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北京市朝阳区2017届高三二模数学(文科)试卷及答案(word版)


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(文史类)

2017.5

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知 i 为虚数单位,则复数 z ? (1 ? i)i 对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知 x ? y ,则下列不等式一定成立的是 (A)

1 1 ? x y

(B) log2 ( x ? y) ? 0

(C) x ? y
3

3

(D) ( ) ? ( )
x

1 2

1 2

y

(3)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是
开始

(A)15

(B)29

(C) 31

(D) 63

k ?0 , S ?0
k ? k ?1
S ? S ? 2k

S ? 20?
否 输出 S



结束

0 y0 ? ”是“ (4) “x?,

y x ? ? 2 ”的 x y

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)将函数 f ( x) ? cos 2 x 图象上所有点向右平移

π 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象, 4 π 2 3 π 4

若 g ( x) 在区间 [0, a] 上单调递增,则实数 a 的最大值为 (A)

π 8

(B)

π 4

(C)

(D)

1

(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱长为 (A) 5 (B) 2 2 (C) 3 (D) 3 2

2

1

1

2 侧视图

正视图

俯视图

(7)已知过定点 ? (2, 0) 的直线 l 与曲线 y ?

2 ? x 2 相交于 Α , Β 两点, Ο 为坐标原点,
(C) 120
?

当 ?ΑΟΒ 的面积最大时,直线 l 的倾斜角为 (A) 150
?

(B) 135

?

(D) 30

?

(8) “现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游 泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项” .规定每一项运动的 前三名得分都分别为 a , b , c ( a ? b ? c 且 a, b, c ? N ) ,选手最终得分为各项得分之 和.已知甲最终得 22 分,乙和丙最终各得 9 分,且乙的马术比赛获得了第一名,则游泳 比赛的第三名是 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)乙和丙都有可能
?

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
(9)已知集合 A ? x 2 x ?1 ? 1 错误!未找到引用源。 , B ? x x( x ? ?) ? 0 错误!未找到 引用源。 ,则 A ? B ? .错误!未找到引用源。 . (10)在平面直角坐标系中,已知点 A? ?1,0? , B ?1,2? , C ?3, ?1? ,点 P ? x, y ? 为 ?ABC 边界及 内部的任意一点,则 x ? y 的最大值为

?

?

?

?

(11)已知平面向量 a , b 满足 (a ? b) ? (2a ? b) ? ?4 ,且 a ? 2 , b ? 4 ,则 a 与 b 的夹角 等于 .
2

(12)设函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0, 则 f (1) ? 3 ? x ? a, x ? 0,


;若 f ( x) 在其定义域内为单调递增函数,

则实数 a 的取值范围是

x2 y 2 2 (13)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F .设这两 a b
曲线的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则点 P 的横坐标是 程为 . ;该双曲线的渐近线方

(14)设 P 为曲线 C1 上动点, Q 为曲线 C2 上动点,则称 PQ 的最小值为曲线 C1 , C2 之间
2 2 2 2 的 距 离 , 记 作 d (C1 , C2 ) . 若 C1 : x ? y ? 2 , C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2 , 则

x d (C1 , C2 ) ? _____; 2 y? 0 ,C4 : ln x ? ln 2 ? y , 若 C3 :e ? 则 d (C3 , C4 ) ? _______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分)

B, C 的对边分别为 a , b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 且 a ? b ? c , 3c ? 2b sin C =0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 3 , c ? 1 ,求 a 和△ ABC 的面积.

(16) (本小题满分 13 分) 已知数列 { an } 是首项 a1 ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列.设 bn ? 2log 1 an ? 1 3 3 3

( n ? N* ) .
(Ⅰ)求证:数列 { bn } 为等差数列; (Ⅱ)设 cn ? an ? b2n ,求数列 { cn } 的前 n 项和 Tn .

