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高三数学第八章立体几何复习学案(教师版)


第八章立体几何

第八章 第1节
【高考考情解读】

立体几何 空间几何体

高考对本节知识的考查主要有以下两个考向: 1.三视图几乎是每年的必考内容, 一般以选择题、 填空题的形式出现, 一是考查相关的识图, 由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算 等,均属低中档题. 2.对于空间几何体的表面积与体积,由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的 接切问题相结合, 特别是已知空间几何体的三视图求表面积、 体积是近两年高考考查的热点, 题型一般为选择题或填空题. 【知识梳理】 1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关 系.

2. 空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视 图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线. 3. 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ), z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段, 直观图中仍分别平行于坐标轴. 平行于 x 轴和 z 轴的 线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4. 空间几何体的两组常用公式
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(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); 1 ②S 锥侧= ch′(c 为底面周长,h′为斜高); 2 1 ③S 台侧= (c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长,h′为斜高); 2 ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 ③V 台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 ④V 球= πR3. 3 【典型题型解析】 考点一 三视图与直观图的转化 例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧视图可能为 ( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

答案 解析

(1)B (2)D (1)底面为正三角形,一侧棱垂直于底面.由虚线知可

能有一侧棱看不见. 由题知这个空间几何体的侧视图的底面边 长是 3,故其侧视图只 可能是选项 B 中的图形. (2)如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的投影为 B,故选 D.

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第八章立体几何

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法 得到的三个平面投影图, 因此在分析空间几何体的三视图问题时, 先根据俯视图确定几 何体的底面, 然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 调整实线和虚 线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. (1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标 分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面 为投影面,则得到的正视图可以为 ( )

(2)(2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

答案 解析

(1)A (2)D (1)根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选 A.

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(2)根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线, 因此俯视图不可能是 D. 考点二 几何体的表面积及体积 例2 (1)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( )

A.8

B.6 2

C.10

D.8 2

(2)(2013· 浙江 ) 若某几何体的三视图 ( 单位: cm) 如图所示,则此几何体的体积等于 ________ cm3.

答案 解析

(1)C (2)24 (1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥, SA⊥平面 ABC, △ABC

中∠ABC=90° ,SA=AB=4,BC=3,因此图中四个面的三角形均为 直角三角形,SB=4 2,AC=5,S△SAC=10,S△SAB=8,S△SBC=6 2, S△ABC=6,所以最大面积是 10. (2)由三视图可知,其直观图为: AB=4,AC=3,∠BAC=90° , ∴BC=5.

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第八章立体几何

作 AH⊥BC 于 H, AB· AC 12 AH= = . BC 5 作 A1M⊥BB1 于 M,A1N⊥CC1 于 N.连接 MN. 1 12 1 V= ×(5×3)× +(3×4)× ×2=24. 3 5 2 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是 关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放 在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何 体以易于求解. (1)(2013· 江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.200+9π C.140+9π

B.200+18π D.140+18π

(2)(2012· 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

答案 解析

(1)A (2)38 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成.

1 V=10×4×5+ ×π×32×2=200+9π. 2 (2)将三视图还原为直观图后求解. 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱, 所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π=38. 考点三 多面体与球 例 3 如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对

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角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一 个球面上,则该球的体积为 ( )

A.

3 π 2

B.3π

C.

2 π 3

D.2π

要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定 球心的位置,由于△BCD 是直角三角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角 形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点 A 的距离等于这个点到 B,C,D 的距 离即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可. 答案 A 解析 如图,取 BD 的中点 E,BC 的中点 O, 连接 AE,OD,EO,AO. 由题意,知 AB=AD,所以 AE⊥BD. 由于平面 ABD⊥平面 BCD,AE⊥BD, 所以 AE⊥平面 BCD. 因为 AB=AD=CD=1,BD= 2, 所以 AE= 2 1 3 ,EO= .所以 OA= . 2 2 2

1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD= BC= , 2 2 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 4 3 3 所以该球的体积 V= π( )3= π.故选 A. 3 2 2 多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元 素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直 径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a, PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2 求解. (1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 3 . 2

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第八章立体几何

全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ( )

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上,则这个球的表面积是________.

