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湖北省2016届高三下学期5月模拟考试(数学理)


湖北省 2016 届高中毕业班五月模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1、复数

2?i ? 1? i 3 i 3 i A. ? B. ? 2 2 2 2

C. ?

3 i ? 2 2

D. ?

3 i ? 2 2

2、 “若 x2 ? y 2 ? 2 ” ,则“ x ? 1, y ? 1”的否命题是 A.若 x2 ? y 2 ? 2 则 x ? 1且 y ? 1 C.若 x2 ? y 2 ? 2 则 x ? 1或 y ? 1 B.若 x2 ? y 2 ? 2 则 x ? 1且 y ? 1 D.若 x2 ? y 2 ? 2 则 x ? 1或 y ? 1

?x ? y ? 5 ? 0 ? 3、已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
A.-3 B. ?

5 2

C.-2

D.

5 2

4、右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是

2 3 3 B. 4 4 C. 5 5 D. 6
A.

5、将 4 名工人分配取做三种不同的工作,每种工作至少要分配一名工人,则不同的分配方案有 A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种

6、已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a1 ? a3 ? a5 ? 14 ,则

1 1 1 ? ? ? a1 a3 a5

13 13 D. 9 18 ???? ? 1 ??? ? 1 ???? 7、已知 M 为 ?ABC 内一点, AM ? AB ? AC ,则 ?ABM 和 ?ABC 的面积之比为 3 4 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3
A. B. C.

7 8

7 4

8、下列说法正确的是 A.若样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1, 2 x2 ? 1,?, 2 xn ? 1 的均值为 10

??0 B.相关系数 r ? 0 ,则对应回归直线方程中 b
C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16, 27,38, 49 的同学均被选出,则 该班学生人数可能为 60 D.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值范围概率为 0.4 ,则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 9、一个四面体的三视图如下,则此四面体的体积是 A.

15 39 2

B.

5 39 2

C. 5 39

D. 5 13

10、已知 x , y 满足 A. ?1,12? 11、 过双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1,则 u ? 2x ? y ? 4 ? 3 ? x ? 2 y 的取值范围为 3
C. ?0,12? D. ?1,13?

B. ?0,6?

x2 y 2 ? ? 1的右焦点 F 的直线 l 与双曲线 C 交于 C 交于 M , N 两点, A 为双曲线的左焦点, 4 5

若直线 AM 与直线 AN 的斜率 k1 , k2 满足 k1 ? k2 ? 2 ,则直线 l 的方程是 A. y ? 2( x ? 3) B. y ? ?2( x ? 3)
2

C. y ?

1 ( x ? 3) 2

D. y ? ?

1 ( x ? 3) 2

12、函数 f ? x ? ? 2 x ? x 4 ? x 的最大值为 A.4 B. 3 2 C. 3 3 D. 4 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知两点 A(3, 2) 和 B(?1, 4) 到直线 x ? ay ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a ?
4 14、已知 (2 ? x )( ax ? ) 展开式中含 x 项的系数为 45,则正实数 a 的值为
2 6

1 a

15、在数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足 S n ? an ( S n ? )(n ? 2) ,则 Sn ?
2

1 2

? x3 ? 12 x, x ? t 16、已知函数 f ? x ? ? ? ,如果对一切实数 t ,函数 f ? x ? 在 R 上不单调, ?(a ? 1) x ? 2, x ? t

则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, A ? (1)求 sin C 的值; (2)求 ?ABC 的面积。

3? 3 10 ,cos B ? , AD 为 BC 边上的中线,且 AD ? 1 . 4 10

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, PA ? 4, AC ? 2 3 ,

BD ? 2 ,又点 E 在侧棱 PC 上,且 PC ? 平面 BDE .
(1)求线段 CE 的长; (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

19、 (本小题满分 12 分) 盒子有质地均匀的 8 个小球,其中 3 个红球,3 个黑球和 2 个白球. (1)从盒中一次随机取出 2 个小球,求取出的 2 个球颜色不同的概率; (2)从盒中一次随机取出 3 个小球,其中取出黑球和白球的个数分别为 m 和 n , 记 ? ? m ? n ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