(17) (本小题满分 13 分) 某中学随机选取了 40 名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率
3

分布直方图.观察图中数据,完成下列问题. (Ⅰ)求 a 的值及样本中男生身高在 [185,195] (单位: cm )的人数; (Ⅱ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生 的平均身高; (Ⅲ)在样本中,从身高在 [145,155) 和 [185,195] (单位: cm )内的男生中任选两人,求这 两人的身高都不低于 185 cm 的概率.
频率 组距

0.040

0.025 0.020 a 0.005 O 145 155 5 165 175 185 195 200
身高(cm)

(18) (本小题满分 14 分)

?ACB ? 90? ,AC ? BC ? 1 , 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1 ? 底面 ABC ,

AA1 ? 2 , D 是棱 AA1 的中点.
(Ⅰ)求证: B1C1

? 平面 BCD ;
A1

C1

B1

(Ⅱ)求三棱锥 B ? C1CD 的体积; (Ⅲ)在线段 BD 上是否存在点 Q ,使得 CQ ? BC1 ? 请说明理由.

D

C A

B

4

(19) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 W : ? ? 1 (b ? 0) 的一个焦点坐标为 ( 3,0) . 4 b2
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程和离心率; (Ⅱ)若椭圆 W 与 y 轴交于 A , B 两点( A 点在 B 点的上方) , M 是椭圆上异于 A , B 的 任意一点,过点 M 作 MN ? y 轴于 N , E 为线段 MN 的中点,直线 AE 与直线

y ? ?1 交于点 C , G 为线段 BC 的中点, O 为坐标原点.求 ?OEG 的大小.

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ?

a 2 x ? x ? a ( a ? R) . 2

(Ⅰ)若直线 x ? m ? m ? 0? 与曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 分别交于 M , N 两点.设曲线

y ? f ( x) 在点 M 处的切线为 l1 , y ? g ( x) 在点 N 处的切线为 l2 .
(ⅰ)当 m ? e 时,若 l1 ? l2 ,求 a 的值; (ⅱ)若 l1

? l2 ,求 a 的最大值;

(Ⅱ) 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x1 , 且 x1 ? x2 . x2 , 若 ? ? 0 ,且 ? ln x2 ? ? ? 1 ? ln x1 恒成立,求 ? 的取值范围.

5

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试(文史类)
一、 题号 答案 二、 题 号 答 案 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. (1) B (2) D (3) C (4) A (5) B (6) C (7) A (8) B 2017.5

填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) (10) (11) (12) 2;(??,1] (13) (14)

? x 1 ? x ? 2?

3

? 3

3; y ? ? 3x

2;
2 ? 2 ln 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3c ? 2b sin C =0 , 所以 3 sin C ? 2sin B sin C ? 0 . 因为 0 ? C ? π ,所以 sin C ? 0 , 所以 sin B ?

3 . 2
π . 3
????6 分

因为 0 ? B ? π ,且 a ? b ? c ,所以 B ? (Ⅱ)因为 b ? 3 , c ? 1 ,

所以由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

得 ( 3) ? a ? 1 ? 2a ?1?
2 2

1 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 . 2

解得 a ? 2 或 a ? ?1 (舍). 所以 a ? 2 .

1 1 3 3 . S?ABC = ac sin B ? ? 2 ?1? ? 2 2 2 2
(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得: an ?

????13 分

1 1 n ?1 1 n ?( ) ? ( ) . 3 3 3

1 bn ? 2log 1 ( )n ? 1=2n ? 1 ( n ? N* ). 3 3
6

则 bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 ? 2 . 所以数列 { bn } 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ????6 分

b2n ? 4n ?1 ,则数列 { b2n } 是以 3 为首项, 4 为公差的等差数列.
1 cn ? an ? b2 n ? ( ) n ? 4n ? 1 . 3 1 1 1 n 则 Tn ? ? ? ... ? ( ) ? 3 ? 7 ? ... ? (4n ? 1) . 3 9 3 1 1 ? [1 ? ( ) n ] 3 3 + (3 ? 4n ? 1) ? n . 即 Tn ? 1 2 1? 3 1 1 1 n 2 即 Tn ? 2n ? n ? ? ? ( ) ( n ? N* ). 2 2 3
(17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据题意,

????13 分

(0.00 ?5 a?