答案 解析

(1)D (2)16π (1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示, PA⊥面 ABCD,

△PAC、△PBC、△PCD 均为直角三角形,且斜边相同,所以球心 1 为 PC 中点 O, OA= PC=OB=OD=2 3.球的表面积为 S=4π(OA)2 2 =48π. (2)该几何体是一个正三棱柱, 底面边长为 3, 高为 2.设其外接球的球心为 O,上、下底面中心分别为 B、C,则 O 为 BC 的中点,如图所示. 2 则 AB= ×3sin 60° = 3,BO=1, 3 ∴该棱柱的外接球半径为 R= AB2+BO2=2, ∴球的表面积是 S=4πR2=16π.

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分, 表面积就是全面积, 是一个空间几何体中“暴 露”在外的所有面的面积, 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”. 多面体的表 面积就是其所有面的面积之和, 旋转体的表面积除了球之外, 都是其侧面积和底面面积 之和. 2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关
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键一环就是求出这个量. 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面. 3. 一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体, 而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方 法进行补形)、 还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体, 不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几 何体的一部分来求解). 4. 长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 a2+b2+c2 =2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R. 【当堂达标】 1. 从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体, 其三视图如图,则该几何体体积的值为 ( )

A.5 2 C.9 答案 C

B.6 2 D.10

解析 由三视图知,其直观图为 棱锥 A-BCDE. 27 1 9 V=27- - ×3× =9.故选 C. 2 3 2 2. 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积 分别为 A. 6π 答案 A 解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.
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2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为 2 2 2 B.2 6π C.3 6π D.4 6π

(

)

第八章立体几何

AC= ?AB· AD= 据题意?AC· ?AB· AD=

2, 3, 6,

?AB= 2, 解得?AC=1, ?AD= 3,
6 . 2

∴长方体的对角线长为 AB2+AC2+AD2= 6, ∴三棱锥外接球的半径为

4 6 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π·( )3= 6π. 3 2 【点击高考】 一、选择题 1. 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则原梯形的面积为 A.2 C.2 2 答案 D 1 解析 直观图为等腰梯形,则上底设为 x,高设为 y,则 S 直观图= y(x+2y+x)= 2, 2 1 由直观图可知原梯形为直角梯形,其面积 S= · 2 2y· (x+2y+x)=2 2× 2=4. 2 2. (2013· 湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个 面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A. 3 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 ( ) B. 2 D.4 ( )

答案 D 解析 ∵俯视图是面积为 1 的正方形, ∴此正方体水平放置, 又侧视图是面积为 2的矩形, ∴正方体的对角面平行于投影面, 此时正视图和侧视图相同,面积为 2. 3. (2013· 课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

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A.16+8π C.16+16π 答案 A

B.8+8π D.8+16π

解析 将三视图还原成直观图为: 上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体. 1 所以 V=2×2×4+ ×22×π×4 2 =16+8π. 故选 A. 4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( )

A.

3?8+π? 6

B.

3?8+2π? 6

C.

3?6+π? 6

D.

3?9+2π? 6

答案 A 解析 该几何体由底面半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 的正方形的四棱锥组成, 1 1 1 3π 4 3 且高都为 3, 因此该几何体的体积 V= ×( ×π×12)× 3+ ×(2×2)× 3= + 3 2 3 6 3 = 3?8+π? ,故选 A. 6 ( )

5. (2012· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

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第八章立体几何

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 B

B.30+6 5 D.60+12 5

解析 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图的图形特征求其表面积. 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3, AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE, 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41, 1 则 AB 边上的高 h=6,故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,该几何体的体积为 ( )

A.

3 π 3

B.

3 π 6

C.

3 π 2

D. 3π

答案 A
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解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分, 然后把截面放在平面上, 底面 相对接的图形,圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,故圆锥的高为 h= 22-12= 3.易 1 1 3 知该几何体的体积就是整个圆锥的体积,即 V 圆锥= πr2h= π×12× 3= π.故选 A. 3 3 3 7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使 平面 ABC⊥平面 ACD,得到如右图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点), 且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图象大致是 ( )

答案 B 解析 由平面 ABC⊥平面 ACD,且 O 为 AC 的中点,可知 BO⊥平面 ACD,易知 BO= 1 2,故三棱锥 N-AMC 的高为 ON=2-x,△AMC 的面积为 · MC· AC· sin 45° = 2x,故 2 1 2 三棱锥 N-AMC 的体积为 y=f(x)= · (2-x)· 2x= (-x2+2x)(0<x<2),函数 f(x)的图 3 3 象为开口向下的抛物线的一部分. 二、填空题 8. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分 别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______. 答案 1 6

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 VD1-EDF=VF-DD1E= S△D1DE· AB 3 1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 9. (2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1∶V2=________.

