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高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习1 新人教A版必修2


(二)点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题 1. 【04 安徽·理】若二面角 ? ? l ? ? 为 120 ,直线 m ? ? ,则 ? 所在平面内的直线与 m 所成角的取值范围是 (A) (0 , 9 0 ]
0 0

0

(B)[30 ,60 ]

0

0

(C)[60 ,90 ]

0

0

(D)[30 ,90 ]

0

0

2. 【04 北京 ? 理】设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命 题: ①若 m ? ? , n / / ? ,则 m ? n ②若 ? / / ? , ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? ③若 m / / ? , n / / ? ,则 m / / n ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? 其中正确命题的序号是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 3. 【04 北京春招 ? 理】]一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍,则该圆锥的母线与底面所成 的角为 A. 3 0? B. 4 5? C. 6 0? D. 7 5? 4. 【04 北京春招 ? 理】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们 重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 A.
7 7 cm

B. 7 2 cm

C. 5 5c m

D. 1 0 2 c m

5. 【04 福建 ? 理】如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点,AB=2,BC=4, ∠ABC=60°,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 A.arcsin C.arcsin
3 6
3 3

B.arccos D.arccos

3 6
3 3

6. 【04 福建 ? 理】 已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列命题 ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β . 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 7. 【04 湖南 ? 理】把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体

用心

爱心

专心

16

积最大时,直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 A.90° B.60° C.45° D.30°

8. 【04 湖北 ? 理】已知平面 ? 与 ? 所成的二面角为 80°,P 为 ? 、 ? 外一定点,过点 P 的一 条直线与 ? 、 ? 所成的角都是 30°,则这样的直线有且仅有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 9. 【04 全国Ⅱ·理】已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距 离为
?
2

,则球心 O 到平面 ABC 的距离为
1 3

(A)

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

6 3

10. 【04 全国Ⅱ·文】正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 (A)75° (B)60° (C)45° (D)30° 11. 【04 全国Ⅳ·理】 对于直线 m、n 和平面 ? ,下面命题中的真命题是 A.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n 与 ? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n 12. 04 全国Ⅳ· 已知球的表面积为 20 ? , 【 理】 球面上有 A、 C 三点.如果 AB=AC=2, 2 3 , B、 BC= 则球心到平面 ABC 的距离为 A.1 B. 2 C. 3 D.2

13. 【04 上海·理】在下列关于直线 l、m 与平面 α 、β 的命题中,真命题是 (A)若 l ? β 且 α ⊥β ,则 l⊥α . (B) 若 l⊥β 且 α ∥β ,则 l⊥α . (C) 若 l⊥β 且 α ⊥β ,则 l∥α . (D) 若 α ∩β =m 且 l∥m,则 l∥α .
P 14.04 重庆· 设 P 是 6 0 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, A ? 平 面 ? , P B ? 平 面 ? , A , B 为 【 理】
?

垂足, P A ? 4, P B ? 2, 则 AB 的长为
2 3 2 5 2 7 4 2 A B C D 15. 【04 重庆·文】不同直线 m , n 和不同平面 ? , ? ,给出下列命题:

① ③

? // ? ?

? ? m // ? m ??? m ??? ? ? m , n异 面 n ? ? ?

② ④

m // n ? ? ? n // ? m // ? ?

? ? ??

?? m ? ? m // ? ?

其中假命题有 A 0个

B

1个

C

2个

D 3个

16. 【04 天津·理】如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中 心,E、F 分别是 CC 1 、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于
用心 爱心 专心 17

A.

10 5

B.

15 5

C.

4 5

D.

2 3

D1 A1 B1

C1

P
E

D A F O B

A
C

?

B C

17. 【04 天津·文】如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ? , PB ? ? ,C 是 ? 内异 于 A 和 B 的动点,且 PC ? AC 那么,动点 C 在平面 ? 内的轨迹是 A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点 18. 【04 浙江·理】如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=.1, 若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α ,则 α = (A)
?
3

(B)
10 4

?
4

C1 A1
6 4

B1 D

(C) arcsin

(D) arcsin

C A

B

19. 【04 重庆·理】若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的 距离相等,则动点 P 的轨迹与 ? A B C 组成图形可能是 A A

P B C B

P C

A

A

P B C B

P

C

二、填空题 1. 【04 辽宁】如图,四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形, D1
用心 爱心 专心

C1 B1 C
18

A1 D B

A

侧棱与底面边长均为 2a,且 ? A1 AD ? ? A1 AB ? 60 ? ,则侧棱 AA1 和截面 B1D1DB 的距 离是 .

2. 【04 全国Ⅰ·理】已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在α 上的射 影有可能是 ①两条平行直线 ③同一条直线 在一面结论中,正确结论的编号是 ②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点 (写出所有正确结论的编号).

