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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学必修5【精品课件】2-2 等差数列1

2.2 等差数列

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等差数列

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学习目 标

1.会用等差数列的定义判断数列是等差数列; 2.记住等差数列的通项公式,并能进行相关的运算; 3.记住等差中项的概念,并能进行简单的应用. 重点:等差数列的定义、通项公式、等差中项及应用; 难点:等差数列概念的理解,归纳法求通项,及如何判定数列为等差 数列.

重点难 点

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1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差,公差通常用字母 d 表示.

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预习交流
(1)等差数列的定义能否用一个关系式表示?若能,怎样表示? 提示:能.若数列{an}是等差数列,公差为 d ,则 an-an-1=d (n≥2). (2)怎样判断一个数列是等差数列? 提示:判断数列{an}是等差数列,只需判定 an+1-an(n∈N*)是一个常 数即可.

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2.等差中项 在由三个数 a,A,b 组成的等差数列中,A 叫做 a 与 b 的等差中项.这 三个数满足关系式 2A=a+b. 3.等差数列的通项公式和递推公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d ,那么
通项公式 递推公式 an=a1+(n-1)d an+1-an=d(或 an-an-1=d(n≥2))

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一、等差数列的通项公式及应用 活动与探究
1.如何推导等差数列的通项公式? 提示:方法一(累加法),因为数列{an}是等差数列,所以 an-an-1=d ,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d , … a3-a2=d ,a2-a1=d. 以上各式相加得 an-a1=(n-1)d , 所以 an=a1+(n-1)d. 方法二(选代法),因为数列{an}是等差数列, 所以 an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.

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2.等差数列{an}中,公差为 d ,若 m,n∈N*,且 m≤n,则 am 与 an 有什么 关系? 提示:由等差数列的通项公式得 an=a1+(n-1)d ,am=a1+(m-1)d ,所以 an-am=a1+(n-1)d-a1-(m-1)d=(n-m)d.

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例 1(1)在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项 a1 与公 差 d; (2)已知数列{an}是等差数列,若 a2=1,a1+a4=1,求 a3+a5 的值. 思路分析:设首项与公差,根据条件列出方程组求解. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d , ∵ a5=10,a12=31,则 1 + 4d = 10, 解得 1 = -2, 1 + 11d = 31, = 3.

∴ 这个等差数列的首项是-2,公差是 3.

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(2)设数列{an}的公差为 d ,首项为 a1, 2 = 1, 1 + d = 1, 则由 得 1 + 4 = 1, 21 + 3d = 1, 1 = 2, 解得 = -1. ∴ a3+a5=2a1+6d=4-6=-2.

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迁移与应用 1.在等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n=( A.48 答案:C 解析:设公差为 d ,则 a1+d+a1+4d=4, ∵ a1= ,∴ d= .∴ an= + (n-1)= n- . 由 an=33,得 n- =33,∴ n=50.
2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3

).

B.49

C.50

D.51

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2.已知数列{an}是等差数列,若 a1=8,a8=-6,则数列{an}中第一个负 数项为( 答案:C 解析:设数列{an}的公差为 d ,则 a8=a1+7d=-6,∵ a1=8,∴ d=-2. ∴ 数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=8-2(n-1)=10-2n. 令 an<0,则 10-2n<0,∴ n>5. ∴ 数列{an}中第一个负数项为第 6 项. ). B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项 A.第 4 项

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等差数列的通项公式与四个量有关,即首项 a1,公差 d ,项数 n,通项 an,可以用方程的方法知三求一.又首项 a1 与公差 d 是两个基本量,所以, 设出首项与公差是解答等差数列问题的基本方法.

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二、等差数列的判定 活动与探究
1.如何判断一个数列是等差数列? 提示:(1)定义法:利用 an-an-1=d (常数)(n≥2,且 n∈N*). (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式是关于 n 的一次函数形式或 为常数,则{an}为等差数列. 2.判断一个数列为等差数列与证明一个数列为等差数列要求一样 吗? 提示:不完全一样,证明数列为等差数列要求更严格,只能用定义证 明.

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例 2 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (n>1),记 bn=
-1

4

1 . -2

(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 思路分析:先用 an 表示 bn+1,bn,再验证 bn+1-bn 为常数.

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(1)证明:∵ bn+1-bn=
-2 2( -2)

1 +1 -2

?

1 -2

=

1
4 4- -2

?

1 -2

=

2( -2)

?

1 -2

=

= ,
1 1 -2

1 2

又 b1=

= ,∴ 数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列.
1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

(2)解:由(1)知 bn= +(n-1)× = n. ∵ bn=
1 1 2 2 ,∴ an= +2= +2.∴ 数列{an}的通项公式为 an= +2. -2

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迁移与应用 1.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数列是( A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列 C.公差为 n 的等差数列 D.非等差数列 答案:A ).

