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高中数学 2_6 矩阵的简单应用章末综合检测 苏教版选修4-2

【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 2.6 矩阵的简单应用章末 综合检测 苏教版选修 4-2
1.某车间有甲、 乙两台机床, 可用于生产三种工件, 假定全年的产量见下表(单位: 件): 工件 1 甲 乙 800 200 工件 2 600 300 工件 3 300 600

又已知工件 1、工件 2、工件 3 的销售价格分别为 20 元、30 元和 10 元,请给出甲机床、 乙机床全年的产值分别是多少? 【解】 两机床全年产量可用一个 2×3 矩阵表示,记为

P=?

?800 600 300? ?, ?200 300 600?

?20? 各工件的销售价格向量为 Q=?30?, ?10?
?800 600 300?? ? ?37 000? 从而 PQ=? ? 30 =? ?. ?200 300 600?? ? ?19 000?
20

?10?

故全年中甲机床的产值为 37 000 元,乙机床的产值为 19 000 元. 2.四种食品(F1,F2,F3,F4)在三家商店(S1,S2,S3)中,单位量的售价(以某种货币单位 计)可用下面的矩阵表示:

那么在商店 S1 购买 F2 食品 9 单位,在商店 S2 购买 F3 食品 3 单位,在商店 S3 购买 F4 食品 5 单位,共需多少货币? 【解】 M=[9

3

?7 ? 5]?13?=197,即共需 197 单位货币. ?19?
?5 1? ?,求发送的密码. ?7 3?

3.在密码学中,常用二阶矩阵对信息进行加密,现在我们先将英文字母数字化,a→1,

b→2,…,z→26,发送方要传递的信息是 come.双方约定的矩阵为?

1

【导学号:30650062】 【解】 ∵c→3,o→15,m→13,e→5, ∴由题意可得?

?5 1?? 3 13? ?30 70 ? ?? ?=? ?, ?7 3??15 5 ? ?66 106?

所以发送的密码为 30,66,70,106. 4.四个食品店均要进同样的两种货物,这两种货物的单价分别为 b1、b2,已知各食品店 进货的批量,试用矩阵计算出各食品进货的总价是多少? 【解】 设 A 表示四个食品店两种货物的批货量,

?a ?a A= ?a ?a

11 21

a12 a22 a32 a42

31 41

? ? ? ? ? ? b? b?
2 2

第一个食品店两种货物的批货量 第二个食品店两种货物的批货量 第三个食品店两种货物的批货量 第四个食品店两种货物的批货量

则这四个食品店进货总价如下:

?a ?a AB= ?a ?a

11 1 21 1 31 1 41 1

b +a12b2 b +a22b2 b +a32 b +a42

5.某运动服销售店经销 A,B,C,D 四种品牌的运动服,其尺寸有 S(小号),M(中号),

L(大号),XL(特大号)四种,一天内,该店的销售情况如下表所示(单位:件):
品牌 型号

A
3 5 2 1

B
2 3 4 0

C
0 4 5 1

D
1 3 5 1

S M L XL

假设不同品牌的运动服的平均利润是 A 为 20 元/件,B 为 15 元/件,C 为 30 元/件,D 为 25 元/件,求 S 号的运动服在这天获得的总利润是多少?

A
【解】

S 号运动服的销售量是[3A 2B 0C 1D

],不同品牌的平均利润是

B C D

?20? ?15?, ?30? ?25?
2

于是[3

2 0

?20? 15 1]? ? ?30? ?25?

=[3×20+2×15+0×30+1×25]=[115], 故 S 号运动服在这天获得的总利润是 115 元. 6.已知盒子 A 中装有 4 只大小和重量相同的小球,其中 2 只黑色的,2 只白色的;盒子

B 中装有 5 只大小和重量相同的小球,其中 3 只黑色的,2 只白色的.假定 A,B 两个盒子很
难分辨,而且可以任取一个,现在要求先取一个盒子,那么从中摸到一只白色小球的概率有 多大? 【解】 不妨设摸到黑色小球的可能性为 X,摸到白色小球的可能性为 Y,取出一个盒

?1 ? 2? ? 子的概率可以表示为 M= ?1? ?2?
的概率可以用矩阵表示为

A
, 从两个盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y)