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第八章立体几何

答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h, 1 ?1 AE· sin∠DAE? h AD· ? 3 ?2 V1 则 = V2 1 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 = 1 . 24

10.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱 锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________. 答案 16π 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b≥4 ab=8 2,当且 仅当 a=b=2 2时等号成立,此时四边形 ABCD 为正方形,其中心到四个顶点的距离 相等,均为 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上,这个球的表面 积是 4π×22=16π. 11.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为________.

答案

2π 1 + 6 6

解析 据三视图可知,该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的 组合体,其直观图如图所示,其中 BA,BC,BP 两两垂直,且 BA=BC =BP=1,∴(半)球的直径长为 AC= 2,∴该几何体的体积为 1 4 AC 1 1 2π 1 V=V 半球+VP-ABC= × π( )3+ × ×BA· BC· PB= + . 2 3 2 3 2 6 6

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三、解答题 12.(2013· 福建)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P—ABCD 的正视 图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D—PBC 的体积. (1)解 在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E.

由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4,依据勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD, 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60° , 得 PD=4 3. 正视图如图所示:

(2)证明 取 PB 中点 N,连接 MN,CN. 在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, 1 ∴MN∥AB,MN= AB=3, 2 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形, ∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC. (3)解 1 VD—PBC=VP—DBC= S△DBC· PD, 3

又 S△DBC=6,PD=4 3, 所以 VD—PBC=8 3. 13.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点
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第八章立体几何

F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱 锥 P—EFCB 的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB 2 1 1 x+y?2 = xy≤ ? =1. 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin 30° =2× =1. 2 1 SEFCB= (2+4)×2=6. 2 1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3

第2节
【高考考情解读】

空间中的平行与垂直

高考对本节知识的考查主要是以下两种形式: 1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质 定理对命题真假进行判断,属基础题. 2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以
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棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等. 【知识梳理】 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平行的判定定理 b?α??a∥α a?α ? ?

?

a∥α 线面平行的性质定理

? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

a?α,b?α? 线面垂直的判定定理 a∩b=O

? ??l⊥α l⊥a,l⊥b ? ?
a⊥α? ? ??a∥b b⊥α? ?

线面垂直的性质定理

2. 面面平行与垂直的判定定理、性质定理 a⊥α? ? ??α⊥β ? a?β? α⊥β 面面垂直的性质定理 a?α a⊥c a?β

面面垂直的判定定理

α∩β=c

? ? ??a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ??α∥β a∩b=O ? a∥α,b∥α?
b ?β α∥β

面面平行的性质定理

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条件,缺一不可. 3. 平行关系及垂直关系的转化示意图

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第八章立体几何

【典型题型解析】 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 (2)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 答案 解析 (1)B (2)B (1)对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面、相交;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱 ( ) ( )

柱的三条棱而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面,如正方 体一个顶点的三条棱.所以选 B. (2)A 中直线 l 可能在平面 α 内;C 与 D 中直线 l,m 可能异面;事实上由直线与平面垂 直的判定定理可得 B 正确. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、 空间位置关系的各种情况, 以及空间线面垂直、 平行关系的判定定理和性质定理进行判 断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何 中的结论不能完全移植到立体几何中. (1)(2013· 广东)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列 命题中正确的是 A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β
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(

)

(2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是 A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 答案 解析 (1)D (2)D

(

)

(1)A 中,m 与 n 可垂直、可异面、可平行;B 中 m 与 n 可平行、可异面;C 中

若 α∥β,仍然满足 m⊥n,m?α,n?β,故 C 错误;故 D 正确. (2)若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则 a∥α,a∥β,故排除 A. 若 α∩β=l,a?α,a∥l,则 a∥β,故排除 B. 若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.故选 D. 考点二 线线、线面的位置关系 例 2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC= ∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求证:EC∥平面 PAB. 证明 (1)由题意得 PA=CA,∵F 为 PC 的中点,