3. 【04 全国Ⅱ·理】下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号). 4. 【04 全国Ⅲ·理】 用平面 ? 截半径为 R 的球,如果球心到截面的距离为
R 2

,那么截得

小圆的面积与球的表面积的比值为__________ 5. 浙江· 已知平面 α 和平面交于直线 l , 是空间一点, 【04 理】 P PA⊥α , 垂足为 A, PB⊥β , 垂足为 B,且 PA=1,PB=2,若点 A 在 β 内的射影与点 B 在 α 内的射影重合,则点 P 到 l 的距离为 6. 【04 浙江·文】已知平面 α ⊥β , ? ? ? = l ,P 是空间一点,且 P 到 α 、β 的距离分 别是 1、2,则点 P 到 l 的距离为

三、计算题 1. 【04 广东】如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. D1 C1 (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.
A1 B1

[解](I)以 A 为原点, AB , AD , AA 1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系, 则 有 D(0,3,0) 、 D1(0,3,2) 、 E(3,0,0) 、
用心 爱心
A 专心 D F B C

E

19

F(4,1,0)、C1(4,3,2)

于是, DE ? ( 3 , ? 3 , 0 ), EC 1 ? (1, 3 , 2 ), FD 1 ? ( ? 4 , 2 , 2 ) 设向量 n ? ( x , y , z ) 与平面 C1DE 垂
? ???? n ? DE ? 3x ? 3 y ? 0 ? 1 ? 直,则有 ? ???? ? ? ? ?? x ? y ? ? z x ? 3y ? 2z ? 0? 2 n ? E C1 ? ?
? z z z ? n ? ( ? , ? , z ) ? ( ? 1, ? 1, 2 ), 其 中 z ? 0 2 2 2 ?? ? ?? ? 取 n 0 ? ( ? 1, ? 1, 2 ), 则 n 0 是 一 个 与 平 面 C 1 D E 垂 直 的 向 量 ,
???? ? 向 量 A A1 ? ( 0 , 0 , 2 ) 与 平 面 C D E 垂 直 , ?? ???? ? ? n 0 与 A A1 所 成 的 角 ? 为 二 面 角 C ? D E ? C 1的 平 面 角

?? ???? ? n 0 ? A A1 ? ????? ? ? c o s ? ? ??? | n 0 | ? | A A1 |

?1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 1?1? 4 ? 0?0?4

?

6 3

? ta n ? ?

2 2

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则
cos ? ? EC | EC
1 1

? FD 1 |? | FD 1 |

?
2

1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 1 ?3
2

?
2

21 14

? 2

2

?

(?4)

2

? 2

? 2

2

2. 【04 江苏】 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. D1 C1 (Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小 (结 O · 果用反三角函数值表示) ; A1 B1 (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H · H ⊥AP; P (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离. [解] (1) ? A P B ? a rc ta n (2)略 (3)
4 17
D

17
A B

C

3 2

2

3. 【04 上海 ? 春季】
PM ? BB 1 交 AA 1 于点 M

如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的侧棱 BB 1 上一点,
A B P

,PN ? BB 1 交 CC 1 于点 N .

(1) 求证: CC 1 ? MN ; (2) 在 任 意 ? D E F 中 有 余 弦 定 理 : . 拓展到 空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个 侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系 式,并予以证明.
DE
2

? DF

2

? EF

2

? 2 DF ? EF cos ? DFE

C M

A1 B1 C1

N

用心

爱心

专心

20

[解]

(1) 证: ? CC 1 // BB 1 ?

CC 1 ? PM , CC 1 ? PN , ? CC 1 ? 平面 PMN ? CC 1 ? MN


cos ?

(2) 解:在斜三棱柱 ABC

? A1 B 1 C 1

中,有

2 S ABB A 1 1

?

2 S BCC B 1 1

?

2 S ACC A 1 1

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

1 A1



其中 ? 为 平面 CC 1 B1 B 与平面 CC 1 A1 A 所组成的二面角. ? CC 1 ? 平面 PMN , ? 上述的二面角为 ? MNP , 在 ? PMN 中, PM
PM
2
2

? PN

2

? MN
2 2
1

2

? 2 PN ? MN cos ? MNP ?

CC

2
1

? PN CC

2

2
1

? MN CC

? 2 ( PN ? CC
1 1 A1

) ? ( MN ? CC
1

) cos ? MNP ? PM ? BB 1

, ,

由于 S BCC 1 B 1
? 有 S ABB
2
1 A1

? PN ? CC
1

, S ACC
2
1 A1

? MN ? CC
1

, S ABB
1 A1

1 A1

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

cos ?

.

? 4. 辽宁】 已知四棱锥 P—ABCD, 【04 底面 ABCD 是菱形, DAB ? 60 ? , PD ? 平面 ABCD,

PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点. (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值. 【解】 本小题主要考查空间中的线面关系, 四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识, 考查空间想象能力和推理能力。 (1)证明:连接 BD.
? E 是 AB 中点,

? AB ? AD , ? DAB ? 60 ? ,? ? ADB 为等边三角形.
? AB ? DE . ? AB ? PD .

? PD ? 面 ABCD,AB ? 面 ABCD,

? DE ? 面 PED,PD ? 面 PED, DE ? PD ? D ,? AB ? 面 PED.
? AB ? 面 PAB,? 面 PED ? 面 PAB.

P F D A E B C A E

P F D C B

(2)解:? AB ? 平面 PED,PE ? 面 PED,? AB ? PE . 连接 EF,? EF ? PED,? AB ? EF . ? ? PEF 为二面角 P—AB—F 的平面角. 设 AD=2,那么 PF=FD=1,DE= 3 .
( 7) ? 2
2 2

在 ? PEF 中 , PE ?

