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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 理 苏教版


§4.2

同角三角函数基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1. sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ +α (k∈Z) π +α -α
2 2

图示

与角 α 终边的 关系 角 π -α π -α 2 π +α 2 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称

图示

与角 α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ + α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 -α -sin α cos α -tan α 三 π -α sin α -cos α -tan α 四 π +α -sin α -cos α tan α 函数名改变
1

关于 y 轴对称

关于直线 y=x 对称

五 π -α 2 cos α sin α

六 π +α 2 cos α -sin α

函数名不变

符号看象限

符号看象限

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( × ) (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( × ) 1 1 (3)若 cos(nπ -θ )= (n∈Z),则 cos θ = .( 3 3 (4)已知 sin θ = × )

m-3 4-2m π ,cos θ = ,其中 θ ∈[ ,π ],则 m<-5 或 m≥3.( × ) m+5 m+5 2
3-1 3 ,则 tan θ 的值为- 3或- .( 2 3 √ ) × )

(5)已知 θ ∈(0,π ),sin θ +cos θ =

1 1+2sin α cos α 1 (6)已知 tan α =- ,则 的值是- .( 2 2 2 sin α -cos α 3

5 1.已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α = 13 12 答案 - 13 5 解析 ∵sin α = ,α 是第二象限角, 13 12 2 ∴cos α =- 1-sin α =- . 13

.

1 π 2.已知 sin(π -α )=log8 ,且 α ∈(- ,0),则 tan(2π -α )的值为 4 2 答案 2 5 5



1 2 解析 sin(π -α )=sin α =log8 =- , 4 3 π 又 α ∈(- ,0), 2 得 cos α = 1-sin α =
2

5 , 3

tan(2π -α )=tan(-α )=-tan α sin α 2 5 =- = . cos α 5

2

2π ? ?π ? 2 ? 3.已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?= 3 ? ?6 ? 3 ? 2 答案 - 3 2π ? ? π ?π ? 解析 sin?α - ?=sin?- -? -α 3 ? ? ? 2 ?6

.

?? ?? ??

?π ?π =-sin? +? -α ?2 ?6

?? ?? ??

2 ?π ? =-cos? -α ?=- . 3 ?6 ? π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 4.已知函数 f(x)=? ?x-15,x>2 000, ? 答案 -1 解析 ∵f[f(2 015)]=f(2 015-15)=f(2 000), 2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π =-1. 3 3

则 f[f(2 015)]=

.

题型一 同角三角函数关系的应用 3 例 1 (1)已知 cos(π +x)= ,x∈(π ,2π ),则 tan x= 5 sin α +3cos α 2 (2)已知 =5,则 sin α -sin α cos α 的值是 3cos α -sin α 4 2 答案 (1) (2) 3 5 3 3 解析 (1)∵cos(π +x)=-cos x= ,∴cos x=- . 5 5 又 x∈(π ,2π ), ∴sin x=- 1-cos x=- sin x 4 ∴tan x= = . cos x 3 sin α +3cos α tan α +3 (2)由 =5,得 =5, 3cos α -sin α 3-tan α 即 tan α =2,
2

. .

3 2 4 1-?- ? =- , 5 5

3

∴sin α -sin α cos α =

2

sin α -sin α cos α tan α -tan α 2 = = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 5

2

2

sin α 2 2 思维升华 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 = cos α tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1-sin α . 1+sin x 1 cos x (1)已知 =- ,那么 的值是 cos x 2 sin x-1 (2)已知 tan θ =2,则 sin θ cos θ = 1 2 答案 (1) (2) 2 5 1+sin x sin x-1 sin x-1 解析 (1)由于 · = =-1, 2 cos x cos x cos x 故 cos x 1 = . sin x-1 2
2 2 2 2 2 2 2 2



.

sin θ ·cos θ (2)sin θ cos θ = 2 2 sin θ +cos θ = tan θ 2 2 = 2 = . 2 tan θ +1 2 +1 5

题型二 诱导公式的应用 3 ?π ? ?5π -α ?的值; 例 2 (1)已知 cos? +α ?= ,求 cos? ? ?6 ? 3 ? 6 ? 7 ? 3 ? (2)已知 π <α <2π ,cos(α -7π )=- ,求 sin(3π +α )·tan?α - π ?的值. 2 ? 5 ? π π 5π 思维点拨 (1)将 +α 看作一个整体,观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α 的值,然后化简结论并代入求值.

?π ? ?5π -α ?=π , 解 (1)∵? +α ?+? ? 6 ? ? ? 6 ?
∴ 5π ?π ? -α =π -? +α ?. 6 ?6 ?

∴cos?

?5π -α ?=cos?π -?π +α ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

3 ?π ? =-cos? +α ?=- , 3 ?6 ?

