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【最新整理】2019高中数学人教A版选修2-2学案:第一章1.6微积分基本定理-含解析

孔子曰:“ 知 之者不 如好之 者,好 之者不 如乐之 者。” 这句 话是非 常有道 理的, 它深刻 地阐释 了学习 兴趣对 于学习 的作用 。之所 以把兴 趣放在 首位, 也是因 为兴趣 是十分 重要的 。兴趣 能够调 度人的 更多的 精力在 某一方 面。如 果你把 兴趣调 整到学 习上, 那你就 比别人 多了许 多精力 ,胜 算也就大 一些。 微积分基本定理 【最新整理】2019高中数学人教A版选修2-2学案:第 一章1.6微积分基本定理-含解析 (1)微积分基本定理的内容是什么? (2)被积函数 f(x)的原函数是否是唯一的? 1.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那 么 f(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛 顿—莱布尼茨公式. 为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记为 F(x),即 f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a). [点睛] 对微积分基本定理的理解 (1)微积分基本定理表明, 计算定积分 f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),通常,我们可以运用基本初等函数的求 导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x). (2)牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法, 把求定积分的问题,转化成求原函数(F(x)叫做 f(x)的原函数)的问 题, 提示了导数和定积分的内在联系, 同时也提供计算定积分的一种 有效方法. 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 1 / 10 孔子曰:“ 知 之者不 如好之 者,好 之者不 如乐之 者。” 这句 话是非 常有道 理的, 它深刻 地阐释 了学习 兴趣对 于学习 的作用 。之所 以把兴 趣放在 首位, 也是因 为兴趣 是十分 重要的 。兴趣 能够调 度人的 更多的 精力在 某一方 面。如 果你把 兴趣调 整到学 习上, 那你就 比别人 多了许 多精力 ,胜 算也就大 一些。 下.则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图①,则 ?bf(x)dx=S 上. ?a (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②,则 f(x)dx=-S 下. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③, 则 f(x)dx=S 上-S 下,若 S 上=S 下,则 f(x)dx=0. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 微 积分基 本定理 中, 被积 函数 f(x) 是 原函数 F(x) 的 导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取 原函数的常数项为 0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间 上必须是连续函数.( 答案:(1)√ (2)√ ) (3)√ ) B.(x+1)dx D.dx 2.下列积分值等于 1 的是( A.xdx C.1dx 答案:C 3.计算:sin xdx=( A.-2 答案:C B.0 ) C.2 D.1 定积分的求法 [典例] A.e+2 (1)定积分(2x+ex)dx 的值为( B.e+1 2 / 10 ) 孔子曰:“ 知 之者不 如好之 者,好 之者不 如乐之 者。” 这句 话是非 常有道 理的, 它深刻 地阐释 了学习 兴趣对 于学习 的作用 。之所 以把兴 趣放在 首位, 也是因 为兴趣 是十分 重要的 。兴趣 能够调 度人的 更多的 精力在 某一方 面。如 果你把 兴趣调 整到学 习上, 那你就 比别人 多了许 多精力 ,胜 算也就大 一些。 C.e (2)f(x)=求 f(x)dx. [解析] 因此选 C. 答案:C D.e-1 (1)(2x+ex)dx =(x2+ex) =(1+e)-(0+e0) =e, (2)解:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx =(1+2x)dx+x2dx=(x+x2)+x32 1 =1+1+(8-1)=. 1.由微积分基本定理求定积分的步骤 当被积函数为两个函数的乘积时, 一般要转化为和的形式, 便于 求得函数 F(x),再计算定积分,具体步骤如下. 第一步:求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x); 第二步:计算函数的增量 F(b)-F(a). 2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是分 段函数时,常常利用定积分的性质(3),转化为各区间上定积分的和 计算. (2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段 函数的定积分再计算. [活学活用] 计算下列定积分: (1)(x3-2x)dx;(2) (3)dx. 解:(1)(x3-2x)dx==-. (2) (x+cos x)dx= =+1. 3 / 10 (x+cos x)dx; 孔子曰:“ 知 之者不 如好之 者,好 之者不 如乐之 者。” 这句 话是非 常有道 理的, 它深刻 地阐释 了学习 兴趣对 于学习 的作用 。之所 以把兴 趣放在 首位, 也是因 为兴趣 是十分 重要的 。兴趣 能够调 度人的 更多的 精力在 某一方 面。如 果你把 兴趣调 整到学 习上, 那你就 比别人 多了许 多精力 ,胜 算也就大 一些。 (3)f(x)==-. 取 F(x)=ln x-ln(x+1)=ln, 则 F′(x)=-, 所以 dx=dx=ln=ln. 定积分的综合应用 [典例] (1)已知 x∈(0,1],f(x)=(1-2x+2t)dt,则 f(x)的 值域是_________. (2)已知[(3ax+1)(x+b)]dx=0, a, b∈R, 试求 ab 的取值范围. [解析] =-2x+2, 因为 x∈(0,1],所以 f(1)≤f(x)<f(0), 即 0≤f(x)<2 ,所以函数 f(x)的值域是[0,2). 答案:[0,2) (2)解:[(3


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