 h ,由题意可知点 O 在 AD 上, ∴ ?PDO ? 60 ? , OP ? 2h .

? OD ?

2h 3

, ? BC ? 4h ,

3 ( 4h) 2 ? 4 3h 2 , 4 1 8 3 3 h ,∴ h ? 3 . ∵ 72 3 ? ? 4 3h 2 ? 2h ? 3 3 即底面中心 O 到侧面的距离为 3.
∴ S ?ABC ? 5. 【05 北京·理】如图,在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1

AB ? AD ? 2, DC ? 2 3 , AA1 ? 3, AD ? DC , AC ? BD 垂足为 E
(Ⅰ)求证 BD ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小; (Ⅲ)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小 [解] (I)在直四棱柱 ABCD-AB1C1D1 中, ∵AA1⊥底面 ABCD.∴ AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影.
用心 爱心 专心

D' A' D B' A B E

C'

C

25

∵BD⊥AC.∴ BD⊥A1C; (II)连结 A1E,C1E,A1 C1. 与(I)同理可证 BD⊥A1E,BD⊥C1E, ∴ ∠A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角. ∵ AD⊥DC, ∴ ∠A1D1C1=∠ADC=90°, 又 A1D1=AD=2, 1C1= DC=2 3 , 1= 3 且 AC D AA ⊥BD, ∴ A1C1=4,AE=1,EC=3, ∴ A1E=2,C1E=2 3 ,
2 2 2

D' A' D B' A B E F

C'

C

在△A1EC1 中,A1C1 =A1E +C1E , ∴ ∠A1EC1=90°, 即二面角 A1-BD-C1 的大小为 90°. (III)过 B 作 BF//AD 交 AC 于 F,连结 FC1, 则∠C1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角. ∵ AB=AD=2, BD⊥AC,AE=1, ∴ BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC, 在△BFC1 中, cos ?C1 BF ? ∴ FC1= 7 ,BC1= 15 , ∴ ∠C1BF= arccos

15 ? 4 ? 7 15 , ? 5 1? 2 ? 15

15 5

即异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos 解法二: (Ⅰ)同解法一

15 . 5

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系 连结 A E, C1E, AC1. 1 1

z
D' C' A'

与(1)同理可证, BD ? A1E, BD ? C1E , ∴ ?A EC1 为二面角 A1 ? ED ? C1 的平面角. 1

B' A E B

D

C

y

由 A1 (2, 0, 3), C1 (0, 2 3, 3), E

3 3 , , 0). 2 2

x

得 EA1 ? ( , ?

??? ?

???? ? 1 3 3 3 3 , 3), EC1 ? (? , , 3) 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? 3 9 ∴ EA1 ? EC1 ? ? ? ? 3 ? 0, ∴ EA ? EC1, 即 EA ? EC1. 1 1 4 4
∴二面角 A1 ? ED ? C1 的大小为 90
用心
?

爱心

专心

26

(Ⅲ)如图,由 D(0,0,0) , A(2,0,0), C1 (0,2 3, 3), B(3, 3,0), 得 AD ? (?2,0,0), BC1 ? (?3, 3, 3),

??? ?

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ????? AD, BC1 6 15 ∴ AD ? BC1 ? 6, AD ? 2, BC1 ? 15, ∴ cos AD, BC1 ? ???? ???? ? ? , ? 5 AD BC1 2 15
∵异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为 E.连结 A1E, C1 E, AC1 . 1 与(Ⅰ)同理可证 BD ? A E, BD ? C1E, 1 ∴ ?A EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 1 由 E(0,0,0), A (0, ?1, 3), C1 (0,3, 3). 1 得 EA ? (0, ?1, 3), EC1 ? (0,3, 3). 1 ∵ EA ? 1 ? ?3 ? 3 ? 0, 1 EC

15 . 5

z
A' B' A E B

D' C'

????

???? ?

D C

y

???? ???? ?

???? ???? ? ∴ EA ? EC1 即 EA ? EC1 , 1 1
∴二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 90 6. 【05 北京·文】
?

x

如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA ? 4 , D 为 AB 点 1 的中点 (Ⅰ)求证 AC ? BC1 ; (Ⅱ) 求证 AC1 ?平面CDB1 ; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值

C1 A1

B1

C D

B

[解](I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三 A 边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1,
用心 爱心 专心

27

∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴ AC1//平面 CDB1; (III)∵ DE//AC1, ∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角, 在△CED 中,ED=

5 5 1 1 1 AC 1= ,CD= AB= ,CE= CB1=2 2 , 2 2 2 2 2

∴ cos ?CED ?

8 5 2?2 2 ? 2

?

2 2 , 5

C1 A1
E

B1

∴ 异 面 直 线 AC1 与 B1C 所 成 角 的 余 弦 值

2 2 . 5
解法二:

C A D

B

∵直三棱锥 ABC ? A1B1C1 底面三边长 AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 ,

AC, BC, CC1 两两垂直
如图建立坐标系,则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( (Ⅰ)? AC1 ? (?3,0,0), BC1 ? (0,4,4) ,? AC1 ? BC1 ? 0,? AC1 ? BC1 (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2)

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

3 ,2,0) 2

???? ???? ? 3 ? DE ? (? , 0, 2), AC1 ? (?3, 0, 4), 2 ???? 1 ???? ???? ???? ? ? ? DE ? AC1 ,? DE // AC1 2

C1 z A1
E

B1

? DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ? AC1 // 平面CDB1

B x A C D y

???? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? AC1 ? 1 CB 2 2 ? (Ⅲ)? AC1 ? (?3,0,4), CB1 ? (0,4,4), ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? ???? ? , 5 | AC1 || CB1 |
∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 5

