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河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段测试二(数学理)


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2013 年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(二) 数学(理科)· 答案

一解,则 a≥1 ; 若 a ? 0 ,则函数 g ( x) ? ax 的图象过 ? 0, 0 ? ,方程 x ? a ? ax 有一解,则 a≤ ? 1 ; 若 a ? 0 ,则方程 x ? a ? ax 显然有一解为 0. 综上可得, 实数 a 的取值范围是 ? ??, ?1? ?{0} ? ?1, ??? .……………………… 分) (6 (Ⅱ) h( x) ? ax( x ? a) ? ax ? a x (a ? 0) ,其对称轴为 x ?
2 2

a . 2
2

当 ≤1 ,即 0<a≤2 时, h( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以最小值为 h(1) ? a ? a ;

a 2



a3 a ?a? ? 1 ,即 a ? 2 时, h( x) 的最小值为 h ? ? ? ? .………………………(12 分) 4 2 ?2?

(19)解: (Ⅰ)当 AD ? 1时,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, 连接 A1B, BD1 , 易知 A D1 ? AB1 , AB1 ? A1B, 又 A1D1 ? A1B ? A1 , 1
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所以 AB1 ? 平面 A BD1 ,故 BD1 ? AB1 . 1 同理可证 BD1 ? B1C ,又因为 AB1 ? B1C ? B1 , 所以 D1B ? 平面 AB1C .……………………………………………………………(4 分) 在 △BD1C 中,∵ F , E 分别是 D1C , BC 的中点, ∴ FE ∥ D1B , 所以 EF ? 平面 AB1C .…………………………………………… 分) (6 (Ⅱ)设 AD ?a (a ? 0) ,以 D 为原点,以 DA , DC , DD1 所在直线分别为 x , y , z

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(Ⅱ) 由题意知 P ?

?2 3 2 3? ? 2 3 2 3? ?2 3 ? , ,? ?, 则 D?? ? ,C ? ? 3 ? ? 3 , 0 ? , 直线 PD 的斜 ? 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? ? ?

2 3 1 1? 2 3? 率为 1,直线 DE 的斜率为 3 ? ,直线 DE 的方程为 y ? ? x ? ?, 2? 3 ? 4 3 2 ? ? 3
……………………………………………………………………………………… 分) (5 代入椭圆方程得 3x ?
2

4 3 20 10 3 2 3 或x?? , x? ? 0 ,解得 x ? 3 3 9 3
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?1 ? 4a ? ? x ? 4 ? 4 a ? , ……………………………………………(2 分) f ?( x) ? ? 4a ? ? x?4 x?4
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 当 x ? ? ?4, ?

1 1 1 1 ? 4,? a ? ? ,? 0 ? ? ? 2, ?4 ? ? ? 4 ? ?2, a a 2 a

? ?

1 ? ? 4 ? 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数; a ?

当 x ?? ?

? 1 ? ? 4, ?2 ? 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为减函数. ? a ?

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? f ( x)max ? f ? ? ? 4 ? ? ?4, 即 4ln ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4a ? ? ? 4 ? 4 ? ? ?4, ? a ? ? a ? ? a ?
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? a ? ?1,? 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? ln x ? x. ……………………………………(6 分)

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