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2012高考数学复习第五章平面向量5-2试题


第5章

第二讲

时间:60 分钟 满分:100 分 一、选择题(8×5=40 分) 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 1 3 D.e1=(2,-3),e2=( ,- ) 2 4 答案:B 解析:A 中 e1=0,所以 e1 与 e2 共线; B 中,2×5-7×(-1)=17≠0,故 e1 与 e2 不共线; C 中,e2=2e1,e1 与 e2 共线; D 中,e1=4e2,e1 与 e2 共线. 2.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b= ( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 答案:A 解析:a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).故选 A. 1 3.已知向量 a=(8+ x,x),b=(x+1,2),其中 x>0,若 a∥b,则 x 的值为 ( ) 2 A.8 B .4 C.2 D.0 答案:B 1 解析:∵a∥b,∴(8+ x)· 2-x(x+1)=0,即 x2=16.∵x>0,∴x=4.故选 B. 2 4.向量 a=(1,-2),向量 b 与 a 共线,且|b|=4|a|,则 b 等于 ( ) A.(-4,8) B.(-4,8)或(4,-8) C.(4,-8) D.(8,4)或(4,8) 答案:B 解析:∵b 与 a 共线. ∴b=λa=(λ,-2λ). 又∵|b|=4|a|, ∴λ2+(-2λ)2=16[1+(- 2)2], 即 λ2= 16,λ =± 4. ∴b=(4,-8)或(-4,8). → → → 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) 答案:B → → → → → → → 解析:在?ABCD 中,AD=BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),而BD=AD-AB=(- 1,-1)-(2,4)=(-3,-5),故选 B.
[来源:学科网 ]

6. (2008· 广东四校联考)向量 a=(1,2), b=(-2,3), 若 ma-nb 与 a+2b 共线(其中 m, n∈R m 且 n≠0),则 等于 ( ) n 1 1 A.- B. 2 2 C.-2 D.2 答案:A 解析:ma-nb=(m+2n,2m-3n),a+2b=(-3,8),∵ma-nb 与 a+2b 共线,∴8(m+2n) m 1 +3(2m-3n)=0,即 14m=-7n.∴ =- . n 2 7.(2009· 广东,3)已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b ( ) A.平行于 x 轴 B.平行于第一、第三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案:C 解析:∵a+b=(0,1+x2),∴a+b 平行于 y 轴,故选 C. 8.已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R}, 则 M∩N= ( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2 ,-2)} D.? 答案:C 解析:∵M={a|a=(1+3λ,2+4λ),λ∈R} ={(x,y)|4x-3y+2=0}. N={a|a=(-2+4λ,-2+5λ),λ∈R} ={(x,y)|5x-4y+2=0}. ? ?4x-3y+2=0? ? ? ? ? ? ?={(-2,-2)?. ∴M∩N=?(x,y)|? ? ? ? ? ?5x-4y+2=0? ? ? 二、填空题(4×5=20 分) → 9.(2009· 北京海淀 5 月练习)已知点 A(1,-3)和向量 a=(3,4),若AB=2a,则点 B 的坐标 为__________. 答案:(7,5) → → → → 解析:∵AB=2a=(6,8);AB=OB-OA=(xB-1,yB+3)=(6,8) ∴xB=7,yB=5,∴点 B 的坐标为(7,5). 10.(2009· 江西,13)已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________. 答案:5 解析:a-c=(3-k,-6),b=(1,3). ∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-(-6)×1=0?k=5. → → → 11.(教材改编题)已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),则当点 P 在 第三象限时,λ 的取值范围是________. 答案:(-∞,-1) → 解析:设点 P(x,y),则AP=(x-2,y-3), → → → 又∵AP=AB+λAC=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