7. 【05 北京春考·理】如图,正三角形 ABC 的边长为 3,过其中心 G 作 BC 边的平行 线,分别交 AB、AC 于 B1 、 C1 .将 ?AB1C1 沿 B1C1 折起到 ?A1 B1C1 的位置,使点 A1 在平面

BB1C1C 上的射影恰是线段 BC 的中点 M.求:
(1)二面角 A1 ? B1C1 ? M 的大小;

用心

爱心

专心

28

(2)异面直线 A1 B1 与 CC1 所成角的大小 (用反三角函数表示) . [解] 本小题主要考查直线与平面的位置关 系等基本知识, 考查空间想象能力, 罗辑思维能 力和运算能力. (Ⅰ)连接 AM,A1G ∵G 是正三角形 ABC 的中心, 且 M 为 BC 的中点, ∴A,G,M 三点共线,AM⊥BC. ∵B1C1∥BC, ∴B1C1⊥AM 于 G, 即 GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1, ∴∠A1GM 是二面角 A1—B1C1—M 的平面角. ∵点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影为 M, ∴A1M⊥MG,∠A1MG=90° 在 Rt△A1GM 中,由 A1G=AG=2GM 得∠A1GM=90° 即二面角 A1—B1C1—M 的大小是 60° (Ⅱ)过 B1 作 C1C 的平行线交 BC 于 P,则∠A1B1P 等于异面直线 A1B1 与 CC1 所成的角. 由 PB1C1C 是平行四边形得 B1P=C1C=1=BP, PM=BM—BP=

1 , A1B1=AB1=2. 2
∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.
?

∵A1M⊥面 BB1C1C 于 M,

在 Rt△A1GM 中,A1M=A1G· sin 60 ?
2 2

3?
2

3 3 ? . 2 2
3 1 5 ? ( )2 ? ( )2 ? . 2 2 2
2 2 2

在 Rt△A1MP 中, A1 P ? A1 M ? PM

在△A1B1P 中,由余弦定理得 cos ?A1 B1 P ?

A1 B1 ? B1 P ? A1 P ? 2 ? A1 B1 ? B1 P
5 8

2 2 ? 12 ?

5 2 ? 5, 2 ? 2 ?1 8

∴异面直线 A1B1 与 CC1 所成角的大小为 arccos . 8. 【05 北京春考·文】 如图,正三棱锥 S—ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,M 是 BC 的中点.求: (Ⅰ)

AM 的值; SM

(Ⅱ)二面角 S—BC—A 的大小; (Ⅲ)正三棱锥 S—ABC 的体积. [解] 本小题主要考查直线与平面的 位置关系等基本知识,考查空间想象能力, 罗辑思维能力和运算能力.
用心 爱心 专心

29

(Ⅰ)∵SB=SC,AB=AC,M 为 BC 中点, 由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,即 3 ?

∴SM⊥BC,AM⊥BC.

1 1 AM 3 BC ? SM ? 2 ? BC ? AM , 得 ? . 2 2 SM 2 1 (Ⅱ)作正三棱锥的高 SG,则 G 为正三角形 ABC 的中心,G 在 AM 上, GM ? AM . 3
∴∠SMA 是二面角 S—BC—A 的平面角.

∵SM⊥BC,AM⊥BC, 在 Rt△SGM 中, ∵ SM ?

2 2 AM ? ? 3 ? 3GM ? 2GM , 3 3

∴∠SMA=∠SMG=60°,

即二面角 S—BC—A 的大小为 60°。 (Ⅲ)∵△ABC 的边长是 3, ∴ AM ?

3 3 3 3 3 , GM ? , SG ? GMtg60? ? ? 3? , 2 2 2 2 1 1 9 3 3 9 3 S ?ABC ? SG ? ? ? ? . 3 3 4 2 8

∴ VS ? ABC ?

9. 【05 福建·理】 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的 点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. [解]本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础 知识,考察空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力 F (I)? BF ? 平面ACE,? BF ? AE,

A

B

E
?二面角D-AB-E为直二面角, 平面ABCD ? 平面ABE, ?

又BC ? AB, BC ? 平面ABE, BC ? AE, ? ?
又BF ? 平面BCE,BF ? BC=B, AE ? 平面BCE。 ?
(II)连结 AC、BD 交于 G,连结 FG,∵ABCD 为正方形,∴BD ⊥AC,∵BF⊥平面 ACE,∴FG⊥AC,∠FGB 为二面角 B-AC-E 的平面 角,由(I)可知,AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥EB,又 AE=EB,AB=2,AE=BE= 2 , 在直角三角形 BCE 中,CE= BC 2 ? BE 2 ?
D
G

C

A

F O E B

6, BF ?

BC ? BE 2 2 2 ? ? CE 6 3
2

在正方形中,BG= 2 ,在直角三角形 BFG 中, sin ?FGB ?
用心 爱心 专心

BF ? BG

3 ? 6 3 2
30

∴二面角 B-AC-E 为 arcsin

6 3

(III)由(II)可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG,D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离,BF⊥平面 ACE,线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离,即为 D 到平面 ACE 的距离所以 D 到平面的距离为

2 3

?

2 3 3

另法:过点 E 作 EO ? AB 交 AB 于点 O. OE=1. ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,?VD? ACE ? VE ? ACD , ? S ?ACB ? h ?

1 3

1 S ?ACD ? EO. 3

? AE ? 平面 BCE,? AE ? EC .

1 AD ? DC ? EO ?h ? 2 ? 1 AE ? EC 2

1 ? 2 ? 2 ?1 2 3 2 ? . 1 3 2? 6 2

∴点 D 到平面 ACE 的距离为

2 3 . 3

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平 行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图. ? AE ? 面 BCE,BE ? 面 BCE, ? AE ? BE , 在 Rt?AEB中, AB ? 2, O为AB 的中点,

? OE ? 1.

