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【新】2019高中数学第一章三角函数4三角函数的图象与性质.4.正弦函数余弦函数的性质知识巧解学案版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 疱工巧解牛 知识?巧学 由任意角的三角函数的定义和三角函数的图象,可知正弦函数、余弦函数的定义域都是 实数集 R,即 y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R.通过正、余弦函数的图象,可知它有如下的主要 性质. 一、周期性 1.对于函数 y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R 的周期可由诱导公式一或通过观察它们的图象得 出: 任何一个常数 2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的周期, 它们的最小正周期都是 2π . 设 T 是 y=sinx 的最小正周期,且 0<T<2π ,根据周期函数的定义,当 x 取定义域内 每一个值时,都有 sin(x+T)=sinx.令 x= 但是 sin( ? +T)=cosT,于是 cosT=1,这表明 T 的值是 0,2π ,…,即 T=2kπ ,k∈Z,这 2 ? ? ? ,代入上式,得 sin( +T)=sin =1. 2 2 2 与 0<T<2π 相矛盾.所以不存在小于 2π 的最小正周期,即 y=sinx 的最小正周期为 2π . 2.y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )型的函数的周期仅与函数解析式中 x 的系数 ω 有关, 而与其他量无关.事实上,设 y=Asin(ω x+φ ),x∈R,其中 A、ω 、φ 均为常数,且 A≠0, ω >0.令 z=ω x+φ ,因为 x∈R,所以 z∈R,且函数 y=Asinz,z∈R 的周期是 2π .由于 2? 2? )+φ , 所以自变量 x 只需增加到 x+ .函数值才能重复出现. ? ? 2? 所以函数 y=Asin(ω x+φ ),A≠0,ω >0 的最小正周期是 .同理可证 y=Acos(ω x+φ ), ? 2? 1 ? 2? A≠0,ω >0 的最小正周期也是 .例如 y=2sin( x- )的周期是 ? 4? 等. 1 ? 2 3 2 z+2π =ω x+φ +2π =ω (x+ 学法一得 反证法是一种典型的补集思想, 它也是一种常见的证明方法, 是高考中常常考查 的一个重要内容.对一些正面推证有困难而结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题 目,可考虑用反证法.具体地说,对于那些含有否定词的命题,如“至少”“唯一性”“至 多”“都不是”“不存在”等命题, 尤为适宜.反证法证题的核心是从求证结论的反面出发, 把题设连同结论的反面一起作为本题的题设进行推证, 如果导出的结论与公理相矛盾、 与已 知条件或临时假设相矛盾、与既成事实相矛盾、自相矛盾等,那么就否定了假设,从而肯定 了原命题的正确. 记忆要诀 函数 y=Asin(ω x+φ ),x∈R 及函数 y=Acos(ω x+φ ),x∈R (其中 A、ω 、φ 为 常数,且 A≠0,ω >0)的周期为 T= 2? . ? 二、奇偶性 对于函数 f(x)=sinx,它的定义域为 R,因为 f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),即对于定 义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),所以它是奇函数. 对于函数 f(x)=cosx,它的定义域为 R,因为 f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),即对于定义 域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),所以它是偶函数. 三、单调性 1.由正弦函数的图象及其周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 [- ? ? +2kπ , +2kπ ] (k∈Z) 2 2 1 上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ ? 3? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都 2 2 是减函数,其值从 1 减小到-1. 由余弦函数的图象及其周期性可知: 余弦函数在每一个闭区间 [(2k-1)π , 2kπ ] (k∈Z) 上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函 数,其值从 1 减小到-1. 2.正、余弦函数单调性的用途主要有: (1)比较三角函数值的大小:解决这类问题的关键是把所比较的三角函数值转化成同一单调 区间内的角的同名三角函数值, 再比较大小, 也可进一步转化成与锐角的三角函数值相关的 形式,再比较大小. (2)求三角函数的单调区间: 对于形如 y=Asin(ω x+φ )+k 或 y=Acos(ω x+φ )+k, ω >0 的函 数,可把(ω x+φ )视为一个整体,按复合函数单调性的判定方法,结合正、余弦函数的单调 性,直接写出 ω x+φ 的单调区间,再解关于 x 的不等式即可. (3) 借 助 于 正 、 余 弦 函 数 的 图 象 解 三 角 不 等 式 : 对 于 可 化 为 形 如 sin(ω x+φ )≥a 〔cos(ω x+φ )≥a〕或 sin(ω x+φ )<a〔cos(ω x+φ )<a〕 ,ω >0 的弦函数不等式,可把 (ω x+φ )视为一个整体,借助于 y=sinx,x∈R 或 y=cosx,x∈R 的图象和单调性,先在长度 为 2π 的一个周期上找出适合条件的区间,然后两边加上 2kπ ,把它扩展到整个定义域上, 最后解关于 x 的不等式,便可求出 x 的解. 典题?热题 知识点一 函数的周期 例 1 若弹簧振子对平衡位置的位移 x(cm)与时间 t(s)的函数关系如图所示: (1)求该函数的周期;(2)求 t=10.5 s 时弹簧振子对平衡位置的位移. 解:(1)由图 1-4-10,可知该函数的周期为 4 s. 图 1-4-10 (2)设 x=f(t),由函数的周期为 4 s,可知 f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8. 方法归纳 周期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上的那个数(非零实数), 这个数仅 仅是相对于 x 而言的.函数 y=Asin(ω x+φ )的最小正周期是 知识点二 函数的奇偶性 例 2 函数 f(x)=cos(2x+ 2? . |? | 3?


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