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双曲线练习题及答案


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双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式: 1: 定义: 双曲线上任意一点 P 与双曲线焦点的连线段, 叫做双曲线的焦半径。 2.已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a

运用双曲线的定义 例 1.若方程 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则角 ? 所在象限 是( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
x2 y2 练习 1.设双曲线 ? ? 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15,则 P 点到 (?5,0) 的 16 9 距离是( ) A.7 B.23 C.5 或 23 D.7 或 23
王新敞
奎屯 新疆

例 2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆
2 2 2

5y 2 x2 + =1 的两个顶点,双曲线的两条准 10 32

线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是(
2

) 。

(A)

y y y2 y2 x x x x2 - =1 (B) - =1 (C) - =1 (D) - =1 6 4 4 6 5 3 3 5
2

练习 2. 离心率 e= 2 是双曲线的两条渐近线互相垂直的( (A)充分条件 件 (B)必要条件 (C)充要条件

) 。

(D)不充分不必要条

例 3. 已知|θ |<
? 6

? ,直线 y=-tgθ (x-1)和双曲线 y2cos2θ -x2 =1 有且仅有一个公 2

共点,则θ 等于( (A)±

) 。
? 4

(B)±

(C)±

? 3

(D)±

5? 12

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1

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课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲
2

线的方程为


x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2

2 、焦点为( 0,6) ,且与双曲线 ( ) A. x
2

12

?

y2 ?1 24

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D. x

2

24

?

y2 ?1 12

3. 设 e1, e2 分别是双曲线 的大小关系是

x 2 y2 x 2 y2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 的离心率,则 e1 +e2 与 e1 ·e2 2 a b b a


x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲 a2

4.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

??? ??? ? ? 线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 (

)
7 D. [ , ??) 4

A. [3-2 3, ??) 5. 已知倾斜角为

B. [3 ? 2 3, ??)

7 C. [- , ??) 4

? 的直线 l 被双曲线 x2-4y2=60 截得的弦长|AB|=8 2 ,求 4

直线 l 的方程及以 AB 为直径的圆的方程。

6. 已知 P 是曲线 xy=1 上的任意一点,F( 2 , 2 )为一定点, l :x+y- 2 =0 为 一定直线,求证:|PF|与点 P 到直线 l 的距离 d 之比等于 2 。

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7、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程
??? ??? ? ? (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其

?

3, 0 .

?

中 O 为原点) ,求 k 的取值范围

8、已知直线 y ? ax ? 1与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值;

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课后作业 1.双曲线
y2 x2 - =1 的渐近线方程是 ( 36 49 y y x x (A) ± =0 (B) ± =0 36 36 49 49

) (C) ±
x 6 y =0 7

(D) ±

x 7

y = 6

0 2.双曲线
x2 x2 y2 y2 - =1 与 - =k 始终有相同的( 4 4 5 5



(A)焦点

(B)准线
xx 4 ?

(C)渐近线

(D)离心率 )

3.直线 y=x+3 与曲线 ? (A)0 个

y2 =1 的交点的个数是( 4

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个 ) (B)( 1 ? a , 0), (- 1 ? a , 0) (D)(-
a ?1 a ?1 , 0), ( , 0) a a

4.双曲线 x2-ay2=1 的焦点坐标是( (A)( 1 ? a , 0) , (- 1 ? a , 0) (C) (-
a ?1 a ?1 , 0),( , 0) a a

5.设双曲线 原点到直线 (A)2

x 2 y2 ? ? 1 (b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a, 0)、(0, b)两点,已知 a 2 b2

3 c,则双曲线的离心率是( 4 2 3 (B) 3 (C) 2 (D) 3

L 的距离是



6.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离是 2 ,则 a+b 的值 为( ) 。 (A)-
1 2 1 2 1 2 1 2

(B)

(C)- 或

(D)2 或-2

7.已知方程

y2 x2 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 3? k 2?k



8. 若双曲线

y2 x2 2 2 ? 2 =1 与圆 x +y =1 没有公共点,则实数 k 的取值范围是 2 9k 4k

9. 求经过点 P(?3,2 7 ) 和 Q(?6 2 ,?7) ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程

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10 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π )cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; ?π 3? (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y 2 ? ?4 π? ? =g(x)在?0, ?上的最大值. 4? ?