? A(0,?1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).

AE ? (1,1,0), AC ? (0,2,2). 设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
则?

? AE ? n ? 0, ? x ? y ? 0, ? y ? ? x, ? 即? 解得 ? ? AC ? n ? 0, ?2 y ? 2 x ? 0. ? z ? x, ?

D

z M

C

令 x ? 1, 得 n ? (1,?1,1) 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

? cos( m, n) ?

m, n | m|?| n|

?

1 3

?

3 . 3

A
x

F
O

B

y

E

∴二面角 B—AC—E 的大小为 arccos

3 . 3

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ AD ? (0,0,2) ,
用心 爱心 专心 31

∴点 D 到平面 ACE 的距离 d ?| AD | ? | cos ? AD , n ??

| AD ? n | |n|

?

2 3

?

2 3. 3

10. 湖北· 【05 理】 如图, 在四棱锥 P—ABC 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, AB= 3 ,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC, 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 [解] 解法一: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角 坐标系, 则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0,0,0) ,

P E D A
1 ,2) 2

C B

B( 3 ,0,0) ,C( 3 ,1,0) ,D(0,1,0) ,P(0,0,2) ,E(0, 从而 AC =( 3 ,1,0) PB =( 3 ,0,-2) , 设 AC 与 PB 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14
1 , 1 ? z) 2

(Ⅱ) 由于 N 点在侧面 PAB 内, 故可设 N 点坐标为 (x, z) 则 ME ? (? x , 0, , 由 NE⊥面 PAC 可得: ?

? NE ? AP ? 0, ? ? NE ? AC ? 0, ?



? ?(? x , ? ? ?(? x , ? ?

1 , 1 ? z ) ? (0 , 0 , 2) ? 0, 2 1 , 1 ? z ) ? ( 3 , 1 , 0) ? 0, 2

z
P E D o A
8

y B

C

? ? z ? 1 ? 0, 3 , ? ?x ? 化简得 ? ?? 1 6 ?? 3x ? 2 ? 0. ? z ? 1. ? ?
即 N 点的坐标为(

x

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

解法二: (Ⅰ)设 AC∩BD=O,连 OE,则 OE//PB, ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 在Δ AOE 中,AO=1,OE=

1 1 7 5 PB= ,AE= PD= , 2 2 2 2
用心 爱心 专心 32

7 5 ? 4 4 ? 3 17 ∴ cos EOA ? 14 7 2? ?1 2 1?
即 AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 17 14

(Ⅱ)在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则 ?ADF ?

?
6

连 PF,则在 RtΔ ADF 中 DF=

AD 2 3 3 ? , AF ? AD tan ADF ? cos ADF 3 3

设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE//DF, ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面 PAC 从而 NE⊥面 PAC ∴N 点到 AB 的距离=

1 1 3 AP=1,N 点到 AP 的距离= AF= 2 2 6

11. 【05 湖北·文】 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4, BC=2,CC1=3,BE=1 C1 (Ⅰ)求 BF 的长; F (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离

D

E

C

[解] 本小题主要考查线面关系和空间距离的求 A B 法 等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力 解法 1: (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. 又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. C1 ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.

? BF ? BD ? DF ? 2 6.
2 2

F
Q H

E (Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, C A 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. B G M 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC,且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC.在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长 即为 C 到平面 AEC1F 的距离

D



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? AB 2 ? BG 2 ? 17. CC1 CG
4 12 ? , 17 17
33

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3cos MCG ? 3cos GAB ? 3 ?
用心 爱心 专心

12 CM ? CC1 17 ? 4 33 . ? CQ ? ? MC1 11 122 32 ? 17 3?
解法 2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) , A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,4,1) 1(0,4,3).设 F(0,0,z). ,C ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1F为平行四边形,

z

C1

??? ???? ? ? ?由AF ? EC1得,(?2,0, z) ? (?2,0,2),
? z ? 2.? F (0,0, 2).

F D x A E C B y

??? ? ? EF ? (?2, ?4, 2).

??? ? 于是 | BF |? 2 6,即BF的长为2 6.

(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)

?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? ?n1 ? AF ? 0, ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?

? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 a,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴C 到平面 AEC1F 的距离为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

12. 【05 湖南·理】 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2. (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

D

O1 C
D

O1

C

A
[解] 解法一(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1
用心 爱心

O
图1

B
A

O
图2

B

专心

34

所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0) , B(0,3,0) ,C(0,1, 3 )O1(0,0, 3 ).

O1
D

z

C

??? ? ???? ? 从而 AC ? (?3,1, 3), BO1 ? (0, ?3, 3),
??? ???? ? ? AC ? BO1 ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0.
所以 AC⊥BO1.

O
x A
图3

B y

(II) 因为 BO ?OC ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0, 所以 BO1⊥OC, 1 由(I)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC, BO1 是平面 OAC 的一个法向量. 设 n ? ( x, y, z) 是 0 平面 O1AC 的一个法向量,
? 由 ?n ? AC ? 0 ? ?? 3x ? y ? 3z ? 0, ? ? ?n ? O1C ? 0 ? y ? 0. ? 取z ? 3,

得 n ? (1,0, 3) .

设二面角 O—AC—O1 的大小为 ? ,由 n 、 BO1 的方向可知 ? ?? n , BO1 >, 所以 cos ? ? cos ? n , BO1 >= n ? BO1 ? 3 . 4 | n | ? | BO1 | 即二面角 O—AC—O1 的大小是 arccos

3 . 4

解法二(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1, 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1, OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影. 因为 tan ?OO B ? OB ? 3 1
OO1

tan?O1OC ?