7 , EF ? 2 , PF ? 1,

? cos ? PEF ?

?1

2?2 7

?

5 7 14

,

用心

爱心

专心

21

即二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值为

5 7 14

.

5. 【04 安徽·理】 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长均为 a,侧面 A1ACC1 ⊥底面 ABC,A1B=
6 2

a,

(Ⅰ)求异面直线 AC 与 BC1 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:A1B⊥面 AB1C. [解] (Ⅰ)
10 5

; (Ⅱ)略.

6. 【04 北京 ? 文】 如图,在正三棱柱 A B C ? A 1 B 1 C 1 中,AB=2, A A 1 ? 2 ,由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 A A 1 到顶点 C 1 的最短路线与 A A 1 的交点记 为 M,求: (I)三棱柱的侧面展开图的对角线长 (II)该最短路线的长及
A1 M AM

A1 M A B B1 C

C1

的值

(III)平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小

[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力 (I)正三棱柱 A B C ? A 1 B 1 C 1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形 其对角线长为 6 ? 2
2 2

? 2 10

A1 M B1

(II)如图,将侧面 A A 1 B 1 B 绕棱 A A 1 旋转
1 2 0 使其与侧面 A A 1 C 1 C 在同一平面上,点 B 运
?

C1

动到点 D 的位置, 连接 D C 1 交 A A 1 于 M, D C 1 就 则 是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 A A 1 到顶点 C1 的最 短路线,其长为
DC
2

D

A B

C

? C C1

2

?

4

2

?2

2

? 2 5

? ? D M A ? ? C 1 M A1 ,

? A M ? A1 M



A1 M AM

? 1

(III)连接 DB, C 1 B ,则 DB 就是平面 C 1 M B 与平面 ABC 的交线

用心

爱心

专心

22

在 ?DCB 中
? ? D BC ? ? C BA ? ? ABD ? 60 ? 30 ? 90 ? C B ? D B
? ? ?

又 C1C ? 平 面 C B D

由三垂线定理得 C 1 B ? D B

? ? C 1 B C 就是平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)
? 侧面 C 1 B 1 B C 是正方形

? ? C1 BC ? 45
?

?

故平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)为 4 5

7. 【04 北京春招 ? 理】 如图,四棱锥 S ? A B C D 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直 于底面 ABCD, S B ?
3

(I)求证 B C ? S C ; (II)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (III)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 [解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基 本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 (I)证明:如题图 ? BC?DC ? 底面 ABCD 是正方形 ? S D ? 底面 ABCD ? DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影 由三垂线定理得 B C ? S C (II)解 ? S D ? 底面 ABCD,且 ABCD 为正方形
? 可以把四棱锥 S ? A B C D 补形为长方体 A 1 B 1 C 1 S ? A B C D ,如图 2

面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 A D S A 1 与面 B C S A 1 所成的二面角,
? S C ? B C , B C // A1 S ? S C ? A1 S

又 S D ? A1 S

? ? C S D 为所求二面角的平面角

在 R t ? S C B 中,由勾股定理得 S C ?
? ? C S D ? 4 5?

2

在 R t ? S D C 中,由勾股定理得 S D ? 1

即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 4 5?

用心

爱心

专心

23

(III)解:如图 3

? S D ? A D ? 1, ? S D A ? 9 0 ?

? ? S D A 是等腰直角三角形

又 M 是斜边 SA 的中点

? D M ? S A ? B A ? A D, B A ? S D, A D ? S D ? D
? B A ? 面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射影

由三垂线定理得 D M ? S B

? 异面直线 DM 与 SB 所成的角为 9 0?

8. 【04 福建 ? 理】 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平 面 ABC,SA=SC=2 3 ,M、 分别为 AB、 的中点. N SB (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离. [解] 本小题主要考查直线与直线,直线与 平 面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想 象能力和逻辑推理能力. 解法一: (Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 SD、DB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 SDB,又 SB ? 平面 SDB, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵AC⊥平面 SDB,AC ? 平面 ABC, ∴平面 SDB⊥平面 ABC. 过 N 作 NE⊥BD 于 E,NE⊥平面 ABC, 过 E 作 EF⊥CM 于 F,连结 NF,则 NF⊥CM. ∴∠NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面 ABC. 又∵NE⊥平面 ABC,∴NE∥SD. ∵SN=NB,∴NE=
1 2

SD=

1 2

SA

2

? AD

2

=
1 4

1 2

12 ? 4 =
1 2

2 ,且 ED=EB.
EN EF

在正△ABC 中,由平几知识可求得 EF=

MB=

,在 Rt△NEF 中,tan∠NFE=

=2 2 ,

∴二面角 N—CM—B 的大小是 arctan2 2 . (Ⅲ)在 Rt△NEF 中,NF= EF
2

? EN

2

=

3 2



用心

爱心

专心

24

∴S△CMN=

1 2

CM·NF=

3 2

3 ,S△CMB=

1 2

BM·CM=2 3 .