4

即 cos?

?5π -α ? 6

?=- 3. ? 3 ?

(2)∵cos(α -7π )=cos(7π -α ) 3 =cos(π -α )=-cos α =- , 5 3 ∴cos α = . 5 7 ? ? ∴sin(3π +α )·tan?α - π ? 2 ? ?

? ?7 ?? =sin(π +α )·?-tan? π -α ?? ? ?2 ?? ?π ? =sin α ·tan? -α ? ?2 ? ?π sin? -α ?2 =sin α · ?π cos? -α ?2 ? ? ? ? ? ?

cos α 3 =sin α · =cos α = . sin α 5 思维升华 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系,并确定相应三角函数值的符号是解 题的关键.另外,切化弦是常用的规律技巧. π? 1 7π ? ? ? (1)已知 sin?α + ?= ,则 cos?α + ?的值为 12? 3 12 ? ? ? (2) 已 知 sin α 是 方 程 5x - 7x - 6 = 0 的 根 , α
2

. 是第三象限角,则

3 3 sin?-α - π ?cos? π -α ? 2 2 π π cos? -α ?sin? +α ? 2 2 = 1 答案 (1)- 3 9 (2)- 16

·tan (π

2



α )

.

π? π? 7π ? ?? ? 解析 (1)cos?α + ?=cos??α + ?+ ? 12? 2 ? 12 ? ? ?? π? 1 ? =-sin?α + ?=- . 12? 3 ? 3 2 (2)∵方程 5x -7x-6=0 的根为- 或 2, 5 3 又 α 是第三象限角,∴sin α =- , 5

5

4 2 ∴cos α =- 1-sin α =- , 5 3 - 5 sin α 3 ∴tan α = = = , cos α 4 4 - 5 cos α ?-sin α ? 9 2 2 ∴原式= ·tan α =-tan α =- . sin α ·cos α 16 题型三 三角函数式的求值与化简 例 3 (1)已知 α 为锐角, 且有 2tan(π -α )-3cos( +β )-1=0,则 sin α 的值是 . . π +β )+5=0, tan(π +α )+6sin(π 2

1 (2)已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = ,则 tan α = 5 3 10 4 答案 (1) (2)- 10 3 π 解析 (1)2tan(π -α )-3cos( +β )+5=0 化简为 2 -2tan α +3sin β +5=0,① tan(π +α )+6sin(π +β )-1=0 化简为 tan α -6sin β -1=0.② 由①②消去 sin β , 解得 tan α =3. 又 α 为锐角,根据 sin α +cos α =1, 3 10 解得 sin α = . 10 1 (2)因为 sin α +cos α = , 5 1 2 2 所以(sin α +cos α ) =1+2sin α ·cos α =( ) , 5 24 即 2sin α ·cos α =- , 25 24 49 2 所以(sin α -cos α ) =1-2sin α ·cos α =1+ = , 25 25 24 又 2sin α ·cos α =- <0,0<α <π , 25 所以 sin α >0,cos α <0,即 sin α -cos α >0,
2 2

6

故 sin α -cos α =

49 7 = , 25 5 4 sin α = , ? ? 5 得? 3 ? ?cos α =-5,

1 sin α +cos α = , ? ? 5 由? 7 ? ?sin α -cos α =5, 4 所以 tan α =- . 3

思维升华 在三角函数式的求值与化简中, 要注意寻找式子中的角, 函数式子的特点和联系, 可以切化弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简. 2 (1) 若 α 为三角形的一个内角,且 sin α + cos α = ,则这个三角形是 3 三角形(填“锐角”“直角”“钝角”). (2)已知 tan α =2,sin α +cos α <0, 则 sin?2π -α ?·sin?π +α ?·cos?π +α ? = sin?3π -α ?·cos?π -α ? .

2 5 答案 (1)钝角 (2)- 5 4 2 解析 (1)∵(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 9 5 ∴sin α cos α =- <0,∴α 为钝角. 18 ∴此三角形为钝角三角形. -sin α ·?-sin α ?·?-cos α ? (2)原式= =sin α , sin α ·?-cos α ? ∵tan α =2>0,∴α 为第一象限角或第三象限角. 又 sin α +cos α <0,∴α 为第三象限角, sin α 由 tan α = =2 , cos α 得 sin α =2cos α 代入 sin α +cos α =1, 2 5 解得 sin α =- . 5
2 2

分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用 典 例 : (1) 已 知 A = sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? + (k∈Z) , 则 A 的 值 构 成 的 集 合 sin α cos α
7





(2) 在△ABC 中,若 sin(2π - A) =- 2sin(π - B) , 3cos A =- 2cos(π - B) ,则 C = .

