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高一数学竞赛辅导(六)


高一数学竞赛辅导(六)
例 1 已知 f(x)=x3+x+1 (x∈R),求证 (1)f(x)为 R 内的增函数; (2)满足等式 f(x)=0 的实数 x 的值至多只有一个.

例 2 当 k∈(0,

1 2

)时,方程

|1 ? x |

=kx 有多少个不同的实根?

1

例 3 已知 f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],试问方程 f(f(f(x)))= 少个实根?

1 2

x 有多

例4 函数 y=f(x)定义在整个数轴上,如果把它的图象绕原点旋转 90°后 仍不变 (1)证明方程 f(x)=x 仅有一解; (2)举出这种函数的例子.

2

例5 已知关于 x 的方程 lg(ax)·lg(ax)2=4 所有解都大于 1,求 a 的取值 范围。

例6 a 为何实数时,方程 lg(x2+2ax)=lg(8x-6a-3)有唯一解?

3

例7 设 a≥1,求方程

a?

a? x

=x 的实数解之和。

例8 解方程 x 3

? 2 3x ? 3x ?
2

3 ?1 ? 0

.

4

练习: I. 选择题 (1)方程 x x =2 在实数集里解集的元素个数是( A. 1 个 B. 8 个 C. 4 个 D. 2 个
l o ga ? ? l o g ? ?
2

)

(2)设(lnx)2 -lnx2 -2=0 的两个根为 ? , ? , 那 么 ( ). A. -2 B. 1 C. 3 D. -4

的值等于

? (3)若方程(x-19)(x-83)=p(p>0)有实根 ? , ? , 则 方 程 ( x - ? )( x - ? ) = - p 的

最小实根是( A. 19

) B. -19
a? x
2

C. -83

D. -p )

(4)设 a>0,则方程 A. 2 个

?

2 ? | x | 的相异实根的个数是(

B. 4 个

C. 0 个

D. 以上结论都不对

(5)对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的? ( ) A. 至多有三个实根
2

B. 至少有一个实根 D. 当 p<0 时,可能有三个实根

C. 仅当 p -4q≥0 时才有实根 II. 填空题

(1)若正数 x,y,z 满足 xxyz=y2,yxyz+1 =z3,zxyz+2=x4,则(x,y,z)=_______. (2)已知关于 x 的方程|(x-1)(x-3)|=mx 有四个不同实根, m 的取 则 值范围是___________. (3)已知函数 f(x)=|x2 -1|+m|x+1|+a 有最小值 f(2)=-4,则方程 f(x)=0 的解是_________.

5

? yz ? 3 y ? 2 z ? 8 ? (4)方程组 ? z x ? 4 z ? 3 x ? 8 ? xy ? 2 x ? y ? 1 ?

的解集是___________.

(5)方程 III. 解答题 1.方程
lg 2 x

3?

3?

3? x

=x 的实根是__________.

lg ( x ? a )

=2 当 a 为何值时,有一解,二解,无解?

2. 求方程

x ? p ?2
2

x ?1 ? x
2

的实根,其中 p 是一个实参数.

6

3. 证明方程 xn+3-xn+x2+x+1=0(n≥1,n 为奇数)无实根.

4. 方程 x5+x2+1=0 有几个实数根?证明你的结论.

7

5. 正数 x,y,z

? 2 y ? 25 ? x ? xy ? 3 ? 2 ?y 2 ? z ? 9, ? 满足方程组 3 ? ? z 2 ? xz ? x 2 ? 16, ? ?
2

计算 xy+2yz+3xz 的值.

8



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