O1C 3, ? OO1 3

所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1 由三垂线定理得 AC⊥BO1. (II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知 BO1⊥ 平面 AOC. 设 OC∩O1B=E,过点 E 作 EF⊥AC 于 F,连结 O1F (如图 4) ,则 EF 是 O1E 在平面 AOC 内的射影,由三 垂线定理得 O1F⊥AC. 所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角. 由题设知 OA=3,OO1= 3 ,O1C=1,

O1
D

FC
E

O
A
图4

B

所以 O1 A ?

OA 2 ? OO12 ? 2 3 , AC ? O1 A 2 ? O1C 2 ? 13 ,

用心

爱心

专心

35

从而 O1 F ?

O1 A ? O1C 2 3 , ? AC 13

又 O1E=OO1·sin30°=

3 , 2

所以 sin ?O1 FE ?

O1 E 3 13 . ? . 即二面角 O—AC—O1 的大小是 arcsin 4 O1 F 4

13. 【05 江西·理】 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. D1 C1 (1)证明:D1E⊥A1D; B1 (2) E 为 AB 的中点时, 当 求点 E 到面 ACD1 的距离; A 1 (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4
[解] 解法(一) (1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D ⊥D1E

D A E B

C

(2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 S ?AD1C ?

1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? ? , 而S ?ACE ? ? AE ? BC ? . 2 2 2 2 2

1 1 1 3 1 ?VD1 ? AEC ? S ?AEC ? DD1 ? S ?AD1C ? h,? ? 1 ? ? h,? h ? . 3 3 2 2 3
(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE, 则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x

D1 A1 D A
H

C1 B1 C E B

在Rt ?D1 DH中,? ?DHD1 ?

?
4

,? DH ? 1.

?在Rt ?ADE中, DE ? 1 ? x 2 ,
?在Rt ?DHE中, EH ? x,

在Rt ?DHC中CH ? 3, 在Rt ?CBE中CE ? x 2 ? 4 x ? 5.
? x ? 3 ? x2 ? 4x ? 5 ? x ? 2 ? 3.
? AE ? 2 ? 3时, 二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4
解法(二) :以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0) C(0,2,0) (1) 因为DA , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA ? D1 E. 1 1

?

用心

爱心

专心

36

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) , 从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

AD1 ? (?1,0,1) ,
设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,

D1 A1

z
B1

C1

?n ? AC ? 0, ? 则? ?n ? AD1 ? 0, ?
也即 ?

D o

C E B

y

x

A

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3) 设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) , CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), ∴ 由?

?n ? D1C ? 0, ?

?2b ? c ? 0 ?? 令 b=1, ∴c=2,a=2-x,∴ n ? (2 ? x,1,2). ?n ? CE ? 0, ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?
依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x2 ? 2 ? 3 . , ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

14. 【05 全国Ⅰ·理】 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点 2
(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ) 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大 小 [解] 本小题主要考查直线与平面垂直、 直线与平面所成角的有关知识及思维能力和 空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问 题的能力 方案一: (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD.

P
M

A C
P
M

B

D

E B

A D

N

C
37

用心

爱心

专心

又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形. 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 , 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90°

? cos?PBE ? 10 . 5

BE 10 ? . PB 5

? AC与PB所成的角为arccos

(Ⅲ)解:作 AN⊥CM,垂足为 N,连结 BN. 在 Rt△PAB 中,AM=MB,又 AC=CB, ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得 CB⊥PC, 在 Rt△PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中,AN·MC= CM ? (
2

AC 2 ) ? AC , 2

3 ? 2 ? AN ? 2 ? 5 2
? cos?ANB ?

6 5

.

∴AB=2,

AN 2 ? BN 2 ? AB 2 2 ?? 2 ? AN ? BN 3
2 3

故所求的二面角为 arccos( ? ). 方法二:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立 空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M(0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 又由题设知 AD⊥DC,且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD

1 2

z

(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

P
M

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5
D

A

N

B C

y

x

用心

爱心

专心

38

由此得 AC 与 PB 所成的角为 arccos

10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N(x,y,z) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN ? MC ? 0即x ? z ? 0, 解得 ? ? . 2 5

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为所求二面角的
平面角.

???? 30 ???? 30 ???? ???? 4 ?| AN |? ,| BN |? , AN ? BN ? ? . 5 5 5
2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3

???? ??? ? ???? ??? ? AN ? BN 2 ? ? cos( AN , BN ) ? ???? ??? ? ? . 3 | AN | ? | BN |

15. 【05 全国Ⅱ·理】 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD 垂直于底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点. P (Ⅰ)求证:EF 垂直于平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小.
F D A

[解] 本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角 C E 的有关知识,及思维能力和空间想象能力,考查应用向量知识 B 解决数学问题的能力。 方法一: (Ⅰ)证明:连接 EP。 ∵PD⊥底面 ABCD,DE 在平面 ABCD 内, ∴PD⊥DE,又 CE=ED,PD=AD=BC。 ∴Rt△BCE≌Rt△PDE ∴PE=BE. ∵F 为 PB 的中点 ∴EF⊥PB。 由三垂线定理得:PA⊥AB。 ∴在 Rt△PAB 中,PF=AF,又 PE=BE=EA, ∴△EFP≌△EFA。 EF⊥FA ∵PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线。 ∴EF⊥平面 PAB。 (II)解:不妨设 BC=1,则 AD=PD=1。 AB ? 2, PA ? 2, AC ? 3.

??PAB为等腰直角三角形,且PB ? 2,F为其斜边中点,BF ? 1,且AF ? PB。

用心

爱心

专心

39

? PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直。

? PB ? 平面AEF。
P

连结BE交AC与G。作GH ? BP

F H A E G D

C

A B

交EF于H,则GH ? 平面AEF。

?GAH为AC与平面AEF 所成的角。

1 1 2 2 3 由?EGC ? ?BGA可知EG ? GB,EG ? EB,AG ? AC ? , 2 3 3 3
1 1 由?EGH ? EBF 可知GH ? BF ? 。 3 3

? sin ?GAH ?

