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高一数学数列求和的方法


1 1 1 1 1 1.数列 1 , , , , ,n ?1) + n , 数列 3 5 7 L (2 L 2 4 8 16 2

的前n项之和为 的值得等于( 的前 项之和为Sn,则Sn的值得等于 项之和为
1 (A) n +1? n 2 1 2 (C) n +1? n-1 2
2 2

A)

1 (B) 2n ? n+1? n 2

(D) n2 ? n+1? 1 n
2

2.若数列{an}中n,an=-2[n-(-1) n], .若数列 中 ]拆分成 , n 关键点: 拆分成-2n+(-1) 关键点:将a =-2[n-(-1) 拆分成
n

求S10和S99 .

【 例 1】 等比数列的首项为 , 公比为 , 】 等比数列的首项为a, 公比为q, Sn为前 项的和,求S1+S2+……+Sn. 为前n项的和 项的和,

小结
拆项并组求和法: 拆项并组求和法: 把数列的每一项分成几项, 把数列的每一项分成几项,或把数列的项 在一块重新组合, “集”在一块重新组合,或把整个数列分成几 部分,使其转化为等差或等比数列, 部分,使其转化为等差或等比数列,这一求和 方法称为分组转化法. 方法称为分组转化法

求数列 1,(1+2),(1+2+22),…, 练习: 练习: (1+2+22+…+2n-1) …的前n 项和Sn 解:

Qan =1+ 2 + 2 +... + 2
2 2

n?1

= 2 ?1
n 3 n

∴sn = (2 ?1) + (2 ?1) + (2 ?1) +...(2 ?1)

= (2++ 2 +... + 2 ) ? n n 1
2 n

= 2 ?2?n

这个数列的各项均是由等差数列构成的, 这个数列的各项均是由等差数列构成的,因此可 先求出通项公式,最后求和。 先求出通项公式,最后求和。

关键: 关键:求出通项公式

例2:求和 (1) (2)
1 1 1 1 + + +... + 1? 2 2?3 3? 4 n? (n +1 ) 1 1 1 1 + + +... + 1?3 2? 4 3?5 n ? (n + 2 )

裂项相消求和法: 裂项相消求和法: 把数列的通项拆成两项之差, 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一 1 1 1 1 = ( ) 项都可按此法拆成两项之差, ? 项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正 n(n + 常用的裂项技巧: 于是前 k) k n n + k 负项相互抵消, 负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少 项的和变成首尾若干少 1 1 数项之和,这一求和方法称为裂项相消法. 数项之和,这一求和方法称为裂项相消法) = ( n+k ? n
n+k + n k
1 1 1 练习: 练习:求和 1+ 1+ 2 + 1+ 2 + 3 +... + 1+ 2 +... + n

对类似数列(3)的求和问题 的求和问题, 【推广 】对类似数列 的求和问题 ,我们可以推广到 一般情况: 是公差为d的等差数列 一般情况:设{an}是公差为 的等差数列,则有 是公差为 的等差数列,

1 1 1 = ? n(n+1) n n - 1 ;
1 1? 1 1 ? = ? ? ? (2n?1)(2n+1) 2 ? 2n?1 2n+1?
? 1 1? 1 1 = ? ? n(n+1) ? (n+1)(n+ 2) ? ? n(n+1)(n+ 2) 2 ? ?
? 1 1 ? 1 1 ? = ? a a La ? a a La ? ? a1a2 Lan (n - 1)d ? 1 2 n-1 2 3 n?

错位相减求和法

例3:求和 a+2a2+3a3+…+nan :
(n∈N, a ≠ 0)
解:记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan 则asn= a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 两式相减,得 两式相减, (1-a)sn=(a+a2+a3+…+an)-nan+1 n(n +1) 若 a=1, 则 sn=1+2+…+n= 2 a(1?an ) nan+1 ? 若a≠1, 则sn= 2 (1?a) 1? a

1 2 项和 时,若公比 是字母,为避免 3 n 若公比q是字母 注意:在求等比数列前n项和 注意:在求等比数列前 , 项和sn 练习:数列 , ,... n ,...的前是字母, n 项和是? 疏忽,宜先求q=1时的 8然后再求 时的s 然后再求q≠1时的 n 时的s 疏忽,宜先求 2 时的 n,然后再求 时的 4 2

本课小结: 本课小结: 数列求和的一般步骤: 数列求和的一般步骤:
等差、等比数列直接应用求和公式求和。 等差、等比数列直接应用求和公式求和。 非等差、等比的数列, 非等差、等比的数列,通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列, 想设法转化为等差、等比数列,常用方法 有倒序相加法、错位相减法、 有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法 不能转化为等差、等比的数列, 不能转化为等差、等比的数列,往往通过 裂项相消法求和。 裂项相消法求和。 作业:练习册 作业:练习册——数列求和 数列求和


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