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h, ∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面 CMB,∴
S ? CMB ? NE S ? CMN
4 3 2
1 3

S△CMN·h=

1 3

S△CMB·NE,
4 3 2

∴h=

=

.即点 B 到平面 CMN 的距离为

.

解法二: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0) ,B(0,2 3 ,0) ,C(-2,0,0) , S(0,0,2 2 ) ,M(1, 3 ,0),N(0, 3 , 2 ). ∴ AC =(-4,0,0) B =(0,2 3 ,2 2 ) ,S , ∵ AC · SB =(-4,0,0)(0,2 3 ,2 2 )=0, · ∴AC⊥SB. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM =(3, 3 ,0) MN =(-1,0, 2 ).设 n=(x,y,z)为 , 平面 CMN 的一个法向量,
CM ·n=3x+
3 y=0,

则取 z=1,则 x= 2 ,y=- 6 ,
MN ·n=-x+

2 z=0,

∴n=( 2 ,- 6 ,1), 又 OS =(0,0,2 2 )为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos(n, OS )=
n ? OS | n | ? | OS |

=

1 3

.
1 3

∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos

.

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 MB =(-1, 3 ,0) ,n=( 2 ,- 6 ,1)为平面 CMN 的 一个法向量,
用心 爱心 专心

25

∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

| n· MB | |n|

=

4 3

2

.

9. 【04 湖北 ? 理】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点. C1 D1 (I)试确定点 F 的位置,使得 D1E⊥平面 AB1F; (II)当 D1E⊥平面 AB1F 时,求二面角 C1—EF—A 的大 A1 B1 小(结果用反三角函数值表示). [解] 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知 识, D C F 考查空间想象能力和推理运算能力. E A B 解法一: (I)连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A; 内的射影 C1 D1 ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1, 于是 D1E⊥平面 AB1F ? D1E⊥AF. A1 B1 连结 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影. ∴D1E⊥AF ? DE⊥AF. D C ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点. F E ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, A B 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F. (II)当 D1E⊥平面 AB1F 时,由(I)知点 F 是 CD 的中点. 又已知点 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF∥BD. 连结 AC, 设 AC 与 EF 交于点 H,则 CH⊥EF,连结 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影. C1H⊥EF,即∠C1HC 是二面角 C1—EF—C 的平面角. 在 Rt△C1CH 中,∵C1C=1,CH=
1 4

AC=

2 4

, ∴tan∠C1HC=

C 1C CH

?

1 2 4

? 2

2 .

∴∠C1HC=arctan 2 2 ,从而∠AHC1= ? ? arctan 2 2 . 故二面角 C1—EF—A 的大小为 ? ? arctan 2 2 . 解法二:以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设 DF=x,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,D(0,1,0) , A1(0,0,1) ,B(1,0,1) 1(0,1,1) (1, ,D ,E
? D 1 E ? (1, ? 1 2 , ? 1), AB 1 ? (1, 0 ,1 ), AF ? ( x ,1, 0 )
1 2 , 0 ) ,F(x,1,0)

? D 1 E ? AB 1 ? 1 ? 1 ? 0 , 即 D 1 E ? AB 1 于是 D 1 E ? 平面 AB 1 F ? D 1 E ? AF ? D 1 E ? AF ? 0 ? x ? 即x ? 1 2
用心

1 2

? 0

.故当点 F 是 CD 的中点时

, D 1 E ? 平面 AB 1 F
爱心 专心 26

(1)当 D1E⊥平面 AB1F 时,F 是 CD 的中点,又 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF∥BD. 连结 AC,设 AC 与 EF 交于点 H,则 AH⊥EF. 连结 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射 影. ∴C1H⊥EF,即∠AHC1 是二面角 C1—EF—A 的平面角.
? C 1 (1,1,1), H ( 3 3 , , 0 ), 4 4 ???? ? ??? ? 1 1 3 3 ? H C 1 ? ( , ,1), H A ? ( ? , ? , 0 ). 4 4 4 4

??? ???? ? ? H A ? H C1 ? ????? ? ? ? co s ? A H C 1 ? ??? | H A | ? | H C1 |

? 9 8

3 8 ? ? 9 8
1 3

1 3

?

即 ? AHC 故二面角

1

? arccos( ?

1 3

) ? ? ? arccos

. 1 3
0

C 1 ? EF ? A 的大小为

? ? arccos

.

10. 【04 湖南 ? 理】 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=a, PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (I)证明 PA⊥平面 ABCD; (II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF//平面 AEC?证明你的结论. [解] (Ⅰ)证明 因为底面 ABCD 是菱形, ∠ABC=60°,所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 2 2 2 2 由 PA +AB =2a =PB 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解 作 EG//PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角.

P

E A B P C D

E A B H
3 3

G C

D

又 PE : ED=2 : 1,所以 EG ? 从而
tan ? ? EG GH ? 3 3 ,

1 3

a , AG ?

2 3

a , GH ? AG sin 60 ? ?

a.

? ? 30 ? .

(Ⅲ)解法一 以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为
A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 3 2 a ,? 1 2
2 3 a, 1 3

a , 0 ), C (

3 2

a,

1 2

a , 0 ).

z P

D ( 0 , a , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E ( 0 ,

a ).