GH 3 ? AG 6 3 . 6

? AC与平面AEF 所成的角为arcsin

方法二: 以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直角坐标系。

E (Ⅰ) 证明:设(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0)。
1 1 P(0,0,1),F(a, , ) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 EF ? (0, , ), PB ? (2a,1, 1), AB ? (2a, 0, 0) 。 ? 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? EF ? PB ? 0,? EF ? PB. AB ? EF ? 0,? EF ? AB.

又PB ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, PB ? AB ? B.
(Ⅱ)解:

? EF ? 平面PAB.

由AB ? 2 BC,得a=

2 . 2

用心

爱心

专心

40

??? ? ??? ? 可得AC ? 2,1,-1), ? 2,1,-1)。 ( PB ( ???? ??? ? ?? ?? ? ? AC ? PB 3 cos(AC, PB)= ???? ??? ? 。 ? 6 AC ? PB
异面直线AC、PB所成的角为arccos ? 3 。 6 ??? ? 2 1 1 AF ? ( ,- ,)。 2 2 2

??? ??? ? ? ? AF ? PB ? 0, PB ? AF。
又PB ? EF, EF、AF为平面AEF内两条相交直线。 ? PB ? 平面AEF。

? 3 3 ? AC与平面AEF 所成的角为 ? arccos (? arcsin )。 2 6 6
即AC与平面AEF 所成的角为arcsin 3 。 6

16. 【05 全国Ⅲ·理】 在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角 形,平面 VAD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明 AB⊥平面 VAD. V (Ⅱ)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小. [解] 证明: (Ⅰ)作 AD 的中点 O,则 VO⊥底面 C D ABCD. A 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1, B 则 A(

1 1 1 ,0,0) ,B( ,1,0) ,C(- ,1,0) , 2 2 2
V

Z D A X O B

1 3 D(- ,0,0) ,V(0,0, ) , 2 2

C Y

??? ? ???? ???? 1 3 ) ∴ AB ? (0,1, 0), AD ? (1, 0, 0), AV ? (? , 0, 2 2
由 AB ? AD ? (0,1,0) ? (1,0,0) ? 0 ? AB ? AD

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ? ??? ???? ? 1 3 AB ? AV ? (0,1, 0) ? (? , 0, ) ? 0 ? AB ? AV 2 2
又 AB∩AV=A ∴AB⊥平面 VAD (Ⅱ)由(Ⅰ)得 AB ? (0,1,0) 是面 VAD 的法向量 设 n ? (1, y, z) 是面 VDB 的法向量,则
用心 爱心 专心 41

??? ?

?

? ??? ? x ? ?1 ? ? n ?VB ? 0 ?(1, y, z ) ? (? 1 ,1, ? 3 ) ? 0 ? 3 ? ? ?? ?? ? n ? (1, ?1, ) ? ??? ? ? 2 2 3 3 ?n ? BD ? 0 ? (1, y, z ) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?z ? ? ? 3 ? ?
3 (0,1, 0) ? (1, ?1, ) ??? ? ? 3 ? ? 21 , ∴ cos ? AB, n ?? 7 21 1? 3
又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为 arccos 17. 【05 山东·理】 如图,已知长方体 ABCD ? A B1C1D1 1
0

21 7
, AB ? 2, AA ? 1 ,直 1

线 BD 与平面 AA B1B 所成的角为 30 , AE 垂直 BD 1
A1

于 E , F 为 A1B1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (Ⅱ) 求平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角 (锐 角)的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 BDF 的距离 [解] (考查知识点:立体几何) 解法一: (向量法)
B1 F A C1 E C

D1

D

B

在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图. 由已知 AB ? 2, AA ? 1 ,可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F (1,0,1) . 1 又 AD ? 平面 AA B1B ,从面 BD 与平面 AA B1B 所成的角即为 ? DBA ? 30 1 1 又 AB ? 2, AE ? BD, AE ? 1, AD ?
0

2 3 3
F B1

A1

z
D1

从而易得 E ( ,

1 3 2 3 , 0), D(0, , 0) 2 2 3 ??? ? ??? ? 1 3 , 0), BF ? (?1, 0,1) 2 2

A

C1 E

D

y

(Ⅰ)? AE ? ( ,

x

B

C

1 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 2 AE ?BF ? cos ? AE, BF ?? ??? ??? ? 2 ? ? ? ? 4 2 AE BF
用心 爱心 专心 42

即异面直线 AE 、 BF 所成的角为 arccos

2 4

(Ⅱ)易知平面 AA1 B 的一个法向量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BDF 的一个法向量. BD ? (?2,

?

?

??? ?

2 3 , 0) 3
取 n ? (1, 3,1)

? ? ??? ? n ? BF ? 由 ? ? ??? ? ?n ? BD ?

? ? ??? ? n ?BF ? 0 ? ? ? ? ??? ? ?n ?BD ? 0 ?

? ?x ? x ? 0 ? ?? 2 3 y?0 ?2 x ? 3 ?

? x?z ? ?? ? 3x ? y ?

?

? ? m?n 3 15 ? ? ∴ cos ? m, n ?? ? ? ? ? m n 1? 5 5
即平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角(锐角)大小为 arccos

15 5

(Ⅲ)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值

??? ?