0 . 0?2 0

0? .025

0 ?. 0 4 ? .0) 10

1

解得 a ? 0.010 . 所以样本中学生身高在 [185,195] 内(单位: cm )的人数为

40 ? 0.01?10 ? 4 .
(Ⅱ)设样本中男生身高的平均值为 x ,则

?????4 分

x ? 150 ? 0.05 ? 160 ? 0.2 ? 170 ? 0.4 ? 180 ? 0.25 ? 190 ? 0.1
? 7.5 ? 32 ? 68 ? 45 ? 19 ? 171.5 .
所以,该校男生的平均身高为 171.5 cm . (Ⅲ)样本中男生身高在 [145,155) 内的人有 ????8 分

40 ? 0.005 ?10 ? 2 (个) ,记这两人为 A, B .
由(Ⅰ)可知,学生身高在 [185,195] 内的人有 4 个,记这四人为 a, b, c, d . 所以,身高在 [145,155) 和 [185,195] 内的男生共 6 人. 从这 6 人中任意选取 2 人, 有 ab, ac, ad , aA, aB, bc, bd , bA, bB, cd , cA, cB, dA, dB, AB , 共 15 种情况.

7

设所选两人的身高都不低于 185 cm 为事件 M , 事件 M 包括 ab, ac, ad , bc, bd , cd ,共 6 种情况. 所以,所选两人的身高都不低于 185 cm 的概率为

P(M ) ?

6 2 ? . 15 5

??????13 分

(18) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, B1C1

? BC ,

且 BC ? 平面 BCD , B1C1 ? 平面 BCD , 所以 B1C1

? 平面 BCD .

??????4 分

(Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABC , ?ACB ? 90? , 所以 AA1 ? BC , AC ? BC , 则 BC ? 平面 AAC 1 1C . 即 BC ? 平面 C1CD .

1 1 1 1 1 1 S? C1CD ? BC ? ? CC1 ? AC ? BC ? ? ? 2 ?1?1 ? . ???9 分 3 3 2 3 2 3 1 (Ⅲ)因为在侧面 ACC1 A1 中, AC ? AA1 , AA1 ? AC , D 是棱 AA1 的中点, 2
所以 VB ?CC1D ? 所以 ?A 1DC1 ? 45?, ?ADC ? 45? .则 C1 D ? DC . 因为 BC ? 平面 C1CD , 所以 BC ? C1D . 所以 C1D ? 平面 BCD . 又 C1D ? 平面 C1DB , 所以平面 BCD ? 平面 C1DB ,且平面 BCD ? 平面 C1DB ? BD , 过点 C 作 CQ ? BD 于 Q ,所以 CQ ? 平面 C1DB . 则 CQ ? BC1 . 所以在线段 BD 上存在点 Q ,使得 CQ ? BC1 . (19) (本小题满分 14 分)
2 2 2 解:(Ⅰ)依题意, a ? 2 , c ? 3 ,所以 b ? a ? c ? 1 .

????14 分

8

x2 ? y 2 ? 1. 则椭圆 W 的方程为 4
离心率 e ?

c 3 . ? a 2
x0 , y0 ) . 2

????4 分

(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) , x0 ? 0 ,则 N (0, y0 ) , E ( 又 A (0,1) ,所以直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

2( y0 ? 1) x. x0

令 y ? ?1 ,则 C (

x0 , ?1) . 1 ? y0

又 B (0, ?1) , G 为线段 BC 的中点,所以 G (
所以 OE ? (

x0 , ?1) . 2(1 ? y0 )

??? ?

??? ? x0 x x0 , y0 ) , GE ? ( 0 ? , y0 ? 1) , 2 2 2(1 ? y0 )

??? ? ??? ? x x x0 OE ? GE ? 0 ( 0 ? ) ? y0 ( y0 ? 1) 2 2 2(1 ? y0 )

?

x02 x02 ? ? y0 2 ? y0 . 4 4(1 ? y0 )
x0 2 ? y0 2 ? 1 ,所以 x02 ? 4 ? 4 y02 . 4

因为点 M 在椭圆 W 上,则

??? ? ??? ? 则 OE ? GE ? 1 ?
??? ? ??? ?

x0 2 ? y0 ? 1 ? y0 ?1 ? y0 ? 0 . 4(1 ? y0 )
?

因此 OE ? GE .故 ?OEG ? 90 . ?????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 x x ? 0 .

?

?

f ?( x)? 1 ? ln x , g ?( x) ? ax ? 1 .
(ⅰ)当 m ? e 时, f ?(e) ? 2 , g ?(e) ? ae ? 1 . 因为 l1 ? l2 ,所以 f ?(e) ? g ?(e) ? ?1 . 即 2(ae ? 1) = ?1 . 解得 a ? ?