11、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1.4b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N ? ) ,证明:?bn ? 是等差 数列;

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课 1、[解析]设双曲线方程为 x ? 4 y ? ? ,
2 2

当 ? ? 0 时,化为

x2

?
y2 ?

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10 ? ? ? 20 , 4

4
当 ? ? 0 时,化为

?
4

?

5? y2 ? 10 ? ? ? ?20 , ? 1 ,? 2 ? 4 ??

综上,双曲线方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5

课 2.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B 3、解(1)设双曲线方程为 由已知得 a ?

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

3, c ? 2 ,再由 a 2 ? b2 ? 22 ,得 b2 ? 1

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

(2)将 y ? kx ? 2 代入

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? ? 6 2k ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

即k ?
2

1 2 且 k ?1. 3



设 A ? x A , y A ? , B( x A , yB ), ,则

x A ? yB ?

??? ??? ? ? 6 2 ?9 , x A yB ? ,由 OA ? OB ? 2 得 x A xB ? y A yB ? 2 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
2

而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kx A ? 2)(kxb ? 2) ? (k ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 22k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1


于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2 ,即 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3

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由①+②得

1 ? k2 ?1 3

故的取值范围为 (?1, ?

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1? ? 3 ? ?
消去 y ,得 (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 (1)
2 2

4、解: (1)由 ?

? y ? ax ? 1 ?3 x ? y ? 1
2 2

依题意 ?

?3 ? a 2 ? 0 ?? ? 0

即? 6 ? a ?

6 且 a ? ? 3 (2)

2a ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? a 2 (3) ? (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 ( 4) ? 1 2 3 ? a2 ?
∵ 以 AB 为直径的圆过原点
2

∴ OA ? OB

∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

但 y1 y 2 ? a x1 x 2 ? a( x1 ? x 2 ) ? 1 由(3) , x1 ? x 2 ? (4) ∴ (a ? 1) ?
2

2a ?2 , x1 x 2 ? 2 3?a 3 ? a2
2a 3 ? a2 ?1? 0
解得 a ? ?1 且满足(2)

?2 3?a
2

?a?

9 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π)cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在 ?4 2 ? π? ?0, 上的最大值.大纲文数 18.C9[2011· 重庆卷] ? 4? 1 1 3 1 3 3 【解答】 (1)f(x)= sin2x+ 3cos2x= sin2x+ (1+cos2x)= sin2x+ cos2x+ 2 2 2 2 2 2 π 3 2π =sin?2x+3?+ .故 f(x)的最小正周期为 T= =π. ? ? 2 2 π π π π 3 3 3 (2)依题意 g(x)=f?x-4?+ =sin?2?x-4?+3?+ + =sin?2x-6?+ 3. ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 π? π ? π π? 当 x∈?0,4?时,2x- ∈?-6,3?,g(x)为增函数, ? 6 π? π 3 3 所以 g(x)在?0,4?上的最大值为 g?4?= ? ? ? 2 .

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?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ? 1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

22、已知数列

(I)求数列

(II)若数列

22(I) ? an ?1 ? 2an ? n ?,)N * : ( 1

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ? 1(n ? N * ).
b ?1 b ?1 b ?1

(II)证法一:? 4 1 4 2 ...4 n

? (an ? 1)bn .

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.
②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③ ④

① ②

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

nbn? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,

bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。

练习题答案
1、[解析]设双曲线方程为

x2 ? 4 y2 ? ? ,

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? ? 0 时,化为

x2

?
y2 ?

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10 ? ? ? 20 , 4

4


? ? 0 时,化为

?
4

?

5? y2 ? 10 ? ? ? ?20 , ? 1 ,? 2 ? 4 ??

综上,双曲线方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5

2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B

x2 y2 ? ?1 7、解(1)设双曲线方程为 a 2 b2
由已知得

a ? 3, c ? 2 ,再由 a 2 ? b2 ? 22 ,得 b2 ? 1

故双曲线

C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

(2)将

y ? kx ? 2 代入

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? ? 6 2k ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0



k2 ?

