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广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)数学理试题 Word版含答案


2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2013.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、 县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B) 填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答 案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案 无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是 A. a? ? a b b
2

B. a ? b ? a ? b
2

C. ? a? ? c ? a ? b? ? b c

D. a ?a ? a

2

2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值

2 文 3(理 1) .若 1 ? i ( i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0 ( p、q ? R )的一个解,则 p ? q ?

A. ?3

B. ?1

C. 1

D. 3

4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

5.若函数 y ? cos ? ? x ? A.1

? ?

?? ?? ? * ? ? ? ? N ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为
6? ?6 ?
B.2 C.4 D.8

6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面的面积为 4

A.

1 ? 4 9 ? 4

B. ?

6 图2

C.

D. 4?

7.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是 A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年

8.记实数 x1 , x 2 ,…, x n 中的最大数为 max ?x1, x2 ,…,xn ? ,最小数为 min ?x1 , x2 ,…,xn ? ,则

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1,? x ? 6? ?
A.

?

?

3 4

B.1

C.3

D.

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2﹕3﹕4.现用分层抽样 的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支,则此样本容量 n ? .

10.已知

? ? ? 为锐角,且cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4 5 3 ? ?

?

.ks5u

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成

个没有重复数字且能被 5 整除的五位数(结果用数值表示) .

2 12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ,点集 M ?

?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≤2? , N ? ?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,


则 M ? N 所构成平面区域的面积为

13.数列 {an } 的项是由 1 或 2 构成,且首项为 1,在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2 k ? 1 个 2,即数列 {an } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S20 ? (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE ? ; S2013 ? .

1 BD ,延长 AE 交 BC 于点 F , 3



BF 的值为 FC



ks5u

15.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,点 P 是曲线 ? sin ? ? 4cos? 上任意一点,设点 P 到直线 2? ?


? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某单位有 A 、B 、C 三个工作点, 需要建立一个公共无线网络发射点 O , 使得发射点到三个工作点的距离相等. 已 知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平 面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

17. (本小题满分12分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ? 2 的概率;

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

18. (本小题满分 14 分)

等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? (如图 ? DB EA 2

3) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 4) . (1)求证: A1D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存 出 PB 的长, 若不存在, 请说明理由.
?

A D E B 图3 C B

A1

D E C 图4

PA1
在, 求

19. (本小题满分14分)
2 已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 f ? x? ? x ? 2 ax?1 ? 2 a在区间 ?0,1 上与 x 轴有两个不同的交点;命题 q : ?

g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分14分) 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M . A 、 在轨迹 M 上, 点 且关于 y 轴对称, 过线段 AD D (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、

C.
(1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ;

(3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

21. (本小题满分14分) 设 an 是函数 f ? x ? ? x3 ? n2 x ?1 n ? N* 的零点. (1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

?

?

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . n ?1 2

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的 解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分 的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

题号 答案

1 D

2 A

3 C

4 A

5 B

6 C

7 B

8 D

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做 题,考生只能选做一题.第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分.

9.54

10.

2 10

11. 216

12. 2?

13. 36 ; 3981

14.

1 4

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m ,

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 由余弦定理得 cos ?BAC ? ………………………………………………………2 分 2 ? AB ? AC
? 802 ? 502 ? 702 1 ? . ……………………………………………………3 分 2 ? 80 ? 50 2
? .……………………………………………………4 分 3

因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………………………………………………………5 分 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得

BC ? 2 R , ……………………………………………………………7 分 sin A
? 3 ,所以 sin A ? . 3 2
A

因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ?

所以 2 R ?

70 3 70 140 3 ,即 R ? .…………………8 分 ? 3 3 3 2
O B

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,…………………………9 分

BC 70 70 3 ? ? 35 , 在△ OBD 中, OB ? R ? , BD ? 2 2 3
2 2 2

D

C

? 70 3 ? 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? ………………………………………………………11 分 ? 3 ? ? 35 ? ? ?
? 35 3 . 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m .……………………………………………………………12 分 3

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………5 分 A 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , …………………6 分 O 由(1)知 ?BAC ?

? , 3

B

D

C

所以 ?BOC ?

?? . 3 ? .………………………………………9 分 3 BC 70 ? ? 35 , 2 2

所以 ?BOD ?

在 Rt △ BOD 中, BD ?

所以 OD ?

BD 35 35 3 .……………………ks5u………………………11 分 ? ? ? tan ?BOD tan 60 3
35 3 m .……………………ks5u…………………………12 分 3

所以点 O 到直线 BC 的距离为

17. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能力与数据处理能力等,本 小题满分12分) 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是 2 ? 2 ? 4 . ………………………………………………1 分 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部的公共部

分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、

D

G

C

圆心角为

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2

H

F

直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部 构成. ……………………………………………………………2 分 A E B

其面积是

1 ? ?? 4

? 2?