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2.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.设 bn= (1)证明:数列{bn}是等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由已知 an+1=2an+2n 得
bn+1= +1 2 2 +2 2 2
-1

2
-1

.

=

=

+1=bn+1.

又 b1=a1=1, 因此{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解:由(1)知数列{bn}的通项公式为 bn=n, 又 bn=
2
n-1 , 所以数列 { a } 的通项公式为 a =n · 2 . n n -1

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三、等差中项的应用 活动与探究
1.任何两个数都有等差中项吗? 提示:任何两个数都有等差中项. 2.在等差数列中,含有多少个等差中项? 提示:在等差数列中,除首末两项外,任何一项都是前后两项的等差 中项.

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3.若 A=

+ ,则 2

a,A,b 是否成等差数列?若一个数列任意相邻的三项

具有这种关系,结果怎样? 提示:若 A= 立. 若 an+1=2(an+an+2),则 an+1 是它前一项与后一项的等差中项,由 n 的 任意性可得,数列{an}是等差数列.
1 + ,则 2

a+b=2A,A-a=b-A,则 a,A,b 成等差数列,反之也成

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例 3(1)lg( 3 + 2)与 lg( 3 ? 2)的等差中项 . (2)已知等差数列{an}的前 3 项依次是 x,x-1,2x+1,则通项公式
1 2

an= 再求通项公式.

. 思路分析:(1)由等差中项定义直接求;(2)先由等差中项定义求出 x, 答案:(1)0 (2)-4n+1

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解析:(1)lg( 3 + 2)与 lg( 3 ? 2)的等差中项为
lg( 3+ 2 )+lg( 3 - 2 ) 2

=

lg1 =0. 2 1

(2)∵ 由题意可知 x-1 是2x 和 2x+1 的等差中项, ∴ 2x-2= x+2x+1,解得 x=-6.∴ 前 3 项依次为-3,-7,-11. ∴ 首项 a1=-3,公差 d=-4.∴ 通项公式 an=-4n+1.
1 2

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迁移与应用 1.若 x 是 a,b 的等差中项,x2 是 a2,-b2 的等差中项,则 a 与 b 的关系为 ( ). A.a=b=0 B.a=-b C.a=3b D.a=-b 或 a=3b 答案:D 2 2 2 = + 2 - 2 ( +) 解析: ?x = 4 = 2 , 2 2 = 2 - 2 所以 3b2+2ab-a2=0,即 a=-b 或 a=3b.

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2.已知数列{an}满足 a1=1,a3=5,且 an+an+2=2an+1,则 a2= 答案:3 解析:∵ an+an+2=2an+1,∴ an+2-an+1=an+1-an. ∴ 数列{an}是等差数列.∴ a2=
1 +3 =3. 2

.

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3.已知+ , + , +成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. 证明:∵ , , 是等差数列,∴ + = +. + + + + + ∴ (a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c). ∴ (c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c). ∴ 2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.∴ a2+c2=2b2. ∴ a2,b2,c2 成等差数列.
1 1 1 1 1 2

1

1

1

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若三个数 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c;反之,若三个数 a,b,c 满足 2b=a+c,则 a,b,c 成等差数列.利用等差中项也可证明数列{an}是等差数 列,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*).

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1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a5 为( A.-4 C .5 答案:B B.4 D.6

).

解析:a5=a1+4d=(a1+d )+3d=a2+3d=-5+3×3=4.

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2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为( A.49 C.51 答案:D 解析:∵ 2an+1=2an+1,∴ an+1=an+ .∴ an+1-an= . ∴ 数列{an}是首项为 2,公差为 的等差数列. ∴ a101=a1+(101-1)d=2+
100 =52. 2 1 2 1 2 1 2

).

B.50 D.52

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3.△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数列,则角 B 等于( A.30° C.90° 答案:B 解析:∵ A,B,C 成等差数列,∴ 2B=A+C. 又 A+B+C=180° ,∴ 3B=180° ,B=60° . B.60° D.120°

).

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4.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则 a1= 答案:8 解析:∵ a4=a6+6,∴ 2d=a6-a4=-6. ∴ d=-3. 故 a1=a2-d=5-(-3)=8.

.

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5.已知等差数列{an}中,a1=-a9=8,则 an= 答案:10-2n 解析:∵ 等差数列{an}中,a1=8,a9=-8,a9=a1+8d, ∴ d=-2. ∴ an=a1+(n-1)×d=8-2(n-1)=10-2n.

.



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