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福建省宁德市2015年5月普通高中毕业班质量试卷理科数学试卷及答案

2015 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) ,第 II 卷第(21)题为选考题,其它题为必 考题.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体体积公式 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 为底面面积, h 为高

1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 3 ?R 3 其中 R 为球的半径
S ? 4?R 2 , V ?

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若向量 a ? (3, m) , b ? (2, ?1) , a // b ,则实数 m 的值为 A. ?

3 2

B.

3 2

C.2

D.6

2.若集合 A ? {x | 2x ? 1} ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4

1? ? 3.已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ? ? 展开式的常数项,则 a3 ? a7 ? x? ?

A. 6 B. 18 C. 24 D. 36 2 开始 4.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 是定义在 [?1 ? a, 2a] 上的偶函数, 则该函数的最大值为 A.5 B.4 C.3 D.2 输入 i 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.

s ? 0, n ? 0
n ? i?


若该程序运行后输出的结果不大于 20,则输入 的整数 i 的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6

6.已知某市两次数学测试的成绩 ?1 和 ? 2 分别服从 正态分布 ?1
N1 (90,86) 和 ?2 N2 (93,79) ,则以下

结论正确的是 A.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定 B.第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定 C.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定 D.第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定 x2 y 2 7.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 作直线 l ? x 轴交双曲线 a b C 的渐近线于点 A, B .若以 AB 为直径的圆恰过点 F2 ,则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 8.某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 A. 2 日和 5 日 B. 5 日和 6 日 C. 6 日和 11 日 D. 2 日和 11 日 9.若关于 x 的方程 x3 ? x2 ? x ? a ? 0(a ? R) 有三个实根
x1 , x 2 , x3 ,且满足 x1 ? x2 ? x3 ,则 x1 的最小值为 1 A. ?2 B. ?1 C. ? D.0 3 10.如图所示为某几何体的正视图和侧视图,则该几何体体积的所有1 正视图 可能取值的集合是

2 1
侧视图

? 1 2? ? 2? ?1 2 ? ?1 2 ? ? A. ? , ? B. ? , , ? C. ?V ? V ? ? D. ?V 0 ? V ? ? 3? 3? ?3 3 ? ?3 3 6 ? ? 3 ?

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 1? i 11.复数 z ? ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为__________. i 12 . 设 a 是 抛 掷 一 枚 骰 子 得 到 的 点 数 , 则 方 程 x 2 ? ax ? a ? 0 有 两 个 不 等 实 根 的 概 率 为 .

? x ? 0, ? 13 .若关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, 表示的平面区域是一个直角三角形,则 k 的值 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?





14 . 若 在 圆 C : x2 ? ( y ? a)2 ? 4 上 有 且 仅 有两 个 点 到 原 点 O 的 距 离为 1 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 15.已知面积为 .
9 3 ? 的 ?ABC 中, ?A ? .若点 D 为 BC 边上的一点,且满足 CD ? 2DB ,则当 AD 2 3

取最小时, BD 的长为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)

1 ? sin ? ) . x( x ? 0) 绕着原点逆时针旋转 后所得的射线经过点 A(cos ?, 7 4 (Ⅰ)求点 A 的坐标;
将射线 y ?

? (Ⅱ)若向量 m ? (sin 2x , 2 cos? ), n ? (3sin ? , 2cos 2 x) ,求函数 f ( x) = m ? n , x ? [0, ] 2 域.

