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2019年8-7方向导数与梯度 (2).ppt_图文

§8.7 方向导数与梯度
一、方向导数 讨论函数 z ? f ( x , y ) 在一点P0沿某一 方向的变化率问题.
设函数 z ? f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 U ( P0 ) 内有定义,自点 P0 引射线 l.
设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 ? , 并设 P ?( x0 ? ?x , y0 ? ?y ) 为 l 上的另一点且 P ? ? U ( p0 ).
P0

y

l

? P?

?
?

?
?x

?y

o

x

? | PP ? |? ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ,

且 ?z ? f ( x0 ? ?x, y0 ? ?y) ? f ( x0 , y0 ), ?z 考虑 , 当 P ? 沿着 l 趋于P0时, ? f ( x0 ? ?x , y0 ? ?y ) ? f ( x0 , y0 ) 是否存在? lim ? ?0 ? x ? x0 ? t cos ? l 的参数方程为: l : ? ? y ? y ? t sin? ( t ? 0) ? 0 P?(x0+tcos?, y0+tsin?)为 l 上的另一点, 且P??U(P).

? | PP ? |? ? ? ( t cos ? )2 ? ( t sin? )2 ? t . ?z ? f ( x ? t cos ? , y ? t sin ? ) ? f ( x , y ),

f ( x ? t cos ? , y ? t sin? ) ? f ( x , y ) lim t t ?0 ?

是否存在?

定义: 如果函数z=f(x, y)在点P(x0, y0)处的增量 f(x0+tcos?, y0+tsin?)–f(x0, y0) 与P到P?(x0+tcos?, y0+tsin?)的距离 t 之比, 当P?沿着 l 趋向与P(即 t →0+)时的极限存在, 则称此极限为函数 z=f(x, y)在点P(x0, y0)处沿方向 l 的方向导数. 记为:

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t sin ? ) ? f ( x0 , y0 ) ? lim . ? t t ?0 ( x0 , y0 ) ? 依定义, 函数z=f(x, y)在点P沿着x轴正向 i =(1, 0), y ? 轴正向 j=(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负向的方向导数分别为 -fx, -fy. ?f ?l

其中 cos ? , cos ? 为方向 L 的方向余弦.

定理 如果函数 z ? f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 是 可微分的,那末函数在该点沿任意方向 L 的方 向导数都存在,且有 ?f ( x 0 , y0 ) ? f x ( x 0 , y0 ) cos ? ? f y ( x 0 , y0 ) cos ? ?l ? f x ( x0 , y0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 ) sin ? , 其中? 为x 轴到方向 L 的转角.

证明: 由于函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微, 则函数 z=f(x, y)在点P(x, y)处沿 l 方向的增量可表示为: ?f ?f f ( x? t cos ? , y? t sin? ) ? f ( x , y ) ? t cos ? ? t sin? ? o( ? ) ?x ?y 两边同除以? (即t ), 得到

f ( x? t cos ? , y? t sin? ) ? f ( x , y ) ?f ?f o( ? ) ? cos ? ? sin? ? t ?x ?y t 故有方向导数为: f ( x ? t cos ? , y ? t sin? ) ? f ( x , y ) ? lim t t ?0 ? ?f ?f ? cos ? ? sin? . ?x ?y

2y z ? xe 例 1 求函数 在点 P (1,0) 处沿从点

P (1,0) 到点Q ( 2,?1) 的方向的方向导数.

推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u ? f ( x , y , z ) ,它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ,可定义
为 ?f
?l ? lim
? ?0

f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z )

?

,

( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ? ( ?z ) 2 ) 设方向 L 的方向角为? , ? , ?
?x ? ? cos ? ,

( 其中 ? ?

?y ? ? cos ? ,

?z ? ? cos ? ,

同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在,且有

?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos ? . ?l ?x ?y ?z

? 2 2 2 例 2 设 n 是曲面 2 x ? 3 y ? z ? 6 在点 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 ? 2 2 2 u ? (6 x ? 8 y ) 在此处沿方向 n 的方向 z
导数.