F
用心 爱心 专心

E D C y
27

A x

B

所以 AE ? ( 0 ,

2 3

a,

1 3

a ), AC ? ( 3 2 1 2

3 2

a,

1 2

a , 0 ).

AP ? ( 0 , 0 , a ), PC ? ( BP ? ( ? 3 2 1 2

a,

a , ? a ).

a,

a , a ). 3 2 a? , 1 2 a ? ,? a ? ) a ? , ? a ? ), 其中 0 ? ? ? 1, 则

设点 F 是棱 PC 上的点, PF ? ? PC ? (
BF ? BP ? PF ? ( ? ? ( 3 2 a ( ? ? 1), 1 2 3 2 a, 1 2 a, a) ? ( 3 2 a? ,

1 2

a (1 ? ? ), a (1 ? ? )).

令 BF ? ? 1 AC ? ? 2 AE
? ?? ? 1 ? ?1 , ? 4 ? 即 ?1 ? ? ? ? 1 ? ? 2 , 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 2 . 3 ?



? 3 3 a ( ? ? 1) ? a?1 , ? 2 2 ? 1 2 ?1 ? a (1 ? ? ) ? a ? 1 ? a ? 2 , 2 3 ?2 1 ? ? a (1 ? ? ) ? a ? 2 . 3 ?

解得

? ?

1 2

, ?1 ? ?

1 2

,?2 ?

3 2

.

即 ? ?

1 2

时, BF ? ?

1 2

AC ?

3 2

AE .

亦即,F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又 BF ? 平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC. 解法二 当 F 是棱 PC 的中点时,BF//平面 AEC,证明如下, 证法一 取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM//CE. ① 由
EM ? 1 2 PE ? ED , 知 E 是 MD 的中点.

P M F A B O C E D

连结 BM、BD,设 BD ? AC=O,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM//OE. ② 由①、②知,平面 BFM//平面 AEC. 又 BF ? 平面 BFM,所以 BF//平面 AEC. 证法二 因为
BF ? BC ? 1 2 CP ? AD ? 1 2 ( CD ? DP )

???? 1 ???? 3 ???? ???? 1 ???? ???? ? ? 1 ???? 3 ??? ???? 3 ??? ? AD ? CD ? DE ? AD ? ( AD ? AC ) ? ( AE ? AD ) ? AE ? AC . 2 2 2 2 2 2

所以 BF 、 AE 、 AC 共面. 又 BF ? 平面 ABC,从而 BF//平面 AEC. 11.04 全国Ⅱ· 【 理】 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90 ,AC=1,CB= 2 ,侧棱 AA1=1, 侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D, 1C1 的中点为 M. B (Ⅰ)求证:CD⊥平面 BDM; (Ⅱ)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.
用心 爱心 专心 28
o

[解] 解法一:(I)如图,连结 CA1、AC1、CM,则 CA1= ∵CB=CA1= 2 ,∴△CBA1 为等腰三角形, 又知 D 为其底边 A1B 的中点,∴CD⊥A1B, ∵A1C1=1,C1B1= 2 ,∴A1B1= 3 , 又 BB1=1,∴A1B=2,
1 2

2



∵△A1CB 为直角三角形,D 为 A1B 的中点,CD= A1B=1,CD=CC1 又 DM= AC1=
2 1
2 2

,DM=C1M,∴△CDN≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即 CD⊥DM,

因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD⊥平面 BDM
A
A A'

A'

A

A'

D

D
C M B B' C'

C

D C'

C M B B'

C'

F B

G B'

M

(II)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点,连结 B1G、FG、B1F, 则 FG∥CD,FG= CD∴FG= ,FG⊥BD.
2 2 1 1 1

由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D,知 BD=B1D= A1B=1,
2

所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形,于是 B1G⊥BD,B1G= ∴∠B1GF 是所求二面角的平面角 又 B1F =B1B +BF =1+(
B 1G
2

3 2



2

2

2

2 2

)= .
2
2

2

3

z

∴cos∠B1GF=

? FG

? B1 F

2

( ?

3 2

) ? (
2

1 2

) ?
2

3 2 ? ? 3 3
A A'

2 B 1 G ? FG

2?

3 2

?

1 2

即所求二面角的大小为π -arccos

3 3
F B

D C G B' C' M y

解法二:如图以 C 为原点建立坐标系 (I):B( ), M(
2 2

2

,0,0),B1(

2

,1,0),A1(0,1,1),D(

2 2

,

1 2

,

1 2
X

,1,0), CD
1 1 2 2

?

(

2 2

, , ), A B
2 2
1

1

1

?

(

2

,-1,-1),

DM ?

(0, ,- ), CD

? A1 B ? 0 , CD ? DM ? 0 ,

∴CD⊥A1B,CD⊥DM. 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线, 所以 CD⊥平面 BDM (II):设 BD 中点为 G, 连结 B1G, G ( 则 ∴ BD
? B1G ? 0

3 2 4

,

1 1 , ), BD ? 4 4
1

(-

2 2

, , ),B G
2 2
1

1

1

? (?

2 4

,?