?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB?n | AB?n | 2 2 5 ? cos ? AB, n ? ? | AB |? ??? ? ? 所以距离 d ? | AB |? ? ? ? |n| 5 | AB |? n | | 5
所以点 A 到平面 BDF 的距离为 解法二:(几何法) (Ⅰ)连结 B1D1 ,过 F 作 B1D1 的垂线,垂足为 K, ∵ BB1 与两底面 ABCD, A1B1C1D1 都垂直,

2 5 5

A1 F B1 K A C1 E B C

D1

? ? ∴ FK ? B1 D1 ? ? FK ? 平面BDD1 B1 B1 D1 ? BB1 ? B1 ? ? AE ? BB1 ? ? 又 AE ? BD ? ? AE ? 平面BDD1B1 BB1 ? BD ? B ? ?
因此 FK // AE ∴∠ BFK 为异面直线 BF 与 AE 所成的角 连结 BK,由 FK⊥面 BDD1B1 得 FK ? BK , 在 Rt ?B1KF 和 Rt ?B1D1 A1 中,
用心 爱心 专心

FK ? BB1

D

从而

?BKF 为 Rt?

43

1 AD? AB FK A1 D1 A D ?B F 2 由 得 FK ? 1 1 1 ? ? ? B1 F B1 D1 B1D1 BD

2 3 ?1 1 3 ? 2 2 22 ? ( 3)2 3

又 BF ? 2 , ∴ cos ? BFK ?

FK 2 ? BK 4 2 4

∴异面直线 BF 与 AE 所成的角为 arccos

(Ⅱ)由于 AD ? 面 AAt B 由 A 作 BF 的垂线 AG , 垂足为 G ,连结 DG ,由三垂线定理知 BG ? DG ∴ ? AGD 即为平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角的平 面角 且∠ DAG ? 90 , 在平面 AA1 B 中, 延长 BF 与 AA1 ;
?

S A1 F B1 B G A C1 E C D D1

交于点 S ∵ F 为 A1B1 的中点 A1 F //

1 1 AB, A1 F ? AB, 2 2

∴ A 、 F 分别为 SA 、 SB 的中点 1

即 SA ? 2 A A ? 2 ? AB , 1

∴ Rt ?BAS 为等腰直角三角形,垂足 G 点实为斜边 SB 的中点 F,即 F、G 重合 易得 AG ? AF ?

1 2 SB ? 2 ,在 Rt ?BAD 中, AD ? 3 2 3
∴∠ AGD ? arctan

2 3 AD 3 6 ? ? ∴ tan ?AGD ? , AG 3 2

6 , 3

即平面 BDF 于平面 AA1 B 所成二面角(锐角)的大小为 arctan (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 AFD 是平面 BDF 与平 面 AA1 B 所成二面角的平面角所在的平面 ∴面 AFD ? 面BDF 在 Rt ?ADF 中,由A作 AH⊥DF 于 H,则 AH 即 为点 A 到平面 BDF 的距离 由 AH ?DF=AD ?AF,得

6 3

S A1 F A B1 B C1 E C H D D1

用心

爱心

专心

44

AH ?

AD?AF ? DF

2 3? 2 3 ( 2 3)2 ? ( 2)2 3
2 5 5

?

2 5 5

所以点 A 到平面 BDF 的距离为

18. 【05 上海·理】 已知直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 ,底面 ABCD 是 1 1
? 直角梯形, ?A ? 90 , AB // CD , AB ? 4 , AD ? 2 , DC ? 1 ,求异面直线 BC1 与 DC

所成的角的大小(结果用反三角函数表示) [解] 由题意 AB∥CD,∴∠C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角.连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得

D1 A1

C1 B1

AC= 5 .
又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB= 13 . 又在 Rt△CBC1 中,可得 BC1= 17 ,

D A

C B

在△ABC1 中,cos∠C1BA=

3 17 3 17 ,∴∠C1BA=arccos 17 17
D1 A1 D C

3 17 异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos 17
另解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 所在 直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系. 则 C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴ BC1 =(-2,-3,2),

z

C1 B1

y
B

A

CD =(0,-1,0),设 BC1 与 CD 所成的角为 θ ,
则 cosθ =

x

BC1 ? CD BC1 ? CD

=

3 17 3 17 ,θ = arccos . 17 17
3 17 17

异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

19. 【05 天津·理】 如图,在斜三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,?A1 AB ? ?A1 AC, AB ? AC, A1 A ? A1 B ? a ,侧面

B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120? ,E、F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中点
用心 爱心 专心 45

(Ⅰ)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角 (Ⅱ)证明 A1 E ∥平面 B1 FC (Ⅲ)求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积 [解] 为H . (Ⅰ)过 A1 作 A1 H ? 平面 ABC ,垂足

C1 A1 F A C B

E B1

连结 AH ,并延长交 BC 于 G ,于是 ?A1 AH 为 A1 A 与底面 ABC 所成的角. ∵ ?A1 AB ? ?A1 AC ,∴ AG 为 ?BAC 的平分线. 又∵ AB ? AC , AG ? BC , G 为 BC 的 ∴ 且 中点. 因此,由三垂线定理 A1 A ? BC . ∵ A1 A // B1 B ,且 EG // B1 B ,∴ EG ? BC . 于是 ?AGE 为二面角 A ? BC ? E 的平面角, 即 ?AGE ? 120 .
?

C1 A1 F A P
O C G B H

E B1

由于四边形 A1 AGE 为平行四边形,得 ?A1 AG ? 60? . (Ⅱ)证明:设 EG 与 B1C 的交点为 P ,则点 P 为 EG 的中点.连结 PF . 在平行四边形 AGEA 中,因 F 为 A1 A 的中点,故 A1 E // FP . 1 而 FP ? 平面 B1 FC , A1 E ? 平面 B1 FC ,所以 A1 E // 平面 B1 FC . (Ⅲ)连结 A1C .在 ?A1 AC 和 ?A1 AB 中,由于 AC ? AB , ?A1 AB ? ?A1 AC ,

A1 A ? A1 A ,则 ?A1 AC ≌ ?A1 AB ,故 A1C ? A1 B .由已知得 A1 A ? A1 B ? A1C ? a .
又∵ A1 H ? 平面 ABC ,∴ H 为 ?ABC 的外心. 设所求球的球心为 O ,则 O ? A1 H ,且球心 O 与 A1 A 中点的连线 OF ? A1 A .

