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2014理科高考题分类汇编--函数导数(1)


2014 年高考题理科数学集合、逻辑、函数、导数、 三角函数分类解析(一)
一、选择、填空题 1. (全国 1 卷第 1 题)已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =(
2

)A

A .[-2,-1]

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2.(全国 1 卷第 3 题)设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列 结论正确的是( )C

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

3. (全国 1 卷第 6 题) 如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上 的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在 [0, ? ]上的图像大致为( )C

4. (全国 1 卷第 8 题)设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则( 2 2 cos ?

)B

A . 3? ? ? ?
解:由题意知:

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

sin ? 1 ? sin ? ? ,变形,得 sin ? cos? ? cos? sin ? ? cos? cos? cos?
? sin(? ? ? ) ? sin(

即 sin(? ? ? ) ? cos?

?
2

??)

? ? ? ? ? ? ? ? ? (0, ) ? ? (0, ) ? ? ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? , ? 2? ? ? ? 故选 B 2 2

1

5. (全国 1 卷第 9 题)不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是( )C

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

解:画出不等式组 ?

?x ? y ? 1 表示的平面区域知真命题是 p1和p 2 ,选 C。 ?x ? 2 y ? 4
3 2

6. (全国 1 卷第 11 题)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取 值范围为则( )B

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

解: f ??x ? ? 3ax2 ? 6 x 当 a ? 0 时, f ?x ? ? ?3x 2 ? 1 有两个零点,不合要求;
2 当 a ? 0 时,设 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 3ax ? 6 x ? 3ax ? x ?

? ?

2? ?。 a?

若 a ? 0 ,令 f ?? x ? ? 0 ,得 x ? 0或x ?

2 ,故函数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上是增函数, a

而 f ?? 1? ? ?a ? 2 ? 0, f ?0? ? 1 ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 ?? 1,0? 上存在零点,不合要求,可排除选项 A、C; 若 a ? 0 ,令 f ?? x ? ? 0 ,得

2 2 ? x ? 0; 令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? , 或x ? 0; a a

故函数 f ? x ? 在 ? ? ?, ? 上是减函数,在 ?

? ?

2? a?

?2 ? ,0 ? 上是增函数,在 ?0,??? 上是减函数, ?a ?

这就要求 f ? ? ? 0 且在 ?0,??? 上存在一个 x 使 f ?x ? ? 0 ,易知 f ?1? ? a ? 2 ? 0 ,而由

?2? ?a?

4 ?2? f ? ? ? 1 - 2 ? 0 可得 a ? ?2 . a ?a?
综上,选 B。

2

7. (全国 2 卷第 1 题)设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} 8. (全国 2 卷第 8 题)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

)D

)D
2

2 9. (全国 2 卷第 12 题)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ?m , m

则 m 的取值范围是( A.

)C B.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

解: f ??x ? ?

3? ?x ?x k? km cos , 令f ??x ? ? 0, 得 ? ,即x ? , k ? Z 且 k ? 0 ,即 m m m 2 2

x0 ?

km k? ,? f ? x 0 ? ? 3 sin 2 2
2

2 ? x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ?m ?

?4 ? k 2 ?m 2 ? 3 ? ?4 ? k 2 ?m 2 ? 12 k 2m2 ? 3 ? m2 ? 4 4
2



显然当 k ? 4 时①式不成立,所以 1 ? k ? 3 ,
2

由题意知存在整数 k,使 m ? ?
2

? 12 ? ? 4 即可,所以 m ? ?2或m ? 2 .故选 C。 2 ? ? 4 ? k ? min

10. (全国 2 卷第 14 题)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.1

f ?x ? ? sin?? ? ( x ? ? )? ? 2 sin ? cos(x ? ? ) 解: ? sin ? cos?x ? ? ? ? cos? sin?x ? ? ? ? 2 sin ? cos(x ? ? ) ? sin?x ? ? ?cos? ? cos?x ? ? ?sin ? ? sin??x ? ? ? ? ? ? ? sin x
?函数f ?x ? 的最大值为 1.
11. (全国 2 卷第 15 题)已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取 值范围是__________. 解:因为偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,所以 f ? x ? 在 ?? ?,0?单调递增。