∴AF⊥PC.∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC, ∴CD⊥PC.∵E 为 PD 的中点,F 为 PC 的中点, ∴EF∥CD,∴EF⊥PC. ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF. (2)方法一 如图,取 AD 的中点 M, 连接 EM,CM. 则 EM∥PA. ∵EM?平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,MC=AM, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC?平面 PAB,AB?平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB.∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC?平面 EMC,
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第八章立体几何

∴EC∥平面 PAB. 方法二 如图,延长 DC、AB,设它们交于点 N,连接 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° , AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. ∵E 为 PD 的中点,∴EC∥PN. ∵EC?平面 PAB,PN?平面 PAB, ∴EC∥平面 PAB. (1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的 性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定 定理易得. (2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要 多画出一些图形辅助使用. 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)若 AC1⊥平面 A1BD,求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在(2)的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-A1C1D 的体积. (1)证明 如图所示,连接 AB1 交 A1B 于 E,连接 ED. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,且 AB=BB1, ∴侧面 ABB1A1 是正方形, ∴E 是 AB1 的中点,又已知 D 为 AC 的中点, ∴在△AB1C 中,ED 是中位线, ∴B1C∥ED,∴B1C∥平面 A1BD. (2)证明 ∵AC1⊥平面 A1BD,∴AC1⊥A1B. ∵侧面 ABB1A1 是正方形,∴A1B⊥AB1. 又 AC1∩AB1=A, ∴A1B⊥平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. (3)解 ∵AB=BC,D 为 AC 的中点,

∴BD⊥AC,∴BD⊥平面 DC1A1. ∴BD 是三棱锥 B-A1C1D 的高.
163

由(2)知 B1C1⊥平面 ABB1A1, ∴BC⊥平面 ABB1A1. ∴BC⊥AB,∴△ABC 是等腰直角三角形. 又∵AB=BC=1,∴BD= ∴AC=A1C1= 2. 1 1 2 1 2 1 ∴三棱锥 B-A1C1D 的体积 V= · BD· S△A1C1D= × × A1C1· AA1= × 2×1= . 3 3 2 2 12 6 考点三 面面的位置关系 例 3 如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥ 平面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2. (1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC. 证明 (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M 为线段 BD 的中点, 2 , 2

1 ∴AM= BD= 2,AM⊥BD. 2 ∵AE=MC= 2, 1 ∴AE=MC= BD= 2,∴BC⊥CD. 2 ∵AE⊥平面 ABD,MC∥AE, ∴MC⊥平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 CBD, ∴AM⊥平面 CBD. 又 MC 綊 AE, ∴四边形 AMCE 为平行四边形, ∴EC∥AM, ∴EC⊥平面 CBD,∴BC⊥EC, ∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面 CDE, ∴平面 BCD⊥平面 CDE. (2)∵M 为 BD 中点,N 为 ED 中点, ∴MN∥BE 且 BE∩EC=E, 由(1)知 EC∥AM 且 AM∩MN=M, ∴平面 AMN∥平面 BEC. (1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平 面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.

164

第八章立体几何

(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将 证明面面垂直转化为证明线面垂直, 一般先从现有直线中寻找, 若图中不存在这样的直 线,则借助中线、高线或添加辅助线解决. 如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE. 证明 (1)如图,取 CE 的中点 G,连接 FG,BG.

1 ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 考点四 图形的折叠问题 例4 (2012· 北京)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化.第(1)问证
165

明线面平行,可以证明 DE∥BC;第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明 A1F⊥平面 BCDE;第(3)问取 A1B 的中点 Q,再证明 A1C⊥平面 DEQ. (1)证明 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明 由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:

如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情 况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突 破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要 分析折叠前的图形. (2013· 广东)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB, AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到 如图(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

166

第八章立体几何

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3 (1)证明 在等边△ABC 中,AD=AE,∴ AD AE = 在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成 DB EC

