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莆田四中2013-2014学年高三数学(理)上学期第一次月考试卷


莆田四中 2013-2014 学年高三数学(理)上学期第一次月考试卷
命题者:潘劲森 审核者:陈苏凡 13.10.05 说明:本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设集合 M={-1,0,1},N={x| x ? x },则 M∩N =(
2



A.{0} 2.若函数 f ( x) ? A. (1,??)

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,1} ) D. (??,0) ? (0,1)

2 ,则函数 f (x) 的定义域是( lg(1 ? x)
B. (0,1) ? (1,??) C. (??,?1) ? (?1,0) )

3.已知 a ? 0 ,则“

?

a

0

xdx ? 2 ”是“ a ? 2 ”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是(
x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1) 5.下列说法错误的是 ( A. c ? ? “o s )

3 7 ”是“ cos 2? ? ? ”的充要条件 5 25
2

B.命题 p :关于 x 的函数 y ? x ? 3ax ? 4 在[1,+∞)上是增函数,则 a ?
2

2 3

C.命题 p :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p :任意 x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” 6.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 则它的一个对称中心是( A. ( ? )

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象, 6
C. (

?
2

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

?
6

, 0)

D. (

?
3

, 0)

7.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ,曲线 y ? g (x) 在点 ?1, g ?1?? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f (x) 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率为( A. 2 B. ? )

1 4

C. 4

D. ?

1 2

8.已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ,若 f (x) 在区间 (2m, m ? 1) 上单调递减,则实数 m 的取值范围
3

是(



[来源:Z*xx*k.Com]

A. ? 1 ? m ? 1

B. ? 1 ? m ? 1

C. ? 1 ? m ? 1

D. ? 1 ? m ? 1 9.如下图所示,有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针 2 上全 3 1 部移到另一根针上。 (1)每次只能移动一个金属片; (2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能 放在较小的金属片上面。 若将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动 的次数记为 f (n) ,则 f (5) =( A. 33 B. 31 C.17 ) 第 9 题图 D. 15

?1 ? x ? 1 ,x ? ( , 2 ) ?? ? 10 . 设 函 数 f ( x) ? ? 1 , 则 函 数 F ( x) ? xf ( x) ?1 的 零 点 的 个 数 为 ? f ( x ? 2), x ? [2, ??) ?2
( A. 4 ) B. 5 C. 6 D. 7

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. 已知含有三个实数的集合既可表示成 {a,
2

b 2 1 2 又可表示成 {a , a ? b,0} , a10 ? b20 则 2 ,1} , a
弧度

?

12. 一扇形的面积为 1 cm ,它的周长是 4cm,则其圆心角为 13.化简: cos (
2

?

? ? ) ? cos 2 ( ? ? ) = 4 4

?

π 14.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示, 2 则函数 f(x)的解析式是 . 15.若对于定义在 R 上的函数 f (x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? ( ? ? R)使得 f (x + ? ) + ? f (x) = 0 对任意实数 x 都成立,则称 f (x) 是一个“ ? —伴随函数”. 有下列关 于 “ ? —伴随函数”的结论: ①f (x) =0 是常数函数中唯一个“ ? —伴随函数”; ③f(x) = x2 是一个“ ? —伴随函数”; 零点. 其中不正确的序号是_______________(填上所有不正确的结论序号) . ... ... 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ②f (x) = x 不是“ ? —伴随函数”; ④“

1 —伴随函数”至少有一个 2

16. (本小题满分 13 分)已知 p : 的

2 x ?1 ? 0 ; q : x ? (2a ? 5) x ? a(a ? 5) ? 0 若 x ?3

?p 是 q

充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

17. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? a . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

18. (本小题满分 13 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 2 , E 是侧棱 PA 上的动点。 (1)求三棱锥 C ? PBD 的体积; (2)如果 是 的中点,求证 在侧棱 平面 ; ?证明你的结论。

(3)是否不论点

的任何位置,都有

19. (本小题满分 13分) 已知椭圆 C: 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若斜率为 k 的直线过点 M(2,0),且与椭圆 C 相交于 A,B 两点,试探讨 k 为何值时, △ OAB 为直角三角形?

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 x 2 ? y 2 ? 1 2 a b

20. (本小题满分 14分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 .
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 4 时,若函数 y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,求 m 的取值范围; (3)设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x), 当 x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类 x ? x0

对称点” , 请你探究当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 是否存在“类对称点” ,若存在,请最少求出 一个 “类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.

21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 、 、 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
?1? 二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 ,其对应的一个特征向量 e= ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换 ?1?

将点 (?1, 2) 变换成点 (?2, 4) . (Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求它的另一个特征值及对应的一个特征向量.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 3, ? ( t 为参数) ,在极坐标系 ?y ? 3 t ?