思维点拨 (1)角中含有整数 k,应对 k 是奇数还是偶数进行讨论;(2)利用同角三角函数基 本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行讨论. sin α cos α 解析 (1)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α

k 为奇数时,A=

-sin α cos α - =-2. sin α cos α

∴A 的值构成的集合是{2,-2}. ① ?sin A= 2sin B, (2)由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ② ① +② 得 2cos A=1,即 cos A=± 当 cos A= 2 3 时,cos B= , 2 2
2 2 2

2 , 2

又 A、B 是三角形的内角, π π ∴A= ,B= , 4 6 7 ∴C=π -(A+B)= π . 12 当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

3 5 又 A、B 是三角形的内角,∴A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 7 综上,C= π . 12 7 答案 (1){2,-2} (2) π 12 温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中, 体现了分类讨论思想, 即使讨论的某种情 况不合题意,也不能省略讨论的步骤;(2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘 及三角形内角和定理的应用.

方法与技巧

8

同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求三角 函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主 sin x 2 要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ ±cos θ ) cos x =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ = 1 ? 2 2 2 cos θ (1+tan θ )=sin θ ?1+ 2 ? tan θ 失误与防范 1. 利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤: 去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
2 2

?=tanπ =?. ? 4 ?

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 5 1.α 是第四象限角,tan α =- ,则 sin α = 12 5 答案 - 13 sin α 5 12 解析 ∵tan α = =- ,∴cos α =- sin α , cos α 12 5 又 sin α +cos α =1, 144 2 169 2 2 ∴sin α + sin α = sin α =1. 25 25 又 sin α <0,∴sin α =- 5 . 13 .
2 2

.

?π ? 1 ?2π +2α ?= 2.若 sin? -α ?= ,则 cos? ? 6 ? ? 3 ? 3 ?
7 答案 - 9

?π ? ?π ? π 解析 ∵? +α ?+? -α ?= , ?3 ? ?6 ? 2
9

?π ?π ?? ?π ? ∴sin? -α ?=sin? -? +α ?? ?? ?6 ? ?2 ?3 ?π ? 1 =cos? +α ?= . 3 ? ? 3
则 cos?

?2π +2α ?=2cos2?π +α ?-1=-7. ? ?3 ? 9 ? 3 ? ? ?
.

π 3.已知 sin(π -α )=-2sin( +α ),则 sin α ·cos α = 2 2 答案 - 5 π 解析 由 sin(π -α )=-2sin( +α )得 sin α =-2cos α , 2 所以 tan α =-2, sin α ·cos α tan α 2 所以 sin α ·cos α = = =- . 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5

sin?π -α ?·cos?2π -α ? ? 25π ?的值为 4.已知 f(α )= ,则 f?- ? 3 ? cos?-π -α ?·tan?π -α ? ? 答案 1 2



sin α cos α 解析 ∵f(α )= =cos α , -cos α ·?-tan α ?

? 25π ?=cos?-25π ? ∴f?- ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?
π? π 1 ? =cos?8π + ?=cos = . 3? 3 2 ? π 5.函数 y=3cos(x+φ )+2 的图象关于直线 x= 对称,则 φ 的取值是 4 π 答案 kπ - (k∈Z) 4 解析 ∵y=cos x+2 的对称轴为 x=kπ (k∈Z), π π ∴x+φ =kπ (k∈Z),即 x=kπ -φ (k∈Z),令 =kπ -φ (k∈Z)得 φ =kπ - (k∈Z). 4 4 6 . 如 果 = 答案 2 6 5 sin α = 1 , 且 5 . α 为 第 二 象 限 角 , 则 .

? 3π ? sin ? +α ? ? 2 ?

1 解析 ∵sin α = ,且 α 为第二象限角, 5
10

∴cos α =- 1-sin α =- ∴sin?

2

1 2 6 1- =- , 25 5

?3π +α ?=-cos α =2 6. ? 5 ? 2 ?
.

π 3 π 7.已知 α 为钝角,sin( +α )= ,则 sin( -α )= 4 4 4 答案 - 7 4

π 7 π 7 解析 由题意可得 cos( +α )=± ,又因为 α 为钝角,所以 cos( +α )=- ,所 4 4 4 4 π π π π 7 以 sin( -α )=cos[ -( -α )]=cos( +α )=- . 4 2 4 4 4 sin ?α +π ?·cos?π +α ?·cos?-α -2π ? 8.化简: = π 3 tan?π +α ?·sin ? +α ?·sin?-α -2π ? 2 答案 1 sin α ·?-cos α ?·cos α sin α cos α 解析 原式= = =1. 3 2 2 tan α ·cos α ·?-sin α ? sin α cos α 4 π 9.已知 sin θ = , <θ <π . 5 2 (1)求 tan θ 的值; sin θ +2sin θ cos θ (2)求 的值. 2 2 3sin θ +cos θ 9 2 2 2 解 (1)∵sin θ +cos θ =1,∴cos θ = . 25 π 3 又 <θ <π ,∴cos θ =- . 2 5 sin θ 4 ∴tan θ = =- . cos θ 3 sin θ +2sin θ cos θ tan θ +2tan θ 8 (2)由(1)知, = =- . 2 2 2 3sin θ +cos θ 3tan θ +1 57
2 3 π 10.已知 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根,求 cos ( -θ ) 2 3 π 3 3 2 2 +sin ( -θ )的值.(已知:a +b =(a+b)(a -ab+b )) 2 2 2 2 2 2 2 2

.

