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【配套K12】高中数学人教A版选修1-2习题:第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1

最新 K12 教育

第三章

数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念
课时过关· 能力提升
基础巩固
1 有下列四个命题: ①方程 2x-5=0 在自然数集 N 中无解; ②方程 2x2+9x-5=0 在整数集 Z 中有一解,在有理数集 Q 中有两解; ③x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解; ④x4=1 在 R 中有两解,在复数集 C 中也有两解. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

3.1.1

解析 ①方程的解为 x

?N,故①正确;

②方程的解为 x1

∈Q,x2=-5∈Z?Q,故②正确;

③由 i2=-1,知 x=i 是方程 x2+1=0 在复数集 C 中的一个解,故③正确; ④x4=1 在复数集 C 中的解的个数为 4,故④不正确.

教案试题

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答案 C

2在2 A.0 B .1 C.2

这几个数中 纯虚数的个数为 D.3

解析 因为 2 个. 答案 C

为实数

为纯虚数,8+5i 为虚数,(1

为纯虚数,0.618 为实数,所以纯虚数只有 2

3 若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则 2x+y 的值为(

)

A

解析 由复数相等的充要条件知 故 2x+y=20=1. 答案 D

-

解得

-

则x+y=0.

4 若 z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有( A.m=±1 C.m=1 解析 ∵z 是纯虚数, B.m=-1 D.m≠1

)

解得

∴m=-1.故选 B. 答案 B

5 已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,其中 x,y∈R,则 x=

,y=

.

教案试题

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解析 ∵x,y∈R,∴根据两个复数相等的充要条件,

可得

-

解得

答案

6 若 4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a= -

.

解析 由题意,得

解得a=-4.

答案 -4

7 设 z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),当 m= 数. 解析 当 z 为实数时, 由 m2-2m-3=0,得 m=3 或 m=-1. -

时,z 为实数;当 m=

时,z 为纯虚

当 z 为纯虚数时,由

得m=6.

答案 3 或-1 6

8 已知 x2-y2+2xyi=2i,则有序实数对(x,y)= -

.

解析 由复数相等,得

解得



答案 (1,1)或(-1,-1)

9 若不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立,求实数 m 的值. 分析 由于题目中的两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此可列出关于 m 的式子,求出 m 的值.

教案试题

最新 K12 教育

解 由题意,得

-

或 即 或

故 m=3,即实数 m 的值为 3.

10 是否存在实数 m 使复数 z=(m2-m6)
-

为纯虚数 若存在 求出 的值 否则 请说明理由

分析 假设存在实数 m 使复数 z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问 题进行求解. 解 假设存在实数 m 使 z 为纯虚数,则 ① ② 由①,得 m=-2 或 m=3. 当 m=-2 时,②式左端无意义; 当 m=3 时,②式不成立. 故不存在实数 m 使 z 为纯虚数.

能力提升
1 设 C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集 U=C,则下列结论正确的是( A.A∪B=C C.A∩(?UB)=? B.?UA=B D.B∪(?UB)=C )

解析 由复数的分类可知选项 D 正确. 答案 D

2 若复数 z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ 教案试题

则 等于

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A.kπ(k∈Z) C.2kπ ∈Z)

B.2kπ D.2kπ

∈Z) ∈Z)

解析 由复数相等的定义,可知

∴cos θ 答案 D

∈Z,故选 D.

3 若复数 z

-

-

∈R)是纯虚数,则 ta

-

的值为

A.-7

B.



解析 因为复数 z 是纯虚数,所以满足实部为零,且虚部不为零,即

因为sin θ

且cos θ≠

所以 cos θ=

所以tan θ=

所以 ta

-

-

- -

答案 A

4 已知复数 z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析 若 a=1,则 z=-i 为纯虚数;若 z 为纯虚数,则 a=±1.所以“a=1”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件. 答案 A

5 设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),若 z 是纯虚数,则 m=

.

教案试题

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解析 ∵z 为纯虚数, -

-

或 且 答案 -1

6 已知复数 z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若 z1=z2,则 λ 的取值范围 是 .

解析 ∵z1=z2, 又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5]. 答案 [3,5]

θ.

7 已知实数 a,x,y 满足 a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是 .

解析 由复数相等的充要条件知 答案 (x-1)2+(y+1)2=2

-

消去a,得 x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.



8 定义运算

如果

-

求实数

的值

解 由定义运算



-

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为 x,y 为实数, -

所以有





9 已知关于 x,y 的方程组 ① ②

教案试题

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有实数解,求实数 a,b 的值. 分析 由复数相等的定义转化为实数方程组求解. - -

解 由①,得

解得

代入②,得(5+4a)-(10-4+b)i=9-8i,





教案试题

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