3 1 , ), 4 4

,∴BD⊥B1G,又 CD⊥BD,∴ CD 与 B G 的夹角 ? 等于所求二面角的平面角,

用心

爱心

专心

29

cos ?

?

CD ? B 1 G | CD | ? | B 1 G |

? ?

3 3

.

所以所求二面角的大小为π -arccos

3 3

12. 【04 全国Ⅲ·理】 三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3. (1)求证 AB⊥BC ;
P

(II)如果 AB=BC=2 3 ,求 AC 与侧面 PAC 所成 角的大小.
A B C

[解]

⑴证明:取 AC 中点 O, 连结 PO、BO.
P

∵PA=PC ∴PO⊥AC 又∵侧面 PAC⊥底面 ABC ∴PO⊥底面 ABC 又 PA=PB=PC ∴AO=BO=CO ∴△ABC 为直角三角形 ∴AB⊥BC ⑵解: BC 的中点为 M, 取 连结 OM,PM, 所以有 OM= ∴ PO ?
PA ? AO
2 2

N A O M B C

1 2

AB= 3 , AO=

1 2

(2 3 ) ? (2 3 )
2

2

?

6

?

3

由⑴有 PO⊥平面 ABC,OM⊥BC,由三垂线定理得 PM⊥BC ∴平面 POM⊥平面 PBC,又∵PO=OM= 3 . ∴△POM 是等腰直角三角形,取 PM 的中点 N,连结 ON, NC 则 ON⊥PM, 又∵平面 POM⊥平面 PBC, 且交线是 PM, ∴ON⊥平面 PBC ∴∠ONC 即为 AC 与平面 PBC 所成的角.
ON ? 1 2 PM ? 1 2 (2 3 ) ? (2 3 )
2 2

?

6 2

,OC ?

6

∴ s in ? O N C ?

ON OC

?

1 2

∴?ONC ?
?
6

?
6

.

故 AC 与平面 PBC 所成的角为

.

13. 【04 全国Ⅳ·理】 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 , 侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角为 60°.
用心 爱心 专心

P D A B C
30

(Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD.

[解] 本小题主要考查棱锥的体积、 二面角、 异面直线所成的角等知识和空间想象能力、 分析问题能力. (Ⅰ)如图 1,取 AD 的中点 E,连结 PE,则 PE⊥AD. z 作 PO⊥平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD, P 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, D 由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6, C 所以 PO=3 3 ,四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD= ? 8 ? 4 3 ? 3 3 ? 96 .
3 1

A

E
x

O
图1

B

y

(Ⅱ)解法一:如图 1,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0,0,3 3 ) ,A(2 3 ,-3,0) ,B(2 3 ,5,0) ,D(-2 3 ,-3,0) 所以 PA ? ( 2 3 , ? 3 , ? 3 3 ), BD ? ( ? 4 3 , ? 8 , 0 ).

P
因为 PA ? BD ? ? 24 ? 24 ? 0 ? 0 , 所以 PA⊥BD. 解法二:如图 2,连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算可 得 EO=3, AE=2 3 , 又知 AD=4 3 , AB=8, 得
EO AE ? AD AB

D E

.

A

F O

C B
所 以

图2

Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以 PA⊥BD. 14. 如图,P-ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长 PA、PB、PC 上的点, 截面 DEF∥底面 ABC, 且棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之 和) (1) 证明:P-ABC 为正四面体; (2) 若 PD=
1 2

PA, 求二面角 D-BC-A 的

大小;(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台 DEF-ABC 的体积为 V, 是 否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面体,使 得它与棱台 DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具 体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明; 若不 存在,请说明理由. 【证明】 (1) ∵棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.

用心

爱心

专心

31

又∵截面 DEF∥底面 ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体. 【解】(2)取 BC 的中点 M,连拉 PM,DM.AM. ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面 PAM,BC⊥DM, 则∠DMA 为二面角 D-BC-A 的平面角. 由(1)知,P-ABC 的各棱长均为 1, ∴PM=AM=
3 2 AD AM 3 3 3 3

,由 D 是 PA 的中点,得

sin∠DMA=

?

,∴∠DMA=arcsin

.

(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台 DEF-ABC 的棱长和为定值 6,体积为 V. 设直平行六面体的棱长均为
1 2

,底面相邻两边夹角为 α ,
1 8

则该六面体棱长和为 6, 体积为
2 12

sinα =V.
2 12

∵正四面体 P-ABC 的体积是
1 2

,∴0<V<

,0<8V<1.可知 α =arcsim(8V)故构造棱长均为

,底面相邻两边夹角为 arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.

15. 【04 天津·理】 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小

【解】 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间 想象能力和推理论证能力 方法一:

用心

爱心

专心

32

(1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点 在 ? PAC 中,EO 是中位线, ∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,所以,PA // 平面 EDB (2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ? PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC ? DE ② 由①和②推得 DE ? 平面 PBC 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD (3)解:由(2)知, PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角 由(2)知, DE ? EF , PD ? DB 设正方形 ABCD 的边长为 a,则 PD ? DC ? a , BD ?
PB ?
1 2

2a
2

PD

2

? BD
2 2

2

?

3a ,

PC ?

PD

2

? DC

?

2a

DE ?