的值

17.(本小题满分 13 分) 某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员,在校内组织猜灯谜竞赛.规定:第一阶段知识测试成绩 不小于 160 分的学生进入第二阶段比赛.现有 200 名学生参加知识测试,并将所有测试成绩绘制 成如下所示的频率分布直方图. (Ⅰ)估算这 200 名学生测试成绩的中位数,并求进入第二阶段比赛的学生人数; (Ⅱ)将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛.现甲、乙两队在比赛中均已获得 120 分,进 入最后抢答阶段. 抢答规则: 抢到的队每次需猜 3 条谜语, 猜对 1 条得 20 分, 猜错 1 条扣 20 分. 根 据经验,甲队猜对每条谜语的概率均为

3 4 ,乙队猜对前两条的概率均为 ,猜对第 3 条的概率为 4 5

1 .若这两队抢到答题的机会均等,您做为场外观众想支持这两队中的优胜队,会把支持票投给 2 哪队?

频率/组距 0.025 0.019

0.003 0.0015

O

100

120

140

160

180

200

分数

18. (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是矩形, 且 AD ? 2CD ? 2 ,AA1 ? 2 ,?A1 AD ?
O 为 AD 的中点,且 CD ? AO . 1

? . 若 3

? 平面 ABCD ; (Ⅰ)求证: AO 1

(Ⅱ)线段 BC 上是否存在一点 P ,使得二面角 D ? A1 A ? P 为 若存在,求出 BP 的长;不存在,说明理由. A1 B1 D1

? ? 6

C1

A B y

19. (本小题满分 13 分) 已知点 F (0,1) ,直线 l1 : y ? ?1 ,直线 l2 ? l1 于 P ,连结 PF ,作线段 PF 的垂直平分线交直线 l2 于 点 H .设点 H 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)过点 P 作曲线 ? 的两条切线,切点分别为 C , D , (ⅰ)求证:直线 CD 过定点;
( ,1 ) ? , (ⅱ) 若 P1 过点 P 作动直线 l 交曲线 ? 于点 A, B , 直线 CD 交 l 于点 Q , 试探究

O O a C r a r

D e

PQ PA

?

PQ PB

y

l2

y

是否为定值?若是,求出该定值;不是,说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e? x ( x2 ? ax) 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值;

3 (Ⅱ)设 g ( x) ? ?x( x ? t ? )(t ? R),若 g ( x) ? f ( x) 对 x ? [0,1] 恒成立,求 t 的取值范围; e 1 (Ⅲ)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ? )an , n a a a ?1 3 ? 求证:当 n ? 2, n ? N 时 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? ? f ( n ?1 ) ? n ? ? ? ? n n n ? 6 2e ?
( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ).

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题 号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中,矩阵 M 对应的变换将平面上任意一点 P( x, y ) 变换为点 P?(2 x ? y,3x) . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)求曲线 4 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M 的变换作用后得到的曲线 C ? 的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的参数方程为

? 2 t ? 2, ?x ? ? ? ? 2 ( t 为参数), 圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? sin(? ? ) ? 1 ? r 2 (r ? 0) . ? 4 2 ? y ? t ? ? 2
(Ⅰ)求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 | . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值 m ; (Ⅱ)若正实数 a , b 满足

1 1 1 2 ? ? 3 ,求证: 2 ? 2 ? m . a b a b

2013 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生 的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定 后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重 的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C 9.B 10.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 1 11. 2 12. 13. ?1 或 0 14. (?3, ?1) (1,3) 15. 3 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本题考查三角函数、平面向量等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程的思想、数形 结合的思想,满分 13 分. 1 1 ? 解: (Ⅰ)设射线 y ? x( x ? 0) 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? , ? ? (0, ) .……………1 分 7 2 7 1 ?1 ? 4 ∴ tan ? ? tan(? ? ) ? 7 ? ,……………………………………………4 分 4 1 ? 1 ?1 3 7