二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 P ( x0 , y0 ) ? D ,都 一阶连续偏导数,则对于每一点 ? ? 可定出一个向量 f x ( x 0 , y0 )i ? f y ( x 0 , y0 ) j , 这向量 称为函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的梯度,记为

? ? gradf ( x 0 , y0 ) ? f x ( x 0 , y0 )i ? f y ( x 0 , y0 ) j .
? ? ? ? 设 e ? cos?i ? cos?j 是方向 l 上的单位向量,
由方向导数公式知

?f ?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? { , } ? {cos? , cos ? } ?x ?y ?l ?x ?y ? ? gradf ( x , y ) ? e ?| gradf ( x , y ) | cos? , ? 其中? ? ( gradf ( x, y ), e ) ?f ? 当 cos( gradf ( x , y ), e ) ? 1时, 有最大值. ?l
函数在某点的梯度是这样一个向量,它的 方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值.梯度的模为

? ?f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |? ? ? ? ? ? . ? ?x ? ? ?y ?

2

2

?f ?f 当 不为零时, x 轴到梯度的转角的正切为 tan ? ? ?y . ?f ?x 在几何上 z ? f ( x , y ) 表示一个曲面 ?x

曲面被平面 z

?c

? z ? f ( x, y) , 所截得 ? ?z ? c

所得曲线在xoy面上投影如图

y f ( x, y) ? c2
P
f ( x, y) ? c1

gradf ( x , y )
梯度为等高线上的法向量
f ( x, y ) ? c

等高线

o

x

等高线的画法

例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形.

梯度与等高线的关系:

函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) ? c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.

此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为
?f ? ? fx ? ?n fx ? fy ? 2 2 fx ? fy fy f x2 ? f y2

? gradf ? 0
故应从数值较低的等高线指向数值较高的等 高线,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向 导数,这个法线方向就是方向导数取得最大值的 方向。

梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u ? f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数,则对于每一点P ( x , y , z ) ? G , 都可定义一个向量(梯度)

?f ? ?f ? ?f ? gradf ( x , y , z ) ? i ? j ? k. ?x ?y ?z
类似于二元函数,此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模 为方向导数的最大值.

类似地,设曲面 f ( x , y , z ) ? c 为函数u ? f ( x , y , z ) 的等量面,此函数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) ? c 在这点的法线的一 个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.

例3

求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度,并问在 哪些点处梯度为零?

解 由梯度计算公式得

?u ? ?u ? ?u ? gradu( x , y , z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z
? ? ? ? (2 x ? 3)i ? (4 y ? 2) j ? 6zk , ? ? ? 故 gradu(1,1,2) ? 5i ? 2 j ? 12k . ? 3 1 在 P0 ( ? , ,0) 处梯度为 0 .
2 2

三、小结
1、方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)

2、梯度的概念
(注意梯度是一个向量)

3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .

练习题
一、讨论函数 z ? f ( x , y ) ? x ? y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在?方向导数是否 存在? x2 y2 a b 二、求函数 z ? 1 ? ( 2 ? 2 ) 在点( , ) 处沿曲线 a b 2 2 2 2 x y ? 2 ? 1 在这点的内法线方向的方向导数. 2 a b
2 2

? z 解 ?x

( 0,0 )

| ?x | f ( ?x ,0) ? f (0,0) ? lim . ? lim ?x ? 0 ? x ?x ?0 ?x

?z | ?y | 同理: ( 0, 0 ) ? lim 故两个偏导数均不存在. ?y ? ?y?0 ?y 沿任意方向l ? { x , y , z }的方向导数,
?z ?l
( 0,0 )

? lim
? ?0

f ( ?x , ?y ) ? f (0,0)

?

( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ? lim ?1 2 2 ? ? 0 ( ?x ) ? ( ?y )

故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
1 2(a 2 ? b 2 ) . ab

作业 P51: 2;3;6;7;8;10

P73: 13;14



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