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四川省成都外国语学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

成都外国语学校 2016-2017 学年度高二下期期中考试

数学试题(文科)

命题人:邓利

审题人:全鑫

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。

2. 本堂考试 120 分钟,满分 150 分。

3.答题前,考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密

封线内。

4.考试结束后,将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷(60 分)

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的

四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1. 不等式

的解集是( )

A. ( ,-1) B. ( ,1) C. (-1,3) D.

【答案】C 【解析】

,故不等式的解集是

,故选 .

2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程

有有理根,那么 , ,

中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( )
A. 假设 不都是偶数 B. 假设 至多有两个是偶数 C. 假设 至多有一个是偶数 D. 假设 都不是偶数
【答案】D 【解析】试题分析:“ 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况,其否 定应为不存在偶数,即“假设 都不是偶数”,故选 D. 考点:命题的否定.

3. 过椭圆

的左焦点 作直线交椭圆于 两点, 是椭圆右焦点,则

的周

长为( )

A.

B.

【答案】A

C.

D.

【解析】

因为椭圆为

,所以椭圆的半长轴

,且



4. 函数 的图象大致是( )

,由椭圆的定义可得 的周长为 ,故选 A.

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

,所以当



;当



;又当

时 ,选选 B.

点睛:(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的

内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.

(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象

研究.

5. 已知向量



,且 与 互相垂直,则 的值为( )

A. 2 B. 0 C. -1 D. 1

【答案】B

【解析】因为向量

,与

互相垂直,

,解得

6. 已知 与 之间的一组数据(如下表):

,故选 B.

0

1

2

3

1

3

5

7

则 对 的线性回归方程

必过点( )

A. (2,2) B. (1,2)
【答案】D

C. (1.5,0)

D. (1.5,4)

【解析】 的平均数:

, 的平均数:

,所以样本中心点

的坐标是

,样本中心点在回归方程上,故选 D.学¥科¥网...学¥科¥网...学

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7. 已知函数



()

A.

B.

【答案】A

【解析】

C. D.

,令 ,则

,故选 A.

8. 已知双曲线

的左,右焦点分别为

,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )

A.

B. C.

D.

【答案】B

【解析】设

,由焦半径得

,点 P 在双曲线的右支上,且



,化

简得

在双曲线的右支上,

故选 B.

9. 已知正数 满足

,则曲线

, ,即双曲线离心率 的最大值为,

在点

处的切线的倾斜角的取值范

围为( )

A.

B.

【答案】C 【解析】设曲线在点



C.

D.

处的切线的倾斜角为 ,

,故

.故选 C.

10. 设函数 是定义在

上的可导函数,其导函数为 ,且有

,则不

等式

的解集为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】令

,则

,则 在

递减,由

,得

,故

,解得

,故选 C.

【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则,属于难题.

求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联

想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关

键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函

数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造

恰当的函数.

11. 已知 为抛物线

上一个动点, 为圆

上一个动点,那么点 到点

的距离与点 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

由已知得,设圆心为 ,因为圆

, 抛物线



一动点, 为抛物线的焦点

的最短距离为 ,则当 的直线经过点 时,

, 最小,则

,故选 A.
【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线 的定义求最值,属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的 距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点 的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;(2)将拋物线上的点到焦 点的距离转化为到准线的距离,利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短” 原理解决.本题是将 到准线的距离转化为到焦点的距离,再根据几何意义解题的.

12. 已知函数

,若存在实数 使得不等式

成立,求实数

的取值范围为( )

A.

B.

C.
【答案】D
【解析】由

D. ,求导

,当 时,

,则



,则



,则

,令

,解得 ,当

,解得 ,当

,解得 ,

所以当 时,取极小值,极小值为

的最小值为 ,由





,则

,解得 或 ,所以实数 的取值范围

,故选 D.

第Ⅱ卷(90 分) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上的 相应位置)

13. 函数

的单调递减区间为________.

【答案】

【解析】函数

的开口向上,对称轴为 ,函数

的单调递减

区间为

,故答案为

.

14. 空间直角坐标系中,已知

__________.

【答案】

【解析】空间直角坐标系中,



,则直线 AB 与 AC 的夹角为
, ,

,所以向量

的夹角为 ,即直线

与 的夹角为 ,故答案为 .

15. 已知方程

是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程,其中 的单

位是 cm, 的单位是 kg,那么针对某个体(160,53)的残差是________.

【答案】-0.29

【解析】试题分析:因为回归方程为

,所以当 x=160 时,

y=0.85×160-82.71=53.29,所以针对某个体(160,53)的随机误差是 53-53.29=-0.29 考点:线性回归方程

16. 点 是焦点为 的双曲线

上的动点,若点满足

【答案】

,则点的横坐标为____________

【解析】

由点满足,

,则为焦点三角形

双曲线

的焦点三角形的内切圆且三边

于点

的内心,设 ,双曲线的两

个顶点为 ,则



,由



, 在双曲线上,由 在 上, 是双曲线与 轴的交

点,即 ,由

,则所以点的横坐标为 ,故答案为 .