4 ? ?sin 2 ? + cos 2 ? ? 1, sin ? ? , ? ? ? 5 ∴由 ? sin ? 4 解得 ? ……………………………………………6 分 3 ? , ? ? cos ? ? . ? cos ? 3 ? 5 ? ?3 4? ∴点 A 的坐标为 ? , ? .…………………………………………………………7 分 ?5 5? (Ⅱ) f ( x) = 3sin ? ? sin 2 x ? 2cos ? ? 2cos 2 x ……………………………………8 分 12 12 ? sin 2 x ? cos 2 x 5 5 12 2 ? ? sin(2 x ? ). …………………………………………………10 分 5 4 ? ? ? ?? 由 x ? [0, ],可得 2 x ? ?[ , ] , 4 4 4 2 ? 2 ,1] ,………………………………………………………12 分 ∴ sin(2 x ? ) ? [ ? 4 2 12 12 2 ] .……………………………………………13 分 ∴函数 f ( x) 的值域为 [ ? , 5 5 17.本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、 运算求解能力及应用意识,考查或然与必然的思想,满分 13 分.

解法一: (Ⅰ)设测试成绩的中位数为 x ,由频率分布直方图得,
(0.0015 ? 0.019) ? 20 ? ( x ? 140) ? 0.025 ? 0.5 ,

解得: x ? 143.6 .……………………………2 分 ∴测试成绩中位数为 143.6 . 进入第二阶段的学生人数为 200× (0.003+0.0015)× 20=18 人.…………………4 分 (Ⅱ)设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为 ? 、 ? , 则?

3 B(3, ) ,……………………………5 分 4 3 9 ? .……………………………6 分 4 4

∴ E? ? 3 ?

9 9 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为 [ ? (3 ? )] ? 20 ? 30 ,………………………8 分 4 4
4 1 1 ?1? 1 9 ?1? 1 1 ∵ P(? ? 0) ? ? ? ? ? , P(? ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? , 5 5 2 ? 5 ? 2 50 ? 5 ? 2 50 4 1 1 12 ?4? 1 ? 4 ? 1 16 P(? ? 2) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? , 5 5 2 25 ?5? 2 ? 5 ? 2 50
2 2 2 2

∴ E? ? 0 ? 1?

9 12 16 21 ? 2 ? ? 3 ? ? , …………………………………………10 分 50 25 50 10

21 21 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为 [ ? (3 ? )] ? 20 ? 24 .……………………12 分 10 10 ∴ 120 ? 30 ? 120 ? 24 , ∴支持票投给甲队. .……………………………13 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. ……………………………4 分 (Ⅱ)设最后抢答阶段甲队获得的分数为 ? , 则 ? 所有可能的取值为 ? 60 , ? 20 , 20 , 60 .
1 3? 9 ? 3? 1 3? P(? ? ?60) ? ?1 ? ? ? , P(? ? ?20) ? C3 , ?1 ? ? ? 4 64 4 4 64 ? ? ? ? ?3? P(? ? 20) ? C32 ? ? ?4?
3 3 2

? 3 ? 27 ? 3 ? 27 , P(? ? 60) ? ? ? ? . ?1 ? ? ? ? 4 ? 64 ? 4 ? 64

3

1 9 27 ? 20 ? ? 20 ? ? 60 ? 30 .……………………………8 分 64 64 64 设最后抢答阶段乙队获得的分数为 ? ,则 ? 所有可能的取值为 ? 60 , ? 20 , 20 , 60 .
∴ E? ? ?60 ?
4 1 1 ?1? 1 9 ?1? 1 1 ∵ P(? ? ?60) ? ? ? ? ? , P(? ? ?20) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? , 5 2 50 5 5 2 ? 5 ? 2 50 ? ? 4 1 1 12 ?4? 1 ? 4 ? 1 16 P(? ? 20) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? , P(? ? 60) ? ? ? ? ? , 5 5 2 25 ?5? 2 ? 5 ? 2 50
2 2 2 2

1 9 12 16 ? 20 ? ? 20 ? ? 60 ? ? 24 ,……………………………12 分 50 50 25 50 ∵ 120 ? 30 ? 120 ? 24 , ∴支持票投给甲队.…………………………………………13 分 18.本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想,满分 13 分. ? (Ⅰ)证明:∵ ?A1 AD ? ,且 AA1 ? 2 , AO ? 1 , 3 ? ∴ A1O ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? cos ? 3 ,…………………………………………2 分 3
∴ E? ? ?60 ?
2 ? AD2 ? AA12 ∴ AO 1