20、 (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且倾斜角为
2

? 的直线 l 被抛物线 C 截得的线段长为 8. 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)已知直线 y ? ? x 和抛物线 C 交于点 O, A , 线段 AO 的总店为 Q,在 AO 的延长线上任取 一点,P 作抛物线 C 的切线,两切点分别为 M、 N,直线 MQ 交抛物线 C 于另一点 B,问直线 AB

的斜率 k0 是否为定值?如果是,求 k0 的值, 否则,说明理由。

21、 (本小题满分 12 分) (1)求函数 f ? x ? ? ln(1 ? x) ? x 的最大值;

2 xe x e x ln(1 ? x) ? ? 1 在 x ? 0 上恒成立。 (2)求证: x?2 x

请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22、 (本小题满分 10 分) 选修 4-1 几何证明选讲 如图,?ABC 为 ? O 的内接三角形,D, E 分别为 BC, AB 的中点, 直线 DE 交圆 O 于 F , G , 且直线 DE 与过 A 点的切线交于点 P, DF ? 1, DE ? 2, PE ? 3 。 (1)求证: ?PEA ? ?BDE ; (2)求线段 PA 的长。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C : ? ?

3 2 ? cos ?

?x ? 3 ? t ? ? [0, 2? ) ,直线 l ? (t 为参数, t ? R ) ? y ? 2 ? 2t
(1)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A、B 两点,求 AB 的值。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 4 ? a x ? 2 (a ? R) 的图象关于点 (1, 0) 中心对称。 (1)求实数 a 的值;

(2)解不等式 f ? x ? ? 3 。

已知抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点为 F, 过点 F 且倾斜角为 60°的直线与抛物线交于 A, B 两点. 若|AF|=4, 则|BF|=______.

(2013?浙江模拟)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 M、N 两点, 已知直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面积为 2(O 为坐标原点) .

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)问是否存在直线 l,使得以 M、N 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

解:(1) 由已知 p/2=1/2,得 p=1 所以 抛物线 C 的方程是: y^2=2x (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) ,△NAB 面积为 S,△NPQ 面积为 S1,∠ANB=∠PNQ= θ 直线 AB 的方程是: x=my+3 由 y^2=2x 且 x=my+3 消去 x 并化简得

y^2-2my-6=0 得 y1+y2=2m, y1*y2=-6 则 x1+x2=m(y1+y2)+6=2m^2+6 x1*x2=(my1+3)(my2+3)=m^2(y1*y2)+3m(y1+y2)+9=(-6)m^2+6m^2+9=9 即 x1+x2=2m^2+6, x1*x2=9 y0=(y1+y2)/2=m, N(m^2/2,m) S=(1/2)|NA||NB|*sinθ ,S1=(1/2)|NP||NQ|*sinθ S/S1=(|NA||NB|)/(|NP||NQ|)=(|NA|/|NP|)*(|NB|/|NQ|) 而 |NA|/|NP|=|x1-m^2/2|/|m^2/2-(-1/2)|=|2.x1-m^2|/(m^2+1) (用横坐标差比的 绝对值表示长度比) |NB|/|NQ|=|x2-m^2/2|/|m^2/2-(-1/2)|=|2.x2-m^2|/(m^2+1) ( 这两步是简化运算 的关键) |2.x1-m^2|*|2.x2-m^2|=|4x1*x2-2m^2(x1+x2)+m^4| =|4*(9)-2m^2(2m^2+6)+m^4| =3|(m^2+1)^2+2(m^2+1)-15| 设 t=1/(m^2+1),则 m^2+1=1/t,t∈(0,1] S/S1=(|NA||NB|)/(|NP||NQ|) =(3|(m^2+1)^2+2(m^2+1)-15|)/(m^2+1)^2 =(3|(1/t)^2+2(1/t)-15|)/(1/t)^2 =3|15t^2-2t-1| =3|15(t-1/15)^2-16/15| , t∈(0,1]

当 t=1 即 m=0(此时 AB 垂直于 x 轴)时 S/S1 取最大值 36.

所以所求两三角形面积比的最大值是 36。 (本题处理过程中用横坐标差比的绝对值表示长度比是简化运算的关键)


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