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高一数学课件:求函数解析式方法


2.2

求函数的解析式

例1.已知 f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 2 ,求 1.已知

f (3)及f ( x ) , f ( x + 3)

分析:这是含有未知函数f(x)的等式,比较抽象。由函数 f(x)的定义可知,在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下,自变量变换字母,以至变换为其他字母的代数式,对 函数本身并无影响,这类问题正是利用这一性质求解的。 方法一: f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 2 解:

f ( 3) = 10 ∴ f ( x) = x + 1 2 2 ∴y = f ( x +3) = (x +3) +1= x +6x +10
2

= x + 2x +1+1 = ( x + 1) 2 + 1
2

配凑法

方法二:令 t
2

= x + 1, 则x = t ? 1
2 2

∴ f ( x) = x +1 2 2 ∴ y = f ( x + 3) = ( x + 3) +1 = x + 6x +10

∴ f ( t ) = f ( x +1) = ( t ?1) + 2( t ?1) + 2 = t +1

换元法
注意点:注意换元的等价性,即要求出 t 的 注意点 取值范围

例2.已知函数f(x)是一次函数,且经过 (1,2),(2,5)求函数y=f(x)的解析 式 分析:与上一题不同的是这一题已知函数
是什么类型的函数,那么我们只需设出相 应的解析式模型,通过方程组解出系数即 可——待定系数法
解:设 f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0) ?2 = a + b ?a = 3 即f ( x ) = 3x ? 1 ∴? ?? ?5 = 2 a + b ?b = ? 1

例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式

?1? f ( x ) + 2 f ? ? = 3x ? x?

?1? 分析:如果将题目所给的 f ( x ) , f ? ? 看成两个变量,那 ?x? 么该等式即可看作二元方程,那么必定还需再找一个关于 它们的方程,那么交换 x与1/x形成新的方程

解 : 设 F

(x

)

=

f

(x

? 1 ? + 2 f ? ) ? = 3x ? x ?

(1 )

? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ∴ F ? ? = f ? ? + 2 f ? 1 ? = 3 x ? x ? ? x ? ? ? ? ? ? x ? 3 ? 1 ? ∴ f ? + 2 f (x ) = (2 ) ? x ? x ? 2 ∴ 有 ( 1 ) ( 2 ) 得 f (x ) = ? x (x ≠ 0 x

)






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