(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? co s ? ? 3 ? 0 .
2

①求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ②设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a=1,求 A;

(Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围.

莆田四中 2013-2014 学年上学期第一次月考 高三数学(理科)试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 1 号 答 D 案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. -1 ①③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
P ? ?x x ? 3或x ? 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

C

D

A

C

C

B

B

C

12. 2

13.

1

? π π? ? ? 14. f(x)=2sin? x+ ? 4? ?4

15.

16. 解:

?

???????????????????3 分

?p ? ??

1 ? ? ? 3 ??????????????????????4 分

q ?x a ? ? ? a ? 5

?

???????????????????????7 分

? ?p是q 的充分不必要条件。 ??p ? q ????????????????9 分
?a ? 5 ? 3 ?? ?a ? 1 等号不同时成立。?????????????????????12 分

? ?2 ? a ? 1???????????????????????13 分
17. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .???????????????????3 分 6 2
所以 T ? ? . ?????????????????????4 分

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? 得 ? k? ? x ? ? k? . 6 3 ? 2? 故函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .?????7 分 ? k ?] ( k ? Z ) 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????10 分 2 6 ? ? 因 为 函 数 f ( x) 在 [? , ] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 6 3 1 1 1 3 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 2 2 2 2 所以 a ? 0 .????????????????????13 分
由 18、解: (1)∵ 平面 ,∴ 平面

BCD ?????????????1 分

1 1 1 1 1 1 VC ? PBD ? VP ? BCD ? S? BCD ? PA ? ? BC ? CD ? PA ? ? ?1?1? 2 ? 3 3 2 3 2 3
即四棱锥 的体积为

1 。………………………………………………………4 分 3
(2)连结 ∵四边形 又∵ ∵ ∴ 是 交 于 ,连结 。………………………………………5 分 是 的中点。 ……………………………………6 分 平面 …… ……………………7 分

是正方形,∴ 的中点,∴ ,

平面 平面

。 ……………………………………………………8 分

(3)不论点

在何位置,都有

。…………………………………9 分 是正方形,∴ 平面 平面 ,∴ 。 。………10 分
[来源:学科

证明如下:∵四边形 ∵ 又∵
网]

底面

,且 ,∴

。………………………………11 分

∵不论点 ∴不论点

在何位置,都有

平面



在何位置,都有

。 ?????????????13 分

19.解:(Ⅰ)?b ? c ? 1

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 ?????????????????????????3 分
所以椭圆方程为 x 2

2

? y2 ? 1

??????????????????4 分

(Ⅱ)由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ? y2 ? 1 ? 2 ?
由 ? ? 0 得: k ?
2

2 2 1 , ) ----6 分 ,即 k ? (? 2 2 2
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )




x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? ????????????5 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
(1)若 O 为直角顶点,则 OA ? OB ? 0 ,即 有x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

??? ??? ? ?

? y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ,所以上式可整理得,
8k 2 ? 2 4k 2 ? ? 0 ,解,得 k ? ? 5 ,满足 k ? (? 2 , 2 ) ????8 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 5
(2)若 A或B 为直角顶点,不妨设以 A 为直角顶点, kOA ? ?

1 ,则 A 满足: k
? 2k 2 ? 1 ? 0

? 2k 2 1 ? ? y ? ? x ,解得 ? x ? k 2 ? 1 ,代入椭圆方程,整理得, k 4 ? k ? ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 2k ? ? ? k 2 ?1

解得, k ? ?

2 ? 1 ,满足 k ? (?

2 2 , ) ???????10 分 2 2

?k ? ?

5 或k ? ? 5
2

2 ? 1 时,三角形 OAB 为直角三角形.???13 分.

21.解: (1)由 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数的定义域为 {x | x ? 0} , 且

f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)( x ? 1) .???????1 分 ? ? x x x

a ? 1. 2 a a 当 0 ? x ? 1 或 x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 a 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1), ( , ??) ..????????????4 分 2 2( x ? 1)( x ? 2) (2)当 a ? 4 时, f ?( x) ? . x
因为 a ? 2 ,所以 所以,当 x 变化时, f ( x) , f (x) 的变化情况如下:
/

x
f / ( x)

(0,1)
+

1 0

(1,2)


2 0

(2,? ?)
+

f (x)

单调递增

f (x) 取极大值 单调递减
2

f (x) 取极小值 单调递增

1 ? 所以 f ( x) 极大值 ? f( ) 1 ? 6 ? 1 ? 4 ln 1 ? ?5 ,

f ( x) 极小值 ? f(2) 2 2 ? 6 ? 2 ? 4 ln 2 ? 4 ln 2 ? 8 .?????????????7 分 ?
函数 f (x) 的图象大致如下:

所以若函数 y ? f ( x) ? m 有三 个不同的零点,则

m ? ? 4 ln 2 ? 8, ?5 ?

