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高中数学人教B版必修4学案:2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 1.会用坐标表示平面向量共线的条件. 2. 能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问 题.(重点、难点) [基础· 初探] 教材整理 两个向量平行的坐标表示 阅读教材 P103~P104“例 1”以上内容,完成下列问题. 选择基底{e1,e2}. (1)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a∥b?a1b2-a2b1=0. (2)设 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 如果向量 b 不平行于坐标轴, 即 b1≠0, b2≠0, a1 a2 则 a∥b?b =b . 1 2 用语言可以表述为:两个向量平行的条件是,相应坐标成比例. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.( ) ) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( 【解析】 (1)正确.因为(4,8)=4(1,2),所以向量(1,2)与向量(4,8)共线. (2)正确.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. 【答案】 (1)√ (2)√ [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 1 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ [小组合作型] 判定直线平行、三点共 线 1? ? (1)已知 A(1,-3),B?8,2?,且 A,B,C 三点共线,则 C ? ? 的坐标可以是( A.(-9,1) C.(9,1) ) B.(9,-1) D.(-9,-1) (2)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),请判断直线 AB 与 CD 是否平行? → → (3)已知 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线 AB 平行于直线 CD 吗? 【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2-x2y1=0, 可证明有公共点的两 个平行向量共线,从而可证明三点共线. (2)判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线. 【自主解答】 (1)设点 C 的坐标是(x,y), 因为 A,B,C 三点共线, → → 所以AB∥AC. → 1? 7? ? ? 因为AB=?8,2?-(1,-3)=?7,2?, ? ? ? ? → AC=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3), 2 7 所以 7(y+3)-2(x-1)=0,整理得 x-2y=7, 经检验可知点(9,1)符合要求,故选 C. 【答案】 C → → → (2)因为AB=(1,5)-(-1,1)=(2,4), AD=(4,11)-(-1, 1)=(5,10), AC=(-2, -1)-(-1,1)=(-1,-2), → → → → 所以AB=-2AC,AD=-5AC. → → → 所以AB∥AC∥AD. → → → 由于AB与AC,AD有共同的起点 A, 所以 A,B,C,D 四点共线, 因此直线 AB 与 CD 重合. → (3)因为AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), → CD=(2-1,7-5)=(1,2). 又因为 2×2-4×1=0, → → 所以AB∥CD. → → 又因为AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4), 所以 2×4-2×6≠0, 所以 A,B,C 不共线, 所以 AB 与 CD 不重合, 所以 AB∥CD. 三点共线的条件以及判断方法: 若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法: (1)直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为 0; → → (2)任取两点构成向量,计算出两向量如AB,AC,再通过两向量共线的条件 3 进行判断. [再练一题] → → → 1.设 O 是坐标原点,OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当 k 为何值时, A,B,C 三点共线? 【解】 → → → ∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → AC=OC-OA=(10-k,k-12), 又 A,B,C 三点共线, ∴由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, 解得 k=-2 或 k=11. 即当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线. 已知平面向量共线求参 数 (1)已知向量 a=(x,3),b=(-3,x),则 ①存在实数 x,使 a∥b; ②存在实数 x,使(a+b)∥a; ③存在实数 x,m,使(ma+b)∥a; ④存在实数 x,m,使(ma+b)∥b. 其中,所有叙述正确的序号为________. (2)已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时 它们是同向还是反向? 【精彩点拨】 (1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决. (2)可先利用坐标形式的等价条件求 k,再利用 b=λa 判定同向还是反向. 【自主解答】 (1)由 a∥b?x2=-9


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