1 2 且 k ?1. 3





A ? xA , y A ? , B( x A , yB ), ,则

x A ? yB ?


6 2 ?9 , x A yB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

,由

??? ??? ? ? OA ? OB ? 2 得 xA xB ? y A yB ? 2 ,

xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2
2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? (k ? 1) ? 22k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1
于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2 ,即 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3



由①+②得

1 ? k2 ?1 3

故的取值范围为

(?1, ?

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1? ? 3 ? ?

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8、解: (1)由

? y ? ax ? 1 2 2 消去 y ,得 (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 (1) ? 2 2 ?3 x ? y ? 1

?3 ? a 2 ? 0 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 (2) 依题意 ? 即? ?? ? 0

2a ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? a 2 (3) ? (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 ( 4) ? 1 2 3 ? a2 ?
∵ 以 AB 为直径的圆过原点 ∴

OA ? OB



x1 x2 ? y1 y 2 ? 0



y1 y 2 ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1

由(3) , (4)

x1 ? x 2 ?
?2

2a 3 ? a2
?a?



x1 x 2 ?
2a

?2 3 ? a2
解得



(a 2 ? 1) ?

3 ? a2

3 ? a2

?1? 0

a ? ?1 且满足(2)

例 2 答案:A

5y 2 x2 3 10 3 10 + =1 的两个顶点是( 10 , 0), (- 10 , 0), 焦点是(- , 0), ( , 10 32 5 5 y2 a 2 3 10 2 x2 0), 在双曲线中,c= 10 , = , a =6, b2=4, ∴双曲线的方程是 - =1 5 6 4 c 例 3 答案:B 提示:将 y=-tgθ (x-1)代入到双曲线 y2cos2θ -x2 =1 中,化简得 cos2θ x2+2xsin2θ +cos2 ? θ =0, △=0,解得 sinθ =±cosθ , ∴θ =± 4 2 2 2 2 课练 3.答案:e1 +e2 =e1 ·e2
提示:椭圆 提示:e12+e22=

c 2 c 2 c 2 (a 2 ? b 2 ) c4 = 2 2 = e12·e22 ? 2 = a2 b a 2b2 a b

课练 4【答案】B 【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方
2 2

程 为

x2 x2 ? y 2 ? 1 , 设 点 P ( x0 , y0 ) , 则 有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) , 解 得 3 3

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y0 2 ? x0 2 ? 1( x0 ? 3) 3
, 因 为

??? ? FP ? ( x0 ? 2, y0 )



??? ? OP ? ( x0 , y0 )

, 所 以

??? ??? ? ? x2 4x 2 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y0 2 = x0 ( x0 ? 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3
线 的 对 称 轴 为 x0 ? ?

???? ???? 3 , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P取 得 最 小 值 4 ??? ??? ? ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3

课练 5 答案:y=x±9, (x±12)2+(y±3)2=32 提示: 设直线的方程是 y=x+m, 与双曲线的方程 x2-4y2=60 联立, 消去 y 得 3x2+8mx+4m2 +60=0, |AB|= 2 |x1-x2|= 2

16m 2 ? 720 =8 2 ,解得 m=±9, ∴直线 l 的方程是 y=x±9, 9

当 m=9 时, AB 的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x-12)2+(y-3)2=32,同样当 m=-9 时,AB 的中点是(-12, -3), 圆的方程是(x+12)2+(y+3)2=32 课练 6 提示:设 P(x, y), |PF|2=(x- 2 )2+(y- 2 )2, P 点到直线 l 的距离 d=

|x ? y? 2| 2

,



x 2 ? 2 2x ? 2 ? y 2 ? 2 2 y ? 2 | PF | 2 = 2 =2, ∴|PF|与点 P 到直线 l 的距离 d 之比等 d2 x ? y 2 ? 2 ? 2 2 x ? 2 2 y ? 2xy 2

于 2。 课后 6 答案:B 提示:a2-b2=1,

|a ? b| 2

= 2 , 且 a2>b2, a>0, 解得 a+b=

1 2

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