1 a A1 F 3a 3 ? 2 ? ? a, 在 Rt?A1 FO 中, A1O ? .故所求球的半径 R ? cos AA1 H cos30 3 3

用心

爱心

专心

46

球的体积 V ?

4 3 4 3 3 ?R ? ?a . 3 27

20. 【05 浙江·理】如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分 别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. P 1 (Ⅰ)当 k= 时, 求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小;

2

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△ PBC 的重心? [解] 本题主要考查空间线面关系、 空间向量的概念与
A O B

D

C

运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力 方法一: (Ⅰ) ∵O、 分别为 AC、 ? OD∥PA D PC

P D F A O B E C

又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB
(Ⅱ)? AB ? BC,OA ? OC,
? OA ? OB ? OC,

又 ? OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC. 取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE

作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC

? ?ODF 是OD与平面PBC所成的角.
又 OD∥PA ,

? PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF ,
OF 210 ? , OD 30 ? PA与平面PBC所成的角为arcsin
∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影

在Rt ?ODF中, ?ODF ? sin

210 . 30

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, OF ? 平面PBC ,

∵D 是 PC 的中点,若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

? OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? BC ,即 k ? 1
反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心 方法二:

用心

爱心

专心

47

?OP ? 平面ABC , OA ? OC, AB ? BC ,

?OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP.

以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图) 设 AB ? a, 则 A ?

? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 a, 0, 0 ? , B ? 0, ,0?,C ? ? , 0, 0 ? , ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

设 OP ? h ,则 P ? 0,0, h? (Ⅰ)? D 为 PC 的中点,

z

P D

???? ? 2 1 ? ? OD ? ? ? ? 4 a, 0, 2 h ? , ? ? ?

A

x
??? ? ? ??? ? ? 2 ? ???? 1 ??? a, 0, ?h ? ,? OD ? ? PA,? OD // PA , ? 2 ? 2 ? ?

O B

C

y

又 PA ? ?

? OD∥平面PAB

??? ? 2 ? 1 7 7 ? a,? PA ? ? a, 0, ? a ? , ,即 PA ? 2a,? h ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 1? PA ? n 210 ? 可求得平面 PBC 的法向量 n ? ?1, ?1, ? , ? cos? PA, n? ? ??? ? ? ?, ? ? 7? 30 | PA | ? | n | ?
(Ⅱ)? k ? 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos? PA, n? |?

??? ? ?

210 , 30

???? ? ? 2 2 1 ? 2 2 1 ? a, a, h ? , ? OG ? ? ? a, a, h ? , ? 6 ? 6 6 3 ? 6 3 ? ? ? ? ? ???? ??? ? ?OG ? 平面PBC,?OG ? PB ,
(Ⅲ) ?PBC 的重心 G ? ? 又 PB ? ? 0,

??? ?

? ? ?

? ? ???? ??? 1 2 1 2 a, ?h ? ,? OG ? PB ? a 2 ? h 2 ? 0,? h ? a, ? 2 6 3 2 ?

? PA ? OA2 ? h2 ? a ,即 k ? 1 ,
反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心

用心

爱心

专心

48

21. 【05 重庆·理】 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C,E 为棱 CC1 上 异于 C、C1 的一点,EA⊥EB1,已知 AB= 2 ,BB1=2, BC=1,∠BCC1=

A

A1

? ,求: 3

(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; B (Ⅱ)二面角 A—EB1—A1 的平面角的正切值. [解] 解法一: C (Ⅰ)因 AB⊥面 BB1C1C,故 AB⊥BE. 又 EB1⊥EA,且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB. 由三垂线定理的逆定理知 EB1⊥BE,因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线, 在平行四边形 BCC1B1 中,设 EB=x,则 EB1= 4 ? x ,
2

B1 E C1

A
G

A1

B

作 BD⊥CC1,交 CC1 于 D,则 BD=BC· sin

?
3

B1 E C1

?

3 . 2

C

D

在△BEB1 中,由面积关系得

1 1 3 x 4 ? x2 ? ? 2 ? ,即( x 2 ? 1)(x 2 ? 3) ? 0 . 2 2 2

解之得x ? ?1, x ? ? 3 (负根舍去)
当x ? 3时, 在?BCE 中, CE 2 ? 12 ? 2CE ? cos

?
3

? 3,

解之得 CE=2,故此时 E 与 C1 重合,由题意舍去 x ?

3.

因此 x=1,即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (Ⅱ)过 E 作 EG//B1A1,则 GE⊥面 BCC1B1,故 GE⊥EB1 且 GE 在面 A1B1E 内, 又已知 AE⊥EB1 故∠AEG 是二面角 A—EB1—A1 的平面角. 因 EG//B1A1//BA,∠AEG=∠BAE,故 tan AEG ? 解法二: (Ⅰ)由AE ? EB1 , 得AE ? EB1 ? 0, 又由AB ? 平面 而 BB1C1C 得 AB⊥EB1 从而 AB? EB1 =0.

BE 1 2 ? ? . AB 2 2

A

A1

??? ???? ??? ??? ???? ? ? ? 故EB ? EB1 ? (EA ? AB) ? EB1 ??? ???? ??? ???? ? ? ? EA ? EB1 ? AB ? EB1 ? 0
C

B E

O

B1 C1

??? ???? ? 即EB ? EB1, 故线段BE是异面直线AB与EB1的公垂线.