3 . 2e
9

??????3 分

(ⅱ)因为 l1

? l2 ,则 f ?(m) ? g ?(m) 在 ?0, +?? 上有解.

即 ln m ? am ? 0 在 ?0, +?? 上有解. 设 F ( x) ? ln x ? ax , x ? 0 , 则 F ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? . x x

(1)当 a ? 0 时, F ?( x) ? 0 恒成立,则函数 F ( x) 在 ?0, +?? 上为增函数.

1? 当 a ? 0 时,取 x ? ea , F (ea ) ? a ? aea ? a(1 ? ea ) ? 0.
取 x ? e , F (e)=1 ? ae ? 0 , 所以 F ( x) 在 ?0, +?? 上存在零点.

2? 当 a ? 0 时, F ( x) ? ln x 存在零点, x ? 1 ,满足题意.
(2)当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,则 x ?

1 . a

1 a 1 1 所以 F ( x) 的最大值为 F ( ) ? ln ? 1 ? 0 . a a 1 解得 0<a ? . e
取 x ? 1 , F (1)= ? a ? 0 .

则 F ( x) 在 (0, ) 上为增函数, ( , ??) 上为减函数.

1 a

因此当 a ? (0, ] 时,方程 F ( x) ? 0 在 ?0, +?? 上有解. 所以, a 的最大值是

1 e

1 . e

??????8 分

另解:函数 f ( x) 的定义域为 x x ? 0 .

?

?

f ?( x) ? 1 ? ln x , g ?( x) ? ax ? 1 .
则 f ?(m) ? 1 ? ln m , g ?(m) ? am ? 1 . 因为 l1

? l2 ,则 f ?(m) ? g ?(m) 在 ?0, +?? 上有解.

即 ln m ? am 在 ?0, +?? 上有解. 因为 m ? 0 ,所以 a ?

ln m . m
10

令 F ( x) ?

得 x ? e.

ln x ( x ? 0 ). x 1? l n x F ?( x )? ? 0 . 2 x

当 x ? (0, e) , F ?( x) ? 0 , F ( x) 为增函数; 当 x ? ? e, ??? , F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数; 所以 F ( x ) max ? F (e) ? 所以, a 的最大值是

1 . e
??????8 分

1 . e a 2 (Ⅱ) h( x) ? x ln x ? x ? x ? a 2

(x ? 0 ) ,

h?( x) ? ln x ? ax .
因为 x1 , x2 为 h( x) 在其定义域内的两个不同的极值点, 所以 x1 , x2 是方程 ln x ? ax ? 0 的两个根. 即 ln x1 ? ax1 , ln x2 ? ax2 . 两式作差得, a ?

ln x1 ? ln x2 . x1 ? x2

因为 ? ? 0, 0 ? x1 ? x2 , 由 ? ln x2 ? ? ? 1 ? ln x1 , 得 1 ? ? ? ln x1 ? ? ln x2 . 则 1 ? ? ? a( x1 ? ? x2 ) ? a ?

1? ? x1 ? ? x2

?

ln x1 ? ln x2 1? ? ? x1 ? x2 x1 ? ? x2 x1 (1 ? ? )( x1 ? x2 ) ? . x2 x1 ? ? x2 x1 ,则 t ? (0,1) ,由题意知: x2

? ln

令t ?

(1 ? ? )(t ? 1) 在 t ? (0,1) 上恒成立, t?? (1 ? ? )(t ? 1) (t ) ? ln t ? 令? , t ??
ln t ?
11

则 ? ?(t ) ? ?

1 (1 ? ? )2 (t ? 1)(t ? ? 2 ) = . t (t ? ? )2 t (t ? ? )2

2 (1) 当 ? ? 1 ,即 ? ? 1 时,

?t ? (0,1) , ? ?(t ) ? 0 ,所以 ? (t ) 在 ? 0,1? 上单调递增.
又 ? (1) ? 0 ,则 ? (t ) ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立.
2 (2) 当 ? ? 1 ,即 0 ? ? ? 1 时,

t ? ? 0, ? 2 ? 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 ? 0, ? 2 ? 上为增函数;
2 1 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 ? 2, 1 上为减函数. 当t ? ? ,

?

?

?

?

又 ? (1) ? 0 ,所以 ? (t ) 不恒小于 0 ,不合题意. 综上, ? ? [1, ??) . ??????13 分

12



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