立.∴DE∥BC, 又 DE?平面 BCF,BC?平面 BCF,∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点,∴AF⊥CF. ∵在三棱锥 A-BCF 中,BC= 2 , 2

1 1 1 ∴BC2=BF2+CF2= + = ,∴CF⊥BF. 4 4 2 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解 1 1 1 1 1 1 3 3 1 VF-DEG=VE-DFG= × ×DG×FG×GE= × × ×? × ?× = . 3 2 3 2 3 ?3 2 ? 3 324

1. 证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 2. 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. 3. 证明面面平行的方法 证明面面平行, 依据判定定理, 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可, 从而将证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. 4. 证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线 线垂直;
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(2)利用勾股定理逆定理; (3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5. 证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平 面等. 6. 证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面过另一个面的一条垂线, 将证明 面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线, 则借助中点、高线或添加辅助线解决. 【当堂达标】 1. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的距离与△BEF 的面积相等 答案 D 解析 ∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D, ∴AC⊥BE,故 A 正确. ∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在线段 B1D1 上运动, 故 EF∥平面 ABCD.故 B 正确. C 中由于点 B 到直线 EF 的距离是定值,故△BEF 的面积为定值, 又点 A 到平面 BEF 的距离为定值,故 VA-BEF 不变.故 C 正确. 由于点 A 到 B1D1 的距离与点 B 到 B1D1 的距离不相等,因此△AEF 与△BEF 的面积不 相等,故 D 错误. 2. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你 的结论. (1)证明 如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ( )

168

第八章立体几何

所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B?面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥A1B. 又因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以 A1B⊥面 ADC1B1. 因为 A1B?面 A1BE,所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)解 当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE.

证明如下: 1 易知:EF∥C1D,且 EF= C1D. 2 1 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?面 A1BE,OE?面 A1BE. 所以 B1F∥面 A1BE. 【点击高考】 一、选择题 1. 已知 α,β,γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确的是 A.若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α B.若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β D.若 α⊥β,α⊥γ,则 γ⊥β 答案 C 解析 当 α⊥β,l⊥β 时,l 可以在 α 内,∴选项 A 不正确; 如果 α 过 l 上两点 A,B 的中点,则 A,B 到 α 的距离相等, ∴选项 B 不正确; 当 α⊥β,α⊥γ 时,可以有 β∥γ,∴选项 D 不正确,∴正确选项为 C. 2. 已知直线 m,n 和平面 α,则 m∥n 的必要不充分条件是 A.m∥α 且 n∥α C.m∥α 且 n?α 答案 D B.m⊥α 且 n⊥α D.m,n 与 α 成等角 ( ) ( )

169

解析 m∥n 不能推出 m∥α 且 n∥α,m∥α,n∥α 时,m,n 可能相交或异面,为即不 充分也不必要条件,A 不正确;m⊥α,n⊥α 时,m∥n,为充分条件,但 m∥n 不能推 出 m⊥α,n⊥α,故 B 不正确;m∥n 不能推出 m∥α 且 n?α,m∥α,且 n?α 时,m 和 n 可能异面,为即不充分也不必要条件,故 C 不正确;m∥n 时,m,n 与 α 成等角,必 要性成立,但充分性不成立,故选 D. 3. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC 答案 D

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

解析 ∵在四边形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45° , ∠BAD=90° , ∴BD⊥CD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩CD=D,所以 AB⊥平面 ADC, 又 AB?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ADC,故选 D. 4. 下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确的命题是 A.①③ 答案 C 解析 ②平面 α 与 β 可能相交,③中 m 与 n 可以是相交直线或异面直线.故②③错, 选 C. 5. 一正四面体木块如图所示,点 P 是棱 VA 的中点,过点 P 将木块锯开, 使截面平行于棱 VB 和 AC,若木块的棱长为 a,则截面面积为( a A. 2
2

( B.②③ C.①④ D.②④

)

)

a B. 3

2

a2 C. 4 答案 C

a2 D. 5

解析 如图,在面 VAC 内过点 P 作 AC 的平行线 PD 交 VC 于点 D,在 面 VAB 内作 VB 的平行线交 AB 于点 F,过点 D 作 VB 的平行线交 BC 于
170