用心

爱心

专心

49

设 O 是 BB1 的中点,连接 EO 及 OC1,则在 Rt△BEB1 中,EO= 因为在△OB1C1 中,B1C1=1,∠OB1C1= 所以 OC1=OB1=1, 又因∠OC1E=∠B1C1C-∠B1C1O= ? ?

? ,故△OB1C1 是正三角形, 3

1 BB1=OB1=1, 2

2 3

?
3

?

?
3

, 故△OC1E 是正三角形,

所以 C1E=1,故 CE=1,易见△BCE 是正三角形,从面 BE=1, 即异面直线 AB 与 EB1 的距离是 1. (Ⅱ)由(I)可得∠AEB 是二面角 A—EB1—B 的平面角,在 Rt△ABE 中,由 AB= 2 , BE=1,得 tanAEB= 2 . 又由已知得平面 A1B1E⊥平面 BB1C1C,

故二面角 A—EB1—A1 的平面角 ? ?

?
2

? ?AEB ,故

? 2 tan? ? tan( ? ?AEB) ? cot AEB ? . 2 2
解法三: (I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系. 由于 BC=1,BB1=2,AB= 2 ,∠BCC1= 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中有 B(0,0,0) ,A(0,0, 2 ) 1(0,2,0) ,B ,

? , 3

z
A

A1

B C

B1 y E C1

C(

3 1 3 3 ,? ,0), C1 ( , ,0) 2 2 2 2

x

设 E(

3 3 3 , a,0),由EA ? EB1 , 得EA ? EB1 ? 0,即 0 ? (? , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) 2 2 2

?

3 3 ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4

1 3 1 3 3 1 得(a ? )(a ? ) ? 0,即a ? 或a ? (舍去), 故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 ??? ???? ? 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , , 0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0, 即BE ? EB1. 2 2 2 2 4 4
又 AB⊥面 BCC1B1,故 AB⊥BE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB1 的公垂线, 则 | BE |?

3 1 ? ? 1 ,故异面直线 AB、EB1 的距离为 1. 4 4
用心 爱心 专心

50

(II) 由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故二面角 A—EB1—A1 的平面角 ? 的大小为向量

B1 A1与EA 的夹角.

???? ??? ? ? ??? ? 3 1 因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2), EA ? (? , ? , 2), 2 2

??? ???? ? ? EA ? B1 A1 2 2 ? ? 故 cos ? ? ??? ???? ? , tan ? ? . 2 | EA || B1 A1 | 3
22. 【05 重庆·文】 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,E 是 AB 上一点,PE ⊥EC. 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 ,求 2

P D C E B

(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E—PC—D 的大小. [解] 解法一: (Ⅰ)因 PD⊥底面,故 PD⊥DE,又因 EC⊥PE, 且 DE A 是 PE 在面 ABCD 内的射影,由三垂直线定理的 逆定理知 EC⊥DE,因此 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线. 设 DE=x,因△DAE∽△CED,故

x CD ? , 即x 2 ? 1, x ? ?1 (负根舍去). AE x

从而 DE=1,即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1. (Ⅱ)过 E 作 EG⊥CD 交 CD 于 G,作 GH⊥PC 交 PC 于 H,连接 EH. 因 PD⊥底面, 故 PD⊥EG,从而 EG⊥面 PCD. 因 GH⊥PC,且 GH 是 EH 在面 PDC 内的射影, 由三垂线定理知 EH⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.

P

H

在 面 PDC 中 , PD= GC= 2 ?

2 , CD=2 ,

1 3 ? , 2 2

D G A E B C
CG 3 , ? PC 2

因△PDC∽△GHC, 故 GH ? PD ?

又 EG ? 故在

1 3 DE 2 ? DG 2 ? 12 ? ( ) 2 ? , 2 2

Rt ?EHG 中, GH ? EG ,因此 ?EHG ?

?
4

,

即二面角 E—PC—D 的大小为

? . 4
用心 爱心 专心

51

解法二: (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得 D(0,0,0) ,P(0,0, 2 ) , C(0,2,0)设 A( x,0,0)(x ? 0),则B( x,2,0),

z
P G F C y B

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2
由 PE ? CE得PE ? CE ? 0 , 即 x2 ?

D A

3 3 ? 0, 故x ? . 4 2

x

E

由 DE ? CE ? (

3 1 3 3 , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE , 2 2 2 2

又 PD⊥DE,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线 PD、 CE 的距离为 1. (Ⅱ)作 DG⊥PC,可设 G(0,y,z).由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z) ? (0,2,? 2 ) ? 0 即z? , 2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF⊥PC 于 F,设 F(0,m,n)

则 EF ? (?

3 1 , m ? , n). 2 2
3 1 , m ? , n) ? (0,2,? 2 ) ? 0,即2m ? 1 ? 2n ? 0 , 2 2

由 EF ? PC ? 0得(?

又由 F 在 PC 上得 n ? ?

2 2 3 1 2 m ? 2 , 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2

因 EF ? PC, DG ? PC, 故平面 E—PC—D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角. 故 cos ? ?

DG ? EF | DG || EF |

?

2 ? ,? ? , 2 4

即二面角 E—PC—D 的大小为

? . 4

选择题、填空题答案 一、选择题 1.C 2. B 3.D 4.D
用心

5. C
爱心 专心

6.C

7.C

8.C
52

9.A 10.D 二、填空题 1.③⑤ 4.③④ ②⑤

11.D

12.B

13.D

14.D

15.B

2.①③④ 5.③④

3.①,④ 6.②③⑤

用心

爱心

专心

53



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