? ?x-2=3+5λ, ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),即? ?y-3=1+7λ, ? 又∵点 P 在第三象限, ? ?x=5+5λ<0 ∴? 解得 λ<-1. ?y=4+7λ<0 ? 12.(2009· 菏泽模拟)已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n(a>0,b>0),则 ab 的最小值是________. 答案:16 解析:由已知 m∥n 可得(a-2)(b-2)-4=0, 即 2(a+b)-ab=0, ∴4 ab-ab≤0,解得 ab≥4 或 ab≤0(舍去), ∴ab≥16.所以 ab 的最小值为 16. 三、解答题 (4×10=40 分) 1→ → 1→ → → 13.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC= AB,DA=- BA,求点 C、D 的坐标和CD的坐 标. 3 3 思路点拨:根据题意可设出点 C、D 的坐标,然后利用已知的两个关系式,得到方程组, 求出坐标. 解析:设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), → → → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). 1→ → 1→ → 因为AC= AB,DA=- BA, 3 3 ? ? ?x1+1=1, ?-1-x2=1, 所以有? 和? ?y1-2=2 ?2-y2=2. ? ?
[来源:Zxxk.Com]

?x1=0, ?x2=-2, ? ? 解得? 和? ?y1=4, ?y2=0. ? ? 所以点 C、D 的坐标分别是 (0,4)、(-2,0), → 从而CD=(-2,-4). 方法技巧:利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过 列方程(组)进行求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的始点和终点坐标,也就是要注意 → → 向量的方向,不要写错坐标.本题亦可先对向量进行坐标运算,可得AC=DA=(1,2) ,由此求 → 得点 C、D 的坐标和CD的坐标. 14.已知 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=xb+yc 的实数 x,y 的值; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k 的值. 思路点拨:向量的坐标表示,实际上是向量的代数表示,引入向量的坐标表示后,使向量 → → 的运算代数化.平面向量OA与点 A(x,y)之间建立了一一对应关系.对OA=(x,y),(x,y)是 一个整体,向量的许多运算都可以用这个“整体”来解决. 解 析:(1)∵a=xb+yc, ∴(3,2)=x(-1,2)+y(4,1)=(-x+4y,2x+y).
[来源:学科网]

?-x+4y=3, ? ∴? ?2x+y=2, ?

?x=9, 解得? 8 ?y=9.

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(2)∵(a+kc)∥(2b-a), 且 a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k), 2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-5,2), 16 ∴2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得 k=- . 13 方法技巧:本题主要考查向量的坐标运算以及向量相等、向量平行的充要条件.两向量相 等与平行的充要条件分别是: 设 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a=b?x1=x2 且 y1=y2; a∥b(b≠0) ?x1y2-x2y1=0. 15.(2007· 日本东京工科大学)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答 下列问题: (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (4 )设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. 分析:熟悉向量的线性运算,直接用坐标运算求解. 解析:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 5 m= , ? 9 - m + 4 n = 3 , ? ∴? 解之得 8 ?2m+n=2. ? n= . 9
[来源 :学科网 ZXXK]

? ? ?

(3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). 16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=- . 13 (4)∵d-c=(x-4,y-1), a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a +b)且|d-c|=1, ?4(x-4)-2(y-1)=0, ? ∴? 2 2 ? ?(x-4) +(y-1) =1.

?x=4+ 55, 解之得? 2 5 ?y=1+ 5 ;
∴d=?

?x=4- 55, 或? 2 5 ?y=1- 5 .

?20+ 5 5+2 5?, ? ? 5 , 5 ?

或 d=?

?20- 5 5-2 5?. ? ? 5 , 5 ?

→ → → 16.已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 2 → → → 解析:(1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).当 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=- ;若 P 在 3 ? 1 + 3 t <0 , ? 1 2 1 y 轴上,只需 1+3t=0,∴t=- ;若 P 在第二象限,则? ∴- <t<- . 3 3 3 ?2+3t>0. ? → → → → (2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t, 3-3t).若 OABP 为平行四边形,则OA=PB. ?3-3t=1, ? ∵? 无解.所以,四边形 OABP 不能成为平行四边形. ? ?3-3t=2.



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