B

N=

,于是先取一个盒子,再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率

可由矩阵运算得



9 因此,先取一个盒子,从中摸到一只白色小球的概率为 . 20 7.研究某城市的天气变化趋势,得到如下结论:若今天晴,则明天晴的概率为 0.8,若 今天阴,则明天晴的概率为 0.4,如果该地区 4 月 20 日清晨天气预报当天晴的概率为 0.6. (1)4 月 21 日为晴天的概率是多少? (2)5 月 1 日为晴天的概率是多少? 【导学号:30650063】

【解】 天气变化情况如图所示:

3

天气变化的转移矩阵为 M=?

?0.8 0.4? ?0.6? ?,今天天气情况可用向量 β =? ?表示. ?0.2 0.6? ?0.4?

第 n 天与第 n+1 天的天气关系可表示为

(1)4 月 21 日的天气情况为

Mβ =?

?0.8 0.4??0.6? ?0.64? ?? ?=? ?, ?0.2 0.6??0.4? ?0.36?

即 4 月 21 日为晴天的概率是 0.64. (2)矩阵 M 的特征多项式为

f(λ )=?
2

?λ -0.8 -0.4? ? ?-0.2 λ -0.6?

=λ -1.4λ +0.4, 由 f(λ )=0 解得 λ 1=0.4,λ 2=1. 当 λ 1=0.4 时,代入特征方程
? ?(0.4-0.8)x-0.4y=0, ? ?-0.2x+(0.4-0.6)y=0, ?

解出特征向量 α 1=?

? 1? ?; ?-1?

当 λ 2=1 时,代入特征方程
? ?(1-0.8)x-0.4y=0, ? ?-0.2x+(1-0.6)y=0, ?

?2? 解出特征向量 α 2=? ?; ?1?
由 β =mα 1+nα 2, 即?

?0.6? ? 1? ?2? ?=m? ?+n? ?, ?0.4? ?-1? ?1?

1 ? ?m=-15, 解得? 1 ?n=3, ? 2?11? 2 ?2- 1 ×? ? ? ? 5 3 15 ? ? ? ?3? ?2? ? ?, ×? ?= ≈ ?1? ?1 1 2 11? ?1? ? ? ? ?3+15×? ?5? ? ?3?
4

M11β =- ×(0.4)11×?

1 15

? 1? 1 11 ?+ ×1 ?-1? 3

2 即 5 月 1 日为晴天的概率约为 . 3 能力提升] 8.工业发展时常伴有环境污染,怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机 构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设 P 是目前的污染程度,D 是目前的工业发 展水平,P1 和 D1 分别是 5 年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家,工业发展 模型实际上是:P1=P+2D,D1=2P+D. (1)设 P2 和 D2 分别是第二个 5 年以后的污染程度和工业发展水平,试求 P2、D2 与 P、D 的关系式; (2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是 1,设第 n 个 5 年以后,污染程 度和工业发展水平分别为 Pn 和 Dn,试求 Pn、Dn,并说明污染程度和工业发展的趋势. 【解】 (1)∵P1=P+2D,D1=2P+D, ∴? ?=? 设 A=?

?P1? ?1 2??P? ?? ?. ?D1? ?2 1??D? ?1 2? ?, ?2 1? ?P1? ?D1?
2

∴? ?=A? ?=A ? ? =? =?

?P2? ?D2?

?P? ?D?

?5 4??P? ?? ? ?4 5??D? ?5P+4D? ?. ?4P+5D?

∴P2=5P+4D,D2=4P+5D.

?Pn? n?P? n?1? (2)? ?=A ? ?=A ? ?, ?Dn? ?D? ?1?
矩阵 A 的特征值为 λ 1=3,λ 2=-1, 对应的一个特征向量分别为

?1? ? 1? α 1=? ?,α 2=? ?, ?1? ?-1?
1 ?Pn? n n? ? ∴? ?=λ 1α 1=3 ? ?. ?Dn? ?1? λ 1=3 说明污染程度和工业发展水平同时以 3 倍的速度增加, 高水平工业能提高人们的 生活水平,但处理不当,随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果,这个结果告诫人们在 发展工业的同时一定要注意减轻污染,治理污染.

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