? f ? 2? ? 0 ,

? f ?? 2? ? 0

?在 f ? x ? 中有 ? 2 ? x ? 2

?在 f ?x ? 1? 中, 若 f ? x ?1? ? 0 ,有 ? 2 ? x ? 1 ? 2 ,得 ? 1 ? x ? 3 ? x 的取值范围是 ?? 1,3? .
12.(辽宁卷第 1 题)已知全集 U ? R, A ? {x x ? 0}, B ? {x x ? 1 },则集合 CU ( A ? B) ? ( )D

3

(A) {x x ? 0}

(B) {x x ? 1}
? 1 3

(C) {x 0 ? x ? 1 } , b ? log 2

(D) {x 0 ? x ? 1 }

13. (辽宁卷第 3 题)已知 a ? 2 A. a ? b ? c 解: 0 ? a ? 2
? 1 3

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
D. c ? b ? a

)C

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

? 1 , b ? log 2

1 1 1 ? 0 , c ? log1 ? log1 ? 1 ? c ? a ? b 3 3 2 2 2

故选 C

14. (辽宁卷第 9 题)将函数 y ? 3 sin( 2 x ? (A)在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

, ] 上单调递减 12 12

? 7?

(C) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3

? 个单位长度,所得图象对应的函数 2 ? 7? ] 上单调递增 (B)在区间 [ , 12 12 ? ? (D)在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3

解:设 f ? x ? ? 3sin? 2 x ? 求减区间: 令

? ?

??

?? ? ?? 2? ? ? ? ? ? ? ,则 f ? x ? ? ? 3sin? 2( x ? ) ? ? ? 3sin? 2 x ? 2? 2 3? 3 ? 3? ? ? ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

2? 3? 7? 13? ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,排除 A、C 3 2 12 12

求增区间: 令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

2? ? ? 7? ? ? 2 k? , k ? Z , ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,故选 B 3 2 12 12
3 2

15. (辽宁卷第 11 题)当 x ? [?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (A) [?5,?3]
3 2

(B) [ ?6,? ]

9 8

(C) [?6,?2]

(D) [?4,?3]

解:设 f ?x ? ? ax ? x ? 4 x ? 3 ,

f ??x ? ? 3ax2 ? 2 x ? 4 ,

a ? 0 时, f ??x ? ? ?2 x ? 4 ,当 x ?[?2,1] 时, 2 ? f ??x ? ? ?2 x ? 4 ? 8 ,函数 f ?x ? 在 ?? 2,1? 上单调
递增, f ?? 2? ? ?4 ? 8 ? 3 ? ?9 ? 0 ,不合要求。
3 2 若 0 ? x ? 1 ,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? a ? ?

3 4 1 ? 2 ? 3 x x x



设t ?

1 3 2 ,则 a ? ?3t ? 4t ? t ? g ?t ?, t ? 1 x 1 ,由于 t ? 1 ,所以 g ??t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在 ?1,??? 上单 9

g ??t ? ? ?9t 2 ? 8t ? 1 ,令 g ??t ? ? 0 ,得 ? 1 ? t ?

调递减,从而 g ?t ?max ? g ?1? ? ?6 ,所以 a ? ?6 。

4

3 2 3 2 若 ? 2 ? x ? 0 ,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? ax ? x ? 4 x ? 3 ? a ? ?

3 4 1 ? 2? 3 x x x

设t ?

1 1 1 3 2 ,则 a ? ?3t ? 4t ? t ? g ?t ?, t ? ? , g ??t ? ? ?9t 2 ? 8t ? 1 ,令 g ??t ? ? 0 ,得 ? 1 ? t ? ? 2 2 x

令 g ??t ? ? 0 ,得 t ? ?1 ,所以 g ?t ? 在 ?? ?,?1? 上单调递减,在 ? ? 1,? ? 上单调递增;

? ?