2

1 ? ? 2 ? ? 1? 1 ? ? 1 .………………3 分 2 2

? ?1 ? 1 2 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 ? ? .………………………………………………………4 分 4 8 4
2 (2)从 A、B、C、D、E、F 、G、H 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28 条不同的线段.

………………………………………………………5 分 其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度为 5 的线段有 8 条,长度 为 2 2 的线段有 2 条. 所以 ? 所有可能的取值为 1 , 2,2, 5,2 2 .……………………………………………………7 分 且 P ?? ? 1? ?

8 2 ? , 28 7

P ?? 2 ?

?

?

4 1 ? , 28 7

P ?? ? 2 ? ?

6 3 ? , 28 14

P ?? 5 ?

?

?

8 2 ? , 28 7

P ? ?2 2 ?

?

?

2 1 ? . ………………………………………9 分 28 14

所以随机变量 ? 的分布列为:

?

1
2 7

2
1 7

2
3 14

5
2 7

2 2
……10 分

P
随机变量 ? 的数学期望为

1 14

2 1 3 2 1 5? 2 2 ? 2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? .…………………………12 分 7 7 14 7 14 7
18. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本 小题满分 14 分)

A

证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? , ? DB EA 2

D E

所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,
?

由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

所以 AD ? DE . 折叠后有 A1D ? DE .……………………………………………………………………………………2 分 因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A DE ? 平面 BCED . …………………………3 分 1 又平面 A DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A DE , A1D ? DE , 1 1 所以 A1D ? 平面 BCED . ………………………………………………………………………………4 分 (2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1H 、 A1 P .………………5 分 由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1D ? PH .…………………………………………………6 分 又 A D ? BD ? D , 1 所 以 D E H 平 面 B P C
?

A1

PH ?

A1

.…………………………………………………………………………………7 分 B D 所以 ?PA H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角. ……………………………………………………8 分 1 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ?

x 3 , PH ? x .…………………………………………………9 分 2 2 1 x .………………………………………………10 分 2

在 Rt △ PA H 中, ?PA H ? 60? ,所以 A1 H ? 1 1

在 Rt △ A1DH 中, A D ? 1 , DH ? 2 ? 1 由 A D2 ? DH 2 ? A H 2 , 1 1

1 x .………………………………………………………11 分 2

1 ? ?1 ? ? 得 1 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? .…………………………………………………………………………12 分 2 ? ?2 ? ?
2

2

2

解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意.……………………………………………………………13 分 2
?

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ?

5 .………14 分 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如 图. …………………………………………………………5 分 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . ……………………6 分 所以 A ? 0,0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .…………7 分 1

A1 z

???? y H 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .……………………………………………………………………………8 分 B C P

?

?

?

?

?

?

D E

因为 ED ? 平面 A1 BD ,

x

所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .……………………………………………………9 分 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,
?

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE 所以 sin 60? ? ???? ???? ………………………………………………………………………………10 分 PA1 DE
? 3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

?

3 ,……………………………………………………………11 分 2

解得 a ?

5 . ……………………………………………………………………………………………12 分 4

即 PB ? 2a ?

5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. ……………………………………………………13 分 2
?

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ?

5 .………14 分 2

19. (本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思 想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点,
2

? f ? 0 ?≥0, ? ? f ?1?≥0, 必须 ? ……………………………………………………………………………………………2分 ?0 ? a ? 1, ? ? ? 0. ?

?1 ? 2a≥0, ?2 ? 4a≥0, ? 即? ………………………………………………………………………………4分 0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?
解得 2 ? 1 ? a≤ .

1 2

所以当 2 ? 1 ? a≤ 时,函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点.…5分 下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方法1:因为 g ? x ? ? ?

1 2

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………………………6分

①当 a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a, ?? ? 上单调递减, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上无最小值;……………7分 ②当 a ? 1 时, g ? x ? ? ?

??1, ??2 x ? 1,

x≥1, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1;………………………8分 x ? 1.

③当 0 ? a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增,

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a2 .…………………………………………………………9分
所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.……………………………………………10分 方法2:因为 g ? x ? ? ?

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………………………6分

因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 . 所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调递减的.………………………………………………7分 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a, ?? ? 上单调递增或为常数.……8分 即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 .……………………………………………………………………………………9分 所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值. ……………………………………………10分 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是假命题且 q 是真命题.……………11分

1 ? ?0 ? a≤ 2 ? 1, 或a ? , 所以 ? 2 …………………………………………………………………………12分 ?0 ? a≤1. ?
解得 0 ? a≤ 2 ? 1 或

1 ? a≤1 . ………………………………………………………………………13分 2

故实数 a 的取值范围为 0, 2 ? 1? ? ? ,1? .…………………………………………………………14分

?

?1 ? ? ?2 ?

20. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推 理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .…………………………1 分
2 2

整理,得 x2 ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x2 ? 4 y .…………………………………………………2 分 方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.……………………………………………………1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y .………………………………………………………2 分
2

(2)由(1)得 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 .…………………………3 分 2 4 ?

由题意知点 A ? ? x0 ,

? ?

1 2? ? 1 ? ? 1 ? x0 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

y

C

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 ?4 ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 0 .……4 分 x x1 ? x2 4 2


E A D BO l x



k AC

1 2 1 2 x1 ? x0 x ?x 4 4 ? ? 1 0 x1 ? x0 4



k AB

1 2 1 2 x2 ? x0 x ?x 4 ?4 ? 2 0 .……………………………5 分 x2 ? x0 4
由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB .………………………6 分 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD .…………………………………………………………………………………7 分

(3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .………………………………8 分 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? .……………………………………………………………10 分 ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .
?

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .………………………………11 分 所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .……………………………………………………………………………………………12 分 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ?

? ?

1? 4?

3 , 2

直线 BC 的方程为 y ?

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 .…………………………………………13 分 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7,

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? 2 , 4 ?

直线 BC 的方程为 y ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . ……………………………………14 分 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .…………………………………8 分 2

? ? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB .

由(2)知 k AC ?

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4

所以 k AC k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? ? ?1. 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?

? x1 ? x0 ? 4, …………………………10分 x2 ? x0 ? 4. ?

因为 AB ?

1 1 2 ? x2 ? x0 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , ? ? 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . ………………………………………………………………………………11分 以下同方法1.

21. (本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本 小题满分14分) 证明: (1)因为 f ? 0? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? n2 ? 0 ,且 f ? x ? 在 R 上的图像是一条连续曲线, 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, 内有零点.………………………………………………………………………1分 1? 因为 f ? ? x ? ? 3x2 ? n2 ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递增.………………………………………………………………………2分 所以函数 f ? x ? 在 R 上只有一个零点,且零点在区间 ? 0, 内. 1? 而 an 是函数 f ? x ? 的零点, 所以 0 ? an ? 1 .……………………………………………………………………………………………3分 (2)先证明左边的不等式: 因为 an3 ? n2an ?1 ? 0 , 由(1)知 0 ? an ? 1 , 所以 an3 ? an .……………………………………………………………………………………………4 分 即 1 ? n2 an ? an3 ? an . 所以 an ?

1 .…………………………………………………………………………………………5 分 n ?1
2

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 .…………………………………………………6 分 1 ?1 2 ?1 n ?1
2

以下证明

1 1 1 n ? 2 ?? ? 2 ? . 1 ?1 2 ?1 n ?1 n ?1
2



方法 1(放缩法) :因为 an ?

1 1 1 1 ,…………………………………………7 分 ? ? ? n ? 1 n ? n ? 1? n n ? 1
2

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?

? ?

1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n n ?1 ?

? 1?

1 n ? .………………………………………………………………9 分 n ?1 n ?1 1 1 ? ,不等式①成立. 1 ?1 1?1
2

方法 2(数学归纳法) :1)当 n ? 1 时,

2)假设当 n ? k ( k ? N )时不等式①成立,即
*

1 1 1 k ? 2 ?? ? 2 ? . 1 ?1 2 ?1 k ?1 k ?1
2

那么

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1 ?1 2 ?1 k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1
2

?

k 1 . ? k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1


以下证明

? k ? 1? k 1 ? ? . 2 k ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1
1
2

即证

? k ? 1?
2

?1

?

? k ? 1? ? k . ? k ? 1? ? 1 k ? 1

即证

1 1 ? 2 . k ? 2k ? 2 k ? 3k ? 2

由于上式显然成立,所以不等式②成立. 即当 n ? k ? 1 时不等式①也成立. 根据 1)和 2) ,可知不等式①对任何 n ? N 都成立.
*

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 再证明右边的不等式:

n .…………………………………………………………………………9 分 n ?1

当 n ? 1 时, f ? x ? ? x ? x ?1 .
3

由于 f ? ? ? ? ? ?

?1? ?1? ? 2? ? 2?

3

1 3 ?1 ? ? ? 0 , 2 8

11 ?3? ?3? 3 f ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0, 64 ?4? ?4? 4

3

所以

1 3 ? a1 ? .…………………………………………………………………………………………10分 2 4
3 1 ? an 1 ? 2 . ……………………………11分 n2 n

3 2 由(1)知 0 ? an ? 1 ,且 an ? n an ?1 ? 0 ,所以 an ?

因为当 n≥2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ,…………………………………………………………12分 2 n ? n ? 1? n n ? 1 n
3 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 2 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?

所以当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an ?

? 1?

1 1 3 ? ? . 2 n 2

* 所以当 n ? N 时,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ?

3 . 2

综上所述,

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .………………ks5u…………………………………14分 n ?1 2



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