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8.2.3椭圆的几何性质


椭圆第一定义:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)
| MF |= e.d | MF | ? e (0 ? e ? 1) 椭圆第二定义: d | MF | a2 d= 相对于焦点F2(c,0)的准线是 x ? e c 2 y M

a 相对于焦点F1(?c,0)的准线是 x ? ? 2 c a 相对于焦点F(0,c)的准线是 y ? c 2 a 相对于焦点F(0,-c)的准线是 y ? ? c 2 2a 两准线间的距离: c
a2 中心到准线的距离: c

?

F1

O

?F

2

x

y F1

? ?M
x

O
F2

1.求中心在坐标原点,其焦点是(2,0),相应准线是 x=4

的椭圆的标准方程.

2 2.求焦点是(2,0),相应准线是x=4,离心率是e= 的椭圆 3
的方程.

x y ? ?1 8 4

2

2

定义法

( x ? 2) ? y 2 ? |4? x| 3
2 2

5 x ? 4 x ? 9 y ? 28
2 2

3.两对称轴都与坐标轴 重合,离心率为0 .8 , 焦点与 9 相应准线的距离 等于 的椭圆的方程 4

x y x y ? ? 1或 ? ?1 25 9 9 25

2

2

2

2

x2 y2 4.已 知A(1,2) C : 在 + = 1上F是( 2,0), 在C上 16 12 求 一 点 使 | PA | +2 | PF | 最 小. P

7

分析:设 ( x0 , y0 )则 P
| PF | c 1 ? ? ? 2 | PF |? PQ PQ a 2

y P A O F

P M

Q

x

∴ PA +2 PF |= PA + PQ ∴|PA| |+2 | |PF |=| |PA| |+ PQ |
2 2

4 6 x y 故当A + , 5.F是 , P , Q三点共线时所求距离最小 P ( ,3 ,2) = 1的右焦点, P是其上一点 定点 25 9 利用圆锥曲线的定义:将折线段和的问题化归为 5 B( 2,1).则 | PB | + | PF | 的最小值 = _________ 。 平面上直线段最短来解决. 4

x y 5.F是 + = 1的右焦点, P是其上一点 定点 , 25 9 17 5 B( 2,1).则 | PB | + | PF | 的最小值 = _________ 。 4 4

2

2

| PB | ? | PQ |

y P

求此时点P的坐标。
B

P M
F

Q

O

x

10 2 P( , 1) 3

x2 y 2 6.已 知 点 F(4,0),B(2,2) 椭 圆 + 是 = 1内 的 点 , 25 9 M是 椭 圆 上 的 动 点 , 求 MF + MB 的 最 值 。
M

?

?
F1

B

?
F

x2 y2 例6.已知定点 A(?2, 3) ,点F为椭圆 ? ? 1 的右焦点, 16 12 点M在该椭圆上移动时,求|MA|+2|FM|的最小值,并求出此时
点M的坐标 1 解: a ? 4, b ? 2 3 , c ? 2 ?e ? ? 2 右焦点F(2,0),右准线l:x=8 设M到右准线l的距离为d,则 | FM | ? 2 ? 1 d 2 ∴2|MF|=d ∴|MA|+2|FM|=|MA|+d
由于点A在椭圆内,过A作AK?l,K为垂足,易证|AK|为|MA|+d 的最小值,其值为8+2=10 ∵M点的纵坐标为 3 ∴横坐标为 2 3 ∴|MA|+2|FM|的最小值为10,此时点M的坐标 ( 2 3 , 3 )
y M A O F1 d x l


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