PC ?

a

在 Rt ? PDB 中, DF ?

PD ? BD PB

?

a?

2a 3a

?

6 3

a

2

在 Rt ? EFD 中, sin EFD ?

DE DF

a ? a

?

2 6 3

3 2

,∴ ? EFD ?

?
3

所以,二面角 C—PB—D 的大小为

?
3

方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC ? a (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG 依题意得 A ( a , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E ( 0 ,
a 2 , a 2 )

z P F D
为( ,
2 a a 2 , 0) 且

∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标
PA ? ( a , 0 , ? a ), EG ? ( a 2 , 0, ? a 2 )

E

∴ PA ? 2 EG ,这表明 PA//EG

C y G
33

用心

爱心

专心

A x

B

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,∴PA//平面 EDB

(2)证明;依题意得 B ( a , a , 0 ) , PB ? ( a , a , ? a )

又 DE ? ( 0 ,

a 2

,

a 2

) ,故 PB ? DE ? 0 ?

a

2

?

a

2

? 0

∴ PB ? DE

2

2

由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E ,所以 PB ? 平面 EFD (3)解:设点 F 的坐标为 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , PF ? ? PB , 则 ( x 0 , y 0 , z 0 ? a ) ? ? ( a , a , ? a ) 从而 x 0 ? ? a , y 0 ? ? a , z 0 ? (1 ? ? ) a 所以 FE ? ( ? x 0 ,
a 2 ? y0 , a 2 ? z 0 ) ? (? ?a, ( 1 2 ? ? )a , (? ? 1 2 )a )

由条件 EF ? PB 知, FE ? PB ? 0 ,即
? ?a
2

?(

1 2

? ? )a

2

? (? ? ,
a 6

1 2 2a 3

)a

2

? 0 ,解得 ? ?

1 3

∴点 F 的坐标为 (
FE ? ( ? a 3 , a 6
a

a 3

a 3

,

) ,且
a 3 , ? a 3 , ? 2a 3 )

, ?
2

) , FD ? ( ?
2 2

∴ PB ? FD ? ?

?

a

?

2a 3

? 0

3

3

即 PB ? FD ,故 ? EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角 ∵ FE ? FD ?
a
2

?

a

2

?

a

2

?

a

2

,且

9
a
2

18
2

9
2

6
6 6 a
2

| FE | ?

?

a

?

a

?

a , | FD | ?

?

a

2

?

4a 9

2

?

6 3

a,

9

36

36

9

9

a

2

∴ cos EFD ?

FE ? FD | FE || FD |

? 6 6

6 a? 6 3 a

?

1 2

∴ ? EFD ?

?
3

所以,二面角 C—PB—D 的大小为

?
3

用心

爱心

专心

34

16 . 【04 天津·文】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC , E 是 PC 的中点 P (1)证明 PA // 平面 EDB; (2)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值

E C D A B

【解】 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力 和推理论证能力 方法一: (1)证明:连结 AC、AC 交 BD 于 O 连结 EO ∵ 底面 ABCD 是正方形 ∴ 点 O 是 AC 的中点 在 ? PAC 中,EO 是中位线 ∴ PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB ,所以, PA // 平面 EDB / (2)解:作 EF ? DC 交 CD 于 F 连结 BF,设正方形 ABCD 的边长为 a ∵ PD ? 底面 ABCD ∴ PD ? DC ∴ EF // PD F 为 DC 的中点 ∴ EF ? 底面 ABCD,BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影,故 ? EBF 为直线 EB 与底 面 ABCD 所成的角 在 Rt ? BCF 中, BF ?
BC
2

? CF

2

?

a

2

?(

a 2

)

2

?

5 2

a

a

∵ EF ?

1 2

PD ?

a 2

∴ 在 Rt ? EFB 中 tan EBF ?

EF BF

?

2 5 2 a

?

5 5

所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为

5 5

P
方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐 标原点设 DC ? a (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G 连结 EG 依题 意得 A ( a , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , a ) ,
E (0 , a 2 , a 2 a 2 a 2 , ) a 2 , 0) )

E C D F O A B

∵ 底面 ABCD 是正方形

∴ G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 ( ∴ PA ? ( a , 0 , ? ? ) ∴ PA ? 2 EG
EG ? ( a 2 ,0 ,?

这表明 PA // EG
用心 爱心 专心 35

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB /

∴ PA // 平面 EDB

(2)解:依题意得 B ( a , a , 0 ) , C ( 0 , a , 0 ) 取 DC 的中点 F ( 0 , ∵
FE ? ( 0 , 0 ,
a 2 , 0)

连结 EF,BF
a 2

a 2

z
, 0) ,

) , FB ? ( a ,

P E


DC ? ( 0 , a , 0 )

y C F G A x B



FE ? FB ? 0 , FE ? DC ? 0

FE ? FB , FE ? DC

∴ EF ? 底面 ABCD, 为 BE 在底面 ABCD 内 BF 的射影,故 ? EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所 成的角

D

a

在 Rt ? EFB 中, FE ?

a 2

, FB ?

a

2

?(

a 2

)

2

?

5 2

a ∴ tan EBF ?

FE FB

?