? AD .…………………………………………3 分 ∴ AO 1

又 CD ? AO ,且 CD 1

AD ? D ,

? 平面 ABCD .…………………………………………5 分 ∴ AO 1

(Ⅱ)解:过 O 作 Ox // AB ,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图) , 则 A(0, ?1, 0) , A1 (0,0, 3) ,……………………………6 分 设 P(1, m,0)(m ?[?1,1]) ,平面 A1 AP 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,B1 z A1 D1

C1

A

O O a

D y e

∵ AA1 ? (0,1, 3) , AP ? (1, m ? 1,0) ,

? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0, 且? 1 ? ?n1 ? AP ? x ? (m ? 1) y ? 0.
取 z ? 1 ,得 n1 = ( 3(m ? 1), ? 3,1) .……………………………8 分
? 平面 ABCD ,且 AO ? 平面 A1 ADD1 , 又 AO 1 1

∴平面 A1 ADD1 ? 平面 ABCD . 又 CD ? AD ,且平面 A1 ADD1 ∴ CD ? 平面 A1 ADD1 . 不妨设平面 A1 ADD1 的法向量为 n2 = (1,0,0) .………………………10 分 由题意得 cos n1 , n2 ?
3 ? 2 3(m ? 1) 3(m ? 1) 2 ? 3 ? 1 ? 1

平面 ABCD ? AD

,……………………12 分

解得 m ? 1 或 m ? ?3 (舍去) .

? .………………………13 分 6 19.本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满 分 13 分.
∴当 BP 的长为 2 时,二面角 D ? A1 A ? P 的值为 解法一: (Ⅰ)由题意可知, HF ? HP , ∴点 H 到点 F (0,1) 的距离与到直线 l1 : y ? ?1 的距离相等,……………………………2 分 ∴点 H 的轨迹是以点 F (0,1) 为焦点, 直线 l1 : y ? ?1 为准线的抛物线,………………3 分 ∴点 H 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y .…………………………………………4 分 (Ⅱ) (ⅰ)证明:设 P( x0 , ?1) ,切点 C ( xC , yC ), D( xD , yD ) . 由y?

1 2 1 x ,得 y? ? x . 4 2 1 xC ( x ? x0 ) ,…………………………………………5 分 2 1 2 xC , 4

∴直线 PC : y ? 1 ?

又 PC 过点 C , yC ?

∴ yC ? 1 ?

1 1 1 xC ( xC ? x0 ) ? xC 2 ? xC x0 , 2 2 2

1 1 ∴ yC ? 1 ? 2 yC ? xC x0 ,即 xC x0 ? yC ? 1 ? 0 .…………………………………………6 分 2 2 1 同理 xD x0 ? yD ? 1 ? 0 , 2 1 ∴直线 CD 的方程为 xx0 ? y ? 1 ? 0 ,…………………………………………7 分 2 ∴直线 CD 过定点 (0,1) .…………………………………………8 分 1 (ⅱ)由(Ⅱ) (ⅰ)得,直线 CD 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 2 设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) , 1 4 ? 2k 与方程 x ? y ? 1 ? 0 联立,求得 xQ ? .……………………………………9 分 2 2k ? 1
设 A( xA , y A ), B( xB , yB ) ,联立 y ? 1 ? k ( x ? 1) 与 x 2 ? 4 y ,得
x2 ? 4kx ? 4k ? 4 ? 0 ,由根与系数的关系,得

xA ? xB ? 4k , xA ? xB ? 4k ? 4 .…………………………………………10 分

∵ xQ ? 1, xA ? 1, xB ? 1 同号, ∴
PQ PA ? PQ ? 1 1 ? ? PQ ? ? ? PA PB ? ? PB ? ? ? 1 ? k 2 ? xQ ? 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? k 2 ? xA ? 1 xB ? 1 ? 1

? 1 1 ? ? ? xQ ? 1? ? ? ? ? …………………………………………11 分 ? xA ? 1 xB ? 1 ?
xA ? xB ? 2 ? 4 ? 2k ? ?? ? 1? ? ? 2k ? 1 ? ? xA ? 1?? xB ? 1?