1? 2?

? g ?t ?min ? g ?? 1? ? ?2 ,所以 a ? ?2 ,
综上所述: ? 6 ? a ? ?2 ,选 C。
2 2 16. (辽宁卷第 16 题)对于 c ? 0 ,当非零实数 a , b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 且使 2a ? b 最大时,

3 4 5 ? ? 的最小值为 a b c

。-2

2 2 解:设 2a ? b ? t ,则 2a ? t ? b ,将 2a ? t ? b 代入 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,得

?t ? b?2 ? ?t ? b?b ? 4b2 ? c ? 0 ,即 6b 2 ? 3tb ? t 2 ? c ? 0
由 ? ? 0,即 9t 2 ? 24 t 2 ? c ? 0 ,化简得 t ?
2



?

?

8c 8c 8c ,所以 ? ?t? 5 5 5

所以 2a ? b 取最大值时 t ?

8c c 3 c ,代入①式得 b ? ,从而 a ? , 5 10 2 10
2

? 3 4 5 2 10 4 10 5 5 2 10 ? 5 5 ? ? ? ? ?? ? 2? ? 2 ? ?2 ,当且仅当 c ? 时等号成 ? ? ? = ? ? a b c 2 c c c c c ? c ?
立。 二、解答题

bex ?1 1. (全国 1 卷第 21 题)设函数 f ? x ? ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x
x

y ? e?x ? 1? ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ?x ? ? 1 .
解:(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ?0, ? ?? 。

? f ??x ? ? aex ln x ?
? f ??1? ? ae

aex bex ?1 x ? bex ?1 aex bex ?1 ( x ? 1) x ? ? ae ln x ? ? x x2 x x2
又曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e?x ? 1? ? 2

? ae ? e

?a ?1

? f ?1? ? b

?曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e?x ? 1? ? b
5

?b ? 2
(Ⅱ)由(I)知 f ?x ? ? e ln x ?
x

2e x ?1 e x 2e x ?1 ( x ? 1) x ? , f ?? x ? ? e ln x ? x x x2

f ?x ? ? 1 ? e x ln x ?

2 2e x ?1 ? 1 ? x ln x ? xe ? x ? e x

设 g ?x ? ? x ln x ,则 g ??x ? ? ln x ? 1 , 令 g ?? x ? ? 0 ,得 x ? 递增。

1 1 ? 1? ?1 ? ;令 g ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? ;故 g ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ? ? ? 单调 e e e e ? ? ? ?

1 ?1? ? ?? 的最小值为 g ? ? ? ? . ? g ?x ? 在 ?0, e ?e?
设 h ? x ? ? xe
?x

?

2 ?x ?x ?x , h??x ? ? e ? xe ? e (1 ? x) e

令 h ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;令 h ??x ? ? 0 ,得 x ? 1 .故 h?x ? 在 ?0, 1? 单调递增,在 ?1, ? ? ?单调递减。

1 ? ?? 的最大值为 h ?1? ? ? . ? h?x ? 在 ?0, e 2 ? g ?x ? ? h?x ? ,即 x ln x ? xe ? x ? e

? f ?x ? ? 1
2. (全国 2 卷第 21 题)已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 R。

? f ??x ? ? e x ? e ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ?函数 f ? x ? 在 R 上为增函数。
(Ⅱ) g ?x ? ? e
2x

? e ?2 x ? 4 x ? 4b?e x ? e ? x ? 2 x ?, g ?0? ? 0

当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 在 ?0,??? 上是增函数,所以当 x ? 0 时, g ?x ? ? g ?0? ? 0 当 b ? 0 时, g ??x ? ? 2e
2x

? e ?2 x ? 4 ? 4bex ? 4be? x ? 8b
6



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