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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件1新人教A版_图文

3.1.1数系的扩充和复数的概念

计数的需要
引入负整数
解方程x+3=1
引入分数
解方程3 x=5
引入无理数
解方程x2=2

自然数(正整数与零)

R
整数

Q
有理数 Z

实数

N

可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不能 实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。

问 题1:
一元二次方程 x2 ?1 ? 0 ,有没有实数根?
类比每一次数系的扩充过程,我们能否引 进一个新数,将实数集进行扩充,使得在 新的数集中,该问题能得到解决呢?
21:50

1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹 第一次开始讨论负数开平方的问题,当时
这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年, 法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数.1777年 瑞士数学家 欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”, 并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表 示它的单位.直到1801年,德国数学家高斯
系统地使用了i这个符号,于是使之通行于 世。
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问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家引
入一个新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且
规定:
(1) i2??1 ;
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.

问 题 2:
把实数和新引进的数i 像实数那 样进行运算,你得到什么样的数?
i 与实数b 相乘得bi ,规定0乘以i 等于0 bi 与实数a相加得a+bi
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自主学习
? 复数:形如____a_+_b_i(_a_,b__∈_R__)的__数____叫做 复数,常用字母___z _表示,全体复数构成 的集合叫做__复__数_集__,常用字母_C_表示.
? 复数的代数形式:___z_=_a_+_b_i_(a_,_b_∈__R_)_, _, 其中_a_叫做复数的实部,_b_叫做复数 的虚部,复数的实部和虚部都是_实_数_.
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知新
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字 母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集,
一般用字母C表示.
复数的代数形式:
z ? a ? bi (a ? R,b ? R)
实虚 部部
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小试牛刀

说出下列复数的实部和虚部?
实数

- 2 ? 1 i, 3-9 2i. - 3i, 2 .

3

2

虚数
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
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自主学习
? 对于复数a+bi(a,b∈R), ? 当且仅当___b=_0 _时,它是实数; ? 当且仅当_a=_0且_b_=0_时,它是实数0; ? 当____b≠0___时, 叫做虚数; ? 当__a=_0且_b_≠0__时, 叫做纯虚数;
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问 题 3:

复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

复数z=a+bi

?实数(b ? 0)

? ??虚数(b ?

?

0)

?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ??非纯虚数(a ? 0,b ?

0)

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问 题 4:
你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗?
虚 数 集 复数集C 纯 虚 数 集 实数集R
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问 题 5:
若复数a + bi = c + di(a, b,c,d ? R) a,b,c,d应满足什么条件呢?
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问题解决:

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

么我们就说这两个复数相等.即

a ? bi ? c ? di
思考 (a,b, c, d ? R)

?

?a ??b

? ?

c d

若a

?

bi

?

0(a、b

?

R)

????ba

? ?

0 0

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口答
1.若2-3i=a-3i,求实数a的值; 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值;
3.若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。
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例 1:完成下列表格(分类一栏填实数、虚数
或纯虚数)

2-3i

0 ?1?4i 23

6i

实部 2

0

?1 2

0

虚部 -3 0

4 3

6

分类

虚数 实数

虚数

纯虚 数

i2
-1 0
实数

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例2:
实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是

(1)实数?

(2)虚数? (3)纯虚数?

解:(1)当 m ?1 ? 0 ,即m ? 1 时,复数z 是实数.
(2)当m ?1 ? 0 ,即m ? 1 时,复数z 是虚数.
(3)当m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0,m即?m1 ?m?10??10?时0,复
数 z 是纯虚数.

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例3: 已知 (2x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i 其中

x, y ? R, 求 x与y.
解题思考:

复数相等 转化 求方程组的解

的问题

的问题

一种重要的数学思想:转化思想
解:根据复数相等的定义,得方程组

?2x ? 1 ? y ??1 ? ?(3 ? y)



x ? 5,y ?4 2

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虚数的引入

复数 z = a + bi (a,b∈R)

复数的分类
当b=0时z为实数; 当b?0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).

复数的相等

a+bi=c+di

a=c

(a, b,c,d?R) b=d

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一、教材第55页,A组1、2
二、《教辅资料》题型一、题 型二

练一练
当m为何实数时,复数

是 (1)实数 (2)虚数
m ? 1或m ? ?1 m ? 1且m ? ?1

(3)纯虚数

m ? ?2

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