?
PQ PA ? PQ PB

5 4k ? 2 ? ? 2, 2k ? 1 5



为定值,定值为 2.…………………………………………13 分

解法二: (Ⅰ)设 H ( x, y ) ,由题意可知, HF ? HP , ∴ x2 ? ( y ? 1)2 ? y ? 1 , ………………………………2 分

∴化简得 x 2 ? 4 y , ∴点 H 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y .…………………………………………4 分 (Ⅱ) (ⅰ)证明:设切点 C ( xC , yC ), D( xD , yD ) ,直线 CD 的方程为 y ? kx ? t . 联立 y ? kx ? t 与 x 2 ? 4 y 得 x2 ? 4kx ? 4t ? 0 ,由根与系数的关系,得
xC ? xD ? 4k , xC ? xD ? ?4t .…………………………………………5 分

由y?

1 2 1 x ,得 y? ? x . 4 2 1 1 xC ( x ? xC ) ,又 yC ? xC 2 , 2 4

∴直线 PC : y ? yC ? 所以 PC : y ? 同理 PD : y ?

1 1 xC x ? xC 2 . 2 4

1 1 xD x ? xD 2 .…………………………………………6 分 2 4 联立两直线方程,解得 y ? ?t ? ?1 , ∴ t ? 1 ,即直线 CD 过定点 (0,1) .…………………………………………8 分 1 (ⅱ)由(Ⅱ) (ⅰ) ,解得 1 ? ( xC ? xD ) ? 2k , 2
∴k ?

1 , 2

1 ∴直线 CD 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 2 以下同解法一. 20.本题考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、 化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力,满分 14 分.
解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?e? x ( x2 ? ax) ? e? x (2x ? a) ? ?e? x ( x2 ? ax ? 2x ? a) ,…………………1 分 由 f ?(0) ? ?(?a) ? 2 ,得 a ? 2 .…………………………………………3 分 (Ⅱ) f ( x) ? e? x ( x2 ? 2 x) .

3 由 g ( x) ? f ( x) ,得 ? x( x ? t ? ) ? e? x ( x2 ? 2 x) , x ? [0,1] . e 当 x ? 0 时,该不等式成立; …………………………………………4 分 3 当 x ? (0,1] ,不等式 ? x ? t ? ? e? x ( x ? 2) 对 x ? (0,1] 恒成立, e 3? ? 即 t ? ?e? x ( x ? 2) ? x ? ? .…………………………5 分 e ? max ?

3 设 h( x) ? e? x ( x ? 2) ? x ? , x ? (0,1] , e
h?( x) ? ?e? x ( x ? 2) ? e? x ? 1 ? ?e? x ( x ? 1) ? 1 ,
?x ?x ?x h??( x) ? ? ? ??e ( x ? 1) ? e ? ? ?e ?x?0,

∴ h?( x) 在 (0,1] 单调递增, ∴ h?( x) ? h?(0) ? 0 , ∴ h( x) 在 (0,1] 单调递增, …………………………………………………………7 分

3 3 ∴ h( x)max ? h(1) ? ? 1 ? ? 1 , e e ∴ t ? 1. ………………………………………………………………………………8 分 1 (Ⅲ)∵ an?1 ? (1 ? )an , n an ?1 n ? 1 ? ∴ ,又 a1 ? 1 , an n
∴ n ? 2 时, an ? a1 ?
a2 a3 ? ? a1 a2 ? an 2 3 ? 1? ? ? an ?1 1 2 ? n ? n ,对 n ? 1 也成立, n ?1

∴ an ? n .……………………………10 分 ∵当 x ? [0,1] 时, f ?( x) ? ?e? x ( x2 ? 2) ? 0 , ∴ f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,且 f ( x) ? f (0) ? 0 .