.??????????9 分

(3)由题意,当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?

4 ?6, x

则在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f ( x0 ) ? 2 x0 ?
/

4 ?6. x0

所以 y ? g ( x) ? ? 2 x0 ?

? ?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 x0 ?

? ? 4 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? x ? x0 2 ? 4 ln x0 ? 4 ..????????????????????10 分 x0 ? ?


? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? ? 2 x0 ?
?


?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ? , x0 ?


? ( x0 ) ? 0
4 x ? ? ? ? 4 2 ? 2 2? ? ? 6 ? ? 2 ? x ? x0 ? ?1 ? ? ? ? x ? x0 ? ? x0 ? ? . x0 x0 x ? x0 x? ? ? ?

? ? ? x ? ? 2 x ? ? 6 ? ? 2 x0 ?

当 x0 ?

? ? 2? 2? 2 时 , ? ? x ? 在 ? x0 , ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? x0 , ? 时 , x0 ? x0 ? ? ?

? ( x )? ? ( 0 ? 0 . x )
从而有 x ? ? x0 ,

? ?

2? ? ( x) ? 0; ? 时, x0 ? x ? x0

当 x0 ?

? 2 ? ? 2 ? 2 时 , ? ? x ? 在 ? , x0 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? , x0 ? 时 , ? x0 ? ? x0 ?

? ( x )? ? x0 ? 0 . ( )
从而有 x ? ? 存在“类对称点”. 当 x0 ?

? ? x? ? 2 ? , x0 ? 时, ? 0 ;所以在 (0, 2) ? ( 2, ??) 上不 x ? x0 ? x0 ?

2 时 , ? ?( x ) ?

2 x? x

?

2 , 所 以 ? ? x ? 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 , 故
2

?

? ( x)
x ? x0

? 0. ???13 分
所以 x ? 2 是一个类对称点的横坐标. ????????????14 分

?a b? ? a b ? ?1? ?1? ? a ? b ? ?8? 21.(1) 解: (Ⅰ)设 M= ? ? ,则由 ? ? ? ? =8 ? ? 得 ? ? = ? ? ,即 a+b=c+d=8. ?c d? ? c d ? ?1? ?1? ?c ? d ? ?8? ? ?a ? 2b ? ? ?2? ? a b ? ? ?1? ? ?2 ? 由? ? ? ? = ? ? ,得 ? ? ? ? ? ,从而-a+2b=-2,-c+2d=4. ? c d ? ?2 ? ?4 ? ? ?c ? 2d ? ? 4 ?

由 a+b =8 及-a+2b=-2,解得 a=6,b=2; 由 c+d =8 及-c+2d=4,解得 c=4, b=4
?6 2 ? 所以 M= ? ? ,????????????????3 分 ?4 4?

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 矩 阵
f (? ) ?

M

的 特 征 多 项 式 为

? ?6
?4

?2

? ?4

? (? ? 6)(? ? 4) ? 8 ? ? 2 ? 10? ? 16

令 f (? ) ? 0 , 得 矩 阵 M 的 特 征 值 为 8 与 2 .
?(? ? 6) x ? 2 y ? 0 ? 2x ? y ? 0 ? ??4 x ? (? ? 4) y ? 0

当 ? ?2 时 ,

∴ 矩 阵 M 的 属 于 另 一 个 特 征 值 ?1 的 一 个 特 征 向 量 为
? 1 ? ? ?2 ? ? ? .????????????7



(2) 解:①直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 . 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 : x ? y ? 4x ? 3 ? 0 【 或
2 2

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 】. ????3 分
②曲线 C 的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,圆心 C (2,0) ,半径为 1;
2 2

∴ 为: d ?





C(

2

到 ,

0直 ) 线

l







|2 3 ? 0 ? 3 3| 5 3 ? 2 2

??????????6 分

所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是 [

5 3 5 3 ? 1, ? 1] 2 2

??7 分

(3) 解: (Ⅰ)当 x≤-3 时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,综合得 x≤-3. 1 当-3<x≤ 时,原不等式化为-x+4≥2x+4,综合得-3<x≤0. 2 1 当 x> 时,原不等式为 3x+2≥2x+4,得 x≥2. 2 综上,A={x|x≤0 或 x≥2}.???3 分

(Ⅱ)当 x≤-2 时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立. 当 x>-2 时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得 x≥a+1 或

a-1 x≤ ,
3 所以 a+1≤-2 或 a+1≤

a-1
3

,得 a≤-2,综上,a 的取值范围为 a≤-2. ???7 分



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