2 5 2 a

?

5 5

所以,EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为

5 5

17. 【04 浙江·理】

如图,已知正方形 ABCD
E M F C D B A

和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2 , AF=1, M 是线段 EF 的中点 (Ⅰ)求证 AM∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A—DF—B 的大小; 【解】 方法一 (Ⅰ)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE ∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE
E M F C D O B A D C

E M F

S
O A

B

用心

爱心

专心

36

(Ⅱ)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S,连结 BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, AD ? AF ? A , ∴AB⊥平面 ADF, ∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影,由三垂线定理得 BS⊥DF ∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角 在 RtΔ ASB 中, AS ?
6 3 , AB ? 2,

∴ tan ? ASB ?

3 , ? ASB ? 60 ? ,

∴二面角 A—DF—B 的大小为 60? (Ⅲ)设 CP=t(0≤t≤2),作 PQ⊥AB 于 Q,则 PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF, AB ? AF ? A , ∴PQ⊥平面 ABF, QE ? 平面 ABF, 在 RtΔ PQF 中,∠FPQ=60?,PF=2PQ ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形, PQ ?
2 2 ( 2 ? t ).

∴PQ⊥QF

又∵Δ PAF 为直角三角形,
2 2

∴ PF ?

(2 ? t ) ? 1 ,
2

∴ (2 ? t) ? 1 ? 2 ?
2

( 2 ? t ).

所以 t=1 或 t=3(舍去)

即点 P 是 AC 的中点 方法二 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系 设 AC ? BD ? N ,连接 NE, 则点 N、E 的坐标分别是(
2 2 , 2 2 ,0 ) 、 (0,0,1),
C D N

E M F B A

???? ∴ N E =( ?

2 2

,?

2 2

,1 ) ,

又点 A、 的坐标分别是 M ( 2, 2,0 ) 、 (

2 2

,

2 2

,1)

∴ A M =( ?

???? ?

2 2

,?

2 2

,1 )

∴ N E = A M 且 NE 与 AM 不共线, ∴AM∥平面 BDF ∴AB⊥平面 ADF

????

???? ?

∴NE∥AM

又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ? AD ? A ,

用心

爱心

专心

37

∴ A B ? ( ? 2 , 0, 0 ) 为平面 DAF 的法向量
E

??? ?

∵ N E ? D B =( ?

????

????

2 2

,?

2 2 2 2

,1 ) · ( ?

2,

2 , 0 ) =0,
C

M F B N A

???? ???? ∴ N E ? N F =( ?

P
2 2 ,? ,1 ) · ( 2 ,
2 , 0 ) =0 得
D

???? ???? ???? ???? N E ? D B , N E ? N F ∴NE 为平面 BDF 的法向量

∴cos< A B , N E >=

???? ???? ?

1 2

∴ A B , N E 的夹角是 60?

???? ???? ?

即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60?
??? ?

(Ⅲ)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 P F ? ( 2 ? t , 2 ? t ,1), ∴ C D =( 2 ,0,0) 又∵PF 和 CD 所成的角是 60? ∴ cos 60 ? ?
( 2 ? t) ?
2

????

2
2

( 2 ? t) ? ( 2 ? t) ? 1 ?

2

解得 t ?

2 2

或t ?

3 2 2

(舍去) 即点 P 是 AC 的中点 ,

18 .【 04 重 庆 · 理 】

如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 正 方 形 ,

P A ? 底 面 A B C D , A E ? P D , E F // C D ,

P

AM ? EF

(1) (2)

证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; 若 P A ? 3 A B ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角 的正弦值

E A M B C F D

[解] (I)证明:因 PA⊥底面,有 PA⊥AB,又知 AB⊥AD,故 AB⊥面 PAD,推得 BA⊥AE, 又 AM∥CD∥EF,且 AM=EF, 证得 AEFM 是矩形,故 AM⊥MF. 又因 AE⊥PD,AE⊥CD,故 AE⊥面 PCD, 而 MF∥AE,得 MF⊥面 PCD, 故 MF⊥PC,
用心 爱心 专心

38

因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线. (II)解:连结 BD 交 AC 于 O,连结 BE,过 O 作 BE 的垂线 OH, 垂足 H 在 BE 上. 易知 PD⊥面 MAE,故 DE⊥BE, 又 OH⊥BE,故 OH//DE, 因此 OH⊥面 MAE. 连结 AH,则∠HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角 设 AB=a,则 PA=3a, AO ? 因 Rt△ADE~Rt△PDA,故
ED ? AD PD
2

1 2

AC ?

2 2

a.

?
2

a

2

?
2

a 10

,OH ?

1 2

ED ?

a 2 10

.从 而 在 R t ? A H O 中

a ? (3 a )
OH AO a 2 10

sin HAO ?

?

?

2 2a

?

1 20

?

5 10

.

选择题与填空题答案 一、选择题 1.D 2.A 8.D 9.B 15.D 16.B 二、填空题 1.a 3.C 10.C 17.B 4.C 11.C 18.D 5.D 12.A 19.D 6.B 13.B 7.C 14.C

2.①②④

3.②④

4. 3:16

5. 5

6. 5

用心

爱心

专心

39



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