1 i i 1 又∵ ? f ( ) (1 ? i ? n ? 1, i ? N) 表示长为 f ( ) ,宽为 的小矩形的面积, n n n n
i ?1 1 i ∴ ? f ( ) ? ? i n f ( x)dx (1 ? i ? n ? 1, i ? N) , n n n

a 1? a ∴ ? f ( 1)? f ( 2)? n? n n

? f(

an ?1 ? 1 ? 1 2 )? ? ? f ( ) ? f ( ) ? n ? n? n n

? f(

1 n ?1 ? ) ? ? ? f ( x)dx .…… 12 分 0 n ?

3 又由(Ⅱ) ,取 t ? 1 ,得 f ( x) ? g ( x) ? ? x2 ? (1 ? ) x , e
1 1 1 1 3 1 3 ∴ ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ? ? x3 ? (1 ? ) x2 1 , ? 0 ? 0 0 3 2 e 6 2e 1? 1 2 n ?1 ? 1 3 ) ? ? , ∴ ?f( )? f( )? ? f( n? n n n ? ? 6 2e

a a ∴ f ( 1)? f ( 2)? n n

? f(

an ?1 ?1 3 ? ) ? n ? ? ? ? .…………………………………………14 分 n ? 6 2e ?

21. (1)本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)设点 P ? x, y ? 在矩阵 M 对应的变换作用下所得的点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? 2 x ? y , ? x ? ? ? 2 1 ? ? x ? 则? 即? ? ? ? ?? ? , ? y? ? ? 3 0 ? ? y ? ? y ? ? 3 x,

∴M ?? ? .…………………………………………1 分 ? 3 0? 又 det( M ) ? ?3 ,
1? ? ? 0 ?3? ? .…………………………………………3 分 ?? ? ?1 ? 2 ? ? ? 3? ?

?2 1?

∴ M ?1

(Ⅱ)设点 A ? x, y ? 在矩阵 M 对应的变换作用下所得的点为 A?( x?, y?) ,
1? ? ? 0 ? 3 ? ? x? ? ? ? x? ?1 ? x ? 则? ? ? M ? ? ? ? ?? ? , ? y? ? y ? ? ? ?1 ? 2 ? ? y ? ? ? ? 3? ?

1 ? x ? ? y ?, ? ? 3 即? …………………………………………5 分 ? y ? ? x? ? 2 y ?, ? 3 ?
2 ? y? ? ∴代入 4 x ? y ? 1 ? 0 ,得 4 ? ? ? ? x? ? y ? ? 1 ? 0 , 3 ? 3? 即变换后的曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 .…………………………7 分

(2)本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思 想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ,………………………………………2 分 圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? (Ⅱ)∵圆心 C (?
2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? r 2 (r ? 0) .………………………… 4 分 2 2

2 2 ,? ) ,半径为 r ,………………………………………5 分 2 2

?

圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,………………………6 分

又∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 , ∴ r ? 3 ? 2 ? 1 .………………………………………7 分 (3) 本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思 想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3|? x ? 5 ? 3 ? x ? 2 ,…………………………………2 分

当且仅当 x ? [3, 5] 时取最小值 2,……………………3 分
? m ? 2 .…………………………………4 分

(Ⅱ) (

1 2 1 1 2 1 2 ? 2 )[12 ? ( ) 2 ] ? ( ? 1 ? ? ) ?3, 2 a b a b 2 2 1 2 3 ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( 3)2 , a b 2



1 2 ? ? 2 .…………………………………………7 分 a 2 b2
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