第八章立体几何

点 E.连接 EF,易知 PF∥DE,故 P,D,E,F 共面,且面 PDEF 与 VB a a2 和 AC 都平行,易知四边形 PDEF 是边长为 的正方形,故其面积为 ,故选 C. 2 4 6. 在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM, 若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是 A.12π C.36π 答案 C 解析 由 MN⊥AM 且 MN 是△BSC 的中位线得 BS⊥AM, 又由正三棱锥的性质得 BS⊥AC,所以 BS⊥面 ASC. 即正三棱锥 S-ABC 的三侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,外接球直径为 3SA=6. ∴球的表面积 S=4πR2=4π×32=36π.选 C. 二、填空题 7. 设 x,y,z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面;③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平 面,z 为直线;⑤x,y,z 为直线. 答案 ③④ B.32π D.48π ( )

解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行, 所以③正确; 因为垂直于同一条直线的 两个平面平行,所以④正确;若直线 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z,则可能有直线 x 在平 面 y 内的情况,所以①不正确;若平面 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z,则平面 x 与平面 y 可能相交,所以②不正确;若直线 x⊥直线 z,直线 y⊥直线 z,则直线 x 与直线 y 可能 相交、异面、平行,所以⑤不正确. 8. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, 底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. 答案 a 或 2a 解析 由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得 AC AF 2a 3a-x = ,即 = , A1F A1D x a

整理得 x2-3ax+2a2=0, 解得 x=a 或 x=2a.
171

9. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 答案 ②④ 解析 ①错误,PA?平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾;④正确,因为 BC⊥平面 PAC. 三、解答题 10. (2013· 重庆)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, PA=2 3, π BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, 求三棱锥 P-BDF 的体积. (1)证明 因为 BC=CD,所以△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解 三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积

1 1 2π S△BCD= BC· CD· sin∠BCD= ×2×2×sin = 3. 2 2 3 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD= · S · PA= × 3×2 3=2. 3 △BCD 3 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 8 1 1 1 1 1 故 VF-BCD= · S ·PA= × 3× ×2 3= , 3 △BCD 8 3 8 4 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 4 4 11.(2012· 广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD, 1 AB∥CD, PD=AD, E 是 PB 的中点, F 是 DC 上的点且 DF= AB, 2 PH 为△PAD 中 AD 边上的高.
172

第八章立体几何

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. (1)证明 因为 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD, 所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD. 因为 PH?平面 ABCD,AB∩AD=A,AB,AD?平面 ABCD, 所以 PH⊥平面 ABCD. (2)解 如图,连接 BH,取 BH 的中点 G,连接 EG.

因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG∥PH, 1 1 且 EG= PH= . 2 2 因为 PH⊥平面 ABCD, 所以 EG⊥平面 ABCD. 因为 AB⊥平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 AB⊥AD,所以底面 ABCD 为直角梯形, 1 所以 VE-BCF= S△BCF· EG 3 11 2 = ·· FC· AD· EG= . 32 12 (3)证明 取 PA 中点 M,连接 MD,ME. 1 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 綊 AB. 2 1 又因为 DF 綊 AB,所以 ME 綊 DF, 2 所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF∥MD. 因为 PD=AD,所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥平面 PAB, 所以 EF⊥平面 PAB. 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120° ,E, M 分别为 AB, DE 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE, F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE.
173

证明

(1)由题意,得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折而成的,

∴△A′DE≌△ADE. ∵∠ABC=120° ,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=60° . 又∵AD=AE=2, ∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形. 如图,连接 A′M,MC, ∵M 是 DE 的中点, ∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC2=DC2+DM2-2DC· DMcos 60° =42+12-2×4×1cos 60° , ∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M2+MC2=( 3)2+( 13)2=42=A′C2. ∴△A′MC 是直角三角形,∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M, ∴A′M⊥平面 BCD. 又∵A′M?平面 A′DE, ∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连接 FN,NB. ∵A′C=DC=4,F,N 分别是 A′C,DC 的中点, ∴FN∥A′D. 又∵N,E 分别是平行四边形 ABCD 的边 DC,AB 的中点, ∴BN∥DE. 又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N, ∴平面 A′DE∥平面 FNB. ∵FB?平面 FNB, ∴FB∥平面 A′DE.

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