解 由已知原方程的判别式 Δ ≥0,即(-a) -4a≥0, ∴a≥4 或 a≤0.

2

11

?sin θ +cos θ =a, ? 又∵? ?sin θ cos θ =a, ?

∴(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ , 则 a -2a-1=0,从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因此 sin θ +cos θ =sin θ cos θ =1- 2.
3 π 3 π 3 3 ∴cos ( -θ )+sin ( -θ )=sin θ +cos θ 2 2 2

2

=(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1 π π 3 1.已知 sin θ =- ,θ ∈(- , ),则 sin(θ -5π )sin( π -θ )的值是 3 2 2 2 2 2 答案 - 9 1 π π 解析 ∵sin θ =- ,θ ∈(- , ), 3 2 2 2 2 2 ∴cos θ = 1-sin θ = . 3 ∴原式=-sin(π -θ )·(-cos θ )=sin θ cos θ 1 2 2 2 2 =- × =- . 3 3 9 π 2.已知 2tan α ·sin α =3,- <α <0,则 sin α = 2 答案 - 3 2
2

2

2



.

2sin α 解析 由 2tan α ·sin α =3 得, =3, cos α 即 2cos α +3cos α -2=0, π 又- <α <0, 2 1 解得 cos α = (cos α =-2 舍去), 2 故 sin α =- 3 . 2
2

3.已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2x-y=0 上,则

12

3π sin? +θ ?+cos?π -θ ? 2 = π sin? -θ ?-sin?π -θ ? 2 答案 2 解析 由题意可得 tan θ =2, -cos θ -cos θ -2 原式= = =2. cos θ -sin θ 1-tan θ

.

?π ? ?5π ? ?2π -θ ?的值是 4.已知 cos? -θ ?=a (|a|≤1),则 cos? +θ ?+sin? ? ?6 ? ? 6 ? ? 3 ?
答案 0 解析 cos?



?5π +θ ?=cos?π -?π -θ ?? ? ? ?6 ?? ? 6 ? ? ? ??

?π ? =-cos? -θ ?=-a. 6 ? ?
sin? π π ? ?2π -θ ?=sin?π +? ? -θ ? ??=cos? ? ? 6 -θ ?=a, ?2 ? ?6 ?? ? 3 ? ? ? ?

∴cos?

?5π +θ ? 6

?+sin?2π -θ ? ? 3 ? ?

?=0. ? ?

1 1 5.(1)已知 tan α = ,求 的值; 2 3 2sin α cos α +cos α 3π ? ? tan?π -α ?cos?2π -α ?sin?-α + ? 2 ? ? (2)化简: . cos?-α -π ?sin?-π -α ? 1 解 (1)因为 tan α = , 3 1 sin α +cos α 所以 = 2 2 2sin α cos α +cos α 2sin α cos α +cos α = tan α +1 2 = . 2tan α +1 3
2 2 2

-tan α ·cos α ·?-cos α ? (2)原式= cos?π +α ?·?-sin?π +α ?? sin α ·cos α tan α ·cos α ·cos α cos α = = =-1. -cos α ·sin α -sin α cos ?nπ +x?·sin ?nπ -x? 6.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
13
2 2

解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,

f(x)=
2

cos ?2kπ +x?·sin ?2kπ -x? 2 cos [?2×2k+1?π -x]
2

2

2



cos x·sin ?-x? 2 cos ?π -x?
2 2

cos x·?-sin x? = 2 ?-cos x? =sin x;
2

当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, cos [?2k+1?π +x]·sin [?2k+1?π -x] f(x)= 2 cos {[2×?2k+1?+1]π -x} = = = cos [2kπ +?π +x?]·sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2×?2k+1?π +?π -x?] cos ?π +x?·sin ?π -x? 2 cos ?π -x? ?-cos x? sin x 2 ?-cos x?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=sin x, 综上得 f(x)=sin x. π 503π (2)由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007 =sin =sin =sin
2 2

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π π 2 π +sin ( - ) 2 014 2 2 014 π 2 π +cos =1. 2 014 2 014

2

2

14


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