【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应

用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互

转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之

一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.

运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透,这样才能快速找准突破点. 充

分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.

三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)

17. 已知

,分别求

,

,

的值,然后归纳猜想一般

性结论,并证明你的结论. 【答案】详见解析.

【解析】试题分析:将

代入

,即可求得

的值;观察

,根

据上一步的结果可以归纳出一般的结论:自变量的和为 ,则函数值的和为 ,

根据结论的形式将

代入并化简求值即可完成证明.

试题解析:由

,得

,

,

.

归纳猜想一般性结论为 证明如下:

【方法点睛】本题通过观察几组等式,归纳出一般规律来考查函数的解析式及归

纳推理,属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同

的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见

的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的

归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同

时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形

数目的归纳和图形变化规律的归纳.

18. 如图,在三棱锥

中,





,平面



面 , , 分别为 , 中点.

(1)求证: 平面 ;

(2)求证:



(3)求三棱锥

的体积.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析:(1)根据三角形的中位线定理,证出

,再由线面平行判定定理

可证出 平面 ;(2)连结 ,由等腰三角形的三线合一,证出

,结合



由此可得出

;(3)由面面垂直性质定理,证出 平面 ,得 是三棱锥

的高,结合题中已知条件,即可得到三棱锥

的体积.

试题解析:(1)∵ , 分别为 , 的中点,∴



又 平面 , 平面 ,∴ 平面 .

(2)连接 ,



,又

,∴





, 为 中点,∴



∴ 平面 ,∴



(3)∵平面

平面 ,



∴ 平面 ,∴



考点:1.线面平行的判定及性质;2.线面垂直的判定及性质;3.棱锥的体积.

19. 已知函数

,其中 为常数.

(1)当

时,求 的极值;

(2)若 是区间 内的单调递减函数,求实数 的取值范围.

【答案】(1)详见解析;(2)

.

【解析】试题分析:(1)当

时,

在区间 内单调递减,



内单调递增 有极小值

,无极大值;(2)易知

在区间 内

单调递增



的取值范围是

.

试题解析:(1)当 内单调递减, 在 (2)易知

时,

,所以 在区间

内单调递增 ,于是 有极小值

, 无极大值.

在区间 内单调递增,所以由题意可得

在区

间 内无解即



,解得实数 的取值范围是

.

考点:1、函数的单调性;2、函数的极值.

20. 已知椭圆

的离心率为,以原点 为圆心,椭圆的短半轴长为半

径的圆与直线

相切.

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若直线

与椭圆 相交于 、 两点,且

,求证:

的面

积为定值并求出定值.

【答案】(1)

;(2) 详见解析.

【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率等于,原点 到直线

的距离等

于 及隐含条件

联立方程组求解 的值,则椭圆 的标准方程可求;(2)

联立直线方程和椭圆方程,消去 后利用根与系数关系得到 两点的横坐标的和 与积,由弦长公式求得 ,由点到直线的距离公式求得 到 的距离,代入三

角形的面积公式证得答案.
试题解析:(1)由题意得

椭圆的方程为

.

(2)设



则 A,B 的坐标满足

消去 y 化简得 得
=


,即 即





=

O 到直线

的距离

=

=

= 为定值

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及 点在曲线上问题,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手, 先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计 算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

21. 已知函数

(1)当 时,求函数

在点

处的切线方程;

(2)设

,若函数

在定义域内存在两个零点,求实数 的取值

范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(Ⅰ)当 时,

,根据导数的几何意义求出

切线的斜率,即可求得切线方程;(Ⅱ)函数

在定义域内存在两个零点,整

理可得



有两个零点,构造函数

,讨论其单调性,求得其

极值,列出不等式即得实数 的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)

的定义域为

,∵ ,



,∴

,∴



所以函数

在点

处的切线方程为

(Ⅱ)

在定义域内存在两个零

点,即



有两个零点.



ⅰ.当 时, 由零点存在定理, ⅱ.当 时,

,∴



上单调递增



至多一个零点,与题设发生矛盾.



因为

,当



,所以要使



内有两个零点,



即可,得

,又因为 ,所以

考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值,函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值,函数的 零点问题,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.求函数图象在某点的切线关键是把握 好函数在某点的导数就是切线的斜率,要研究函数零点的个数,往往需要研究函数的单调性 和极值,本题中通过讨论导函数的零点与区间的关系,确定函数的单调性,求出极值,列出

满足条件的不等式,解不等式即得 的范围.

22. 已知函数

.

(1)当

时,求不等式

的解集;

(2)若

,且

,求证:

.

【答案】(1)

;(2)4.

【解析】试题分析:(1)通过讨论 的范围,得到关于 的不等式组,解出求并集 即可的结果;(2)

,然后根据基本不等式的性质证明即可.

试题解析:(Ⅰ)当

时,不等式

化为











解得







∴不等式

的解集为



(Ⅱ)

当且仅当 ,即

时“ ”成立,

所以

.

【易错点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值,属于中档题.利

用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,

首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);

三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,

二是多次用 或 时等号能否同时成立).



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