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2018版高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修4(含解析) 201707241140


2.3.4 平面向量共线的坐标表示 1.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点) 2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线;并掌握三点共线的判断方法.(重点) 3.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点) [基础·初探] 教材整理 平面向量共线的坐标表示 阅读教材 P98“思考”以下至“例 6”以上内容,完成下列问题. 1.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,a,b 共线,当且仅当存在实数 λ ,使 a= λ b. 2.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ (x2,y2), 当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b(b≠0)共线. 注意:对于 2 的形式极易写错,如写成 x1y1-x2y2=0 或 x1x2-y1y2=0 都是不对的,因此 要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.( ) ) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( 【解析】 (1)正确.因为(4,8)=4(1,2),所以向量(1,2)与向量(4,8)共线. (2)正确.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. 【答案】 (1)√ (2)√ [小组合作型] 判定直线平行、三点共线 ? 1? (1)已知 A(1,-3),B?8, ?,且 A,B,C 三点共线,则 C 的坐标可以是( ? 2? A.(-9,1) C.(9,1) B.(9,-1) D.(-9,-1) ) (2)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),请判断直线 AB 与 CD 是 否平行? 【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2-x2y1=0,可证明有公共点的两个平行向量 共线,从而可证明三点共线. (2)判定两直线平行,先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线. 【自主解答】 (1)设点 C 的坐标是(x,y), 因为 A,B,C 三点共线, → → 所以AB∥AC. → ? 1? ? 7? 因为AB=?8, ?-(1,-3)=?7, ?, ? 2? ? 2? → AC=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3), 7 所以 7(y+3)- (x-1)=0,整理得 x-2y=7, 2 经检验可知点(9,1)符合要求,故选 C. 【答案】 C → → → (2)因为AB=(1,5)-(-1,1)=(2,4),AD=(4,11)-(-1,1)=(5,10),AC=(-2,- 1)-(-1,1)=(-1,-2), → → → → 所以AB=-2AC,AD=-5AC. → → → 所以AB∥AC∥AD. → → → 由于AB与AC,AD有共同的起点 A, 所以 A,B,C,D 四点共线, 因此直线 AB 与 CD 重合. 三点共线的条件以及判断方法: 若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法: ?1?直接利用上述条件,计算?x2-x1??y3-y1?-?x3-x1??y2-y1?是否为0; → → ?2?任取两点构成向量,计算出两向量如AB,AC,再通过两向量共线的条件进行判断. [再练一题] → → 1.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线 AB 平行于直 线 CD 吗? → 【解】 因为AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), → CD=(2-1,7